ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

MACLAURIN (ou Mac-Laurin) Colin, écossais, 1698-1746

Brillant élève de Simson à l'université de Glasgow dont il sera diplômé à 17 ans. Il obtint à 19 ans une chaire d'enseignement des mathématiques à l'université d'Aberdeen. Ami de Newton, il fut un fervent défenseur de sa méthode des fluxions (calcul différentiel). Parrainé par ce dernier, il succède à Grégory à l'université d'Édimbourg (1725). Il conservera ce poste jusqu'à sa mort. Son ancien élève Stewart lui succédera.

Grand géomètre, très apprécié par Lagrange, il étudia toutes sortes de courbes algébriques d'ordre élevé (Geometrica organica, De linearum geometricorum proprietatibus, 1720), Maclaurin est à l'origine des développements en série entière des fonctions numériques par la méthode des coefficients indéterminés (A complet system of the fluxions, 1742), prolongement des travaux de Newton et de Taylor.

Grâce au nouvel outil différentiel, on lui doit la résolution de nombreux de problèmes de mathématiques appliquées, notamment dans le domaine de la mécanique en corrélation avec les travaux de son ami Newton (attraction de points matériels.

Formule de Maclaurin (1742) :

Ce développement n'est pas une simple application de la formule de Taylor en 0. Maclaurin l'obtint par un calcul rigoureux :

Si f est de classe Cn dans un voisinage V de zéro et si f admet une dérivée d'ordre n+1 sur V, alors, il existe un réel cx de V tel que :

f(n) désigne ici la fonction dérivée n-ème de f dont la définition par récurrence est :

f(o) = f et f(n) = [f(n-1)]'. C'est dire que f(1) = f ', f(2) = f '', etc.    d'Alembert

Si nous notons rn le dernier terme du second membre : une condition nécessaire et suffisante pour que la série de Maclaurin converge est que f soit indéfiniment dérivable sur V et que rn tende vers 0 pour tout x fixé dans V. On obtient ainsi un très grand nombre de développements limités au voisinage de zéro :

Exemple 1 : considérons la célèbre fonction exponentielle x ex, identique à toutes ses dérivées. vu que e0 = 1, on a :

ex = 1 + x + x2/2! + x3/3! + ... + xn/n! + ...

Exemple 2 : considérons la fonction sinus f(x) = sin x. on a f(o) = o, puis

D'une façon générale (sin x)(2n) fournit un sinus, nul au point zéro. Le développement ne contiendra donc que les (sin x)(2n+1)(o) = (-1)n et par suite :

sin x = x - x3/3!+ x5/5! - x7/7! + . ..

Ce développement fut obtenu auparavant par Leibniz.

Formule de Taylor et expression des restes du développement d'ordre n :

Formule de Maclaurin pour les polynômes :

Si P est un polynôme de degré n, toutes ses dérivées d'ordre supérieur à n sont nulles. On a alors pour tout réel x :
 

P(x) = P(o) + xP'(o) + x2P''(o)/2! + ... + xkP(k)(o)/k! +...+ xnP(n)(o)/n!

Un calcul de e, base des logarithmes népériens :

Formules d'Euler-Maclaurin :

On suppose f de classe C2 sur l'intervalle [a,b] : f est dérivable jusqu'à l'ordre 2 au moins et ses dérivées f ' et f " sont continues. Dans ces conditions :

Ce résultat s'obtient très simplement au moyen de deux intégrations par parties successives de l'intégrale du second membre. En utilisant le second théorème de la moyenne (formule de Bonnet), on obtient une approximation de l'intégrale de f sur [a,b] qui n'est autre que la méthode des trapèzes avec une erreur ne pouvant excéder M(b - a)3/12 où M désigne le maximum de |f ''(x)| sur [a,b]. Il existe donc c dans [a,b] tel que :

Lorsque f est de classe C2n sur l'intervalle [a,b], on peut démontrer une seconde formule plus élaborée donnant une valeur approchée d'une intégrale et utilisant les nombres de Bernoulli :

On pose Δf(k) = f(k)(b) - f(k)(a), différence des dérivées k-èmes en b et a. Rappelons que les Bk sont nuls si k est impair autre que 1. Dans ces conditions, il existe c dans [a,b] tel que :

On pourra trouver la preuve de cette formule dans tout cours d'analyse niveau Math Spé. En particulier (certes non récent mais incontournable par sa clarté et la précision de la pensée) : Jean Bass, Cours de mathématiques, Tome 1, Éd. Dunod, Paris - 1969/71/78.

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Exemple : On a tracé ci-dessous la courbe d'équation : y = f(x) = x4 - 2x3 - 1

L'aire hachurée correspond à l'opposée de l'intégrale de f sur [0,2]. Exprimée en unités d'aires, la mesure de cette aire est exactement 3,6. La 1ère formule d'Euler-Maclaurin fournit une valeur "très" erronée et une erreur non moins élevée puisqu'elle correspond à la méthode des trapèzes avec un pas h = 2. Cette formule prend tout son sens lorsqu'on subdivise l'intervalle. On vérifiera qu'avec 100 points (h = 1/50), on obtient 3,5997...

La seconde formule d'Euler-Maclaurin appliquée à cette fonction conduit à (n max = 2) : -2 - 2 x (1/6) x 8 - (32/24) x (-1/30) x 24 = -3,6. C'est la bonne valeur. Mais pourquoi donc ? Parce qu'ici, notre dérivée 4ème est constante, égale à 24 pour tout x : le choix de c n'influe donc pas !


 
Travaux sur les courbes algébriques :

Maclaurin étudia également les courbes algébriques (détermination, intersections) et, par là, les systèmes d'équations qu'il résout par la méthode des déterminants (ce dernier terme et la théorie seront dus à Cauchy) jusqu'à l'ordre 4.

Il énonce que deux telles courbes de degrés respectifs n et p doivent se couper en au plus np points. Ce qui ne fut pas sans soulever quelques difficultés et aspects contradictoires... Ces travaux seront repris par Cramer (1750) et Euler, indépendamment semble-t-il des travaux de Maclaurin et ce sera Plücker qui en donnera une explication définitive (1839) corroborant les résultats de Euler.

Pour en savoir un peu plus :

La trisection de l'angle :

Maclaurin étudia une courbe susceptible de contribuer au célèbre problème de la trisection d'un angle :

Trisectrice de Maclaurin :


Bernoulli Nicolas   Maupertuis
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