ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

 Aire sous la parabole          niveau Terminale S
    
Cet exercice utilise la somme des n premiers carrés ainsi que la somme des n premiers cubes d'entiers naturels

Par une méthode proche de celle d'Archimède, qui utilisa l'exhaustion, l'objectif est de prouver, par un encadrement élémentaire et un passage à la limite (coïncidant à l'approximation d'une intégrale par la méthode des rectangles), que l'aire bleue ci-dessous, définie par la parabole d'équation :

y = x2  sur l'intervalle [-2;2]

est égale aux 4/3 de l'aire du triangle AOB.

Par symétrie, on peut restreindre l'étude à l'intervalle [0;2]. On pose :

f : x x2,  x [0;2]

et on note S l'aire sous l'arc de parabole (en jaune ci-dessus) restreint à l'intervalle [0;2] que nous subdivisons en n sous-intervalles d'égale amplitude : 

0 = xo < x1 <x2 < ... < xn = 2

1°) En remarquant que f est croissante et en observant les deux graphiques ci-dessous établis pour n = 8 à titre d'illustration (non, non, ce ne sont pas les mêmes...), justifier que l'on :

             

En déduire :

2°) Somme des n premiers carrés d'entiers naturels   

Gauss, alors enfant, a montré que la somme des n premiers entiers naturels est n(n + 1)/2. Nous allons utiliser ce résultat afin d'établir, en exercice ci-dessous la formule donnant la somme des carrés, en évitant un raisonnement par récurrence obligeant à parachuter une formule peu intuitive, à savoir :

On connaît le développement de (a + b)3, cas particulier de la formule du binôme : (a + b)3 = a3 + 3a2b+ 3ab2 + b3 :

(1 + 1)3 = 13 + 3.12.1 + 3.1.12 + 13
(2 + 1)3 = 23 + 3.22.1 + 3.2.12 + 13

Compléter maintenant les égalités :  

(3 + 1)3 = 33 + ... 
(4 + 1)3 = 43 + ...
...   
(n -1) + 1)3 = (n - 1)3 +...   
(n + 1)3 = n3 +...

Vérifier par sommation membre à membre, que l'on a l'égalité suivante : 

Remplacer la somme des entiers par la formule connue. En déduire la formule annoncée de la somme des carrés.

Somme des n premiers cubes d'entiers naturels   

De façon analogue, en utilisant la puissance 4ème du binôme et le résultat précédent :

(1 + 1)4 = 14 + 4.13.1+ 6.1212 + 4.1.13 + 14
(2 + 1)4 = 24 + 4.23.1+ 6.2212 + 4.2.13 + 14
...
(n + 1)4 = n4 + 4.n3.1+ 6.n212 + 4.n.13 + 14

Par sommation membre à membre, on obtient l'égalité suivante :

Noter S la somme des cubes. Exprimer 4S en mettant n + 1 en facteur et en remplaçant la somme des carrés ainsi que la somme des entiers par les formules désormais connue.

La somme des cubes des n premiers entiers naturels est ainsi le carré de la somme de ces entiers :

1 + 23 + ... + n3  = n2(n + 1)2/4 = (1 + 2 + ... + n)2

3°) En utilisant cette formule dans l'encadrement de S établi précédemment, justifier que S = 8/3.

4°) Calculer l'aire du triangle AOB; conclure.

Connaissant le calcul intégral, on vérifie facilement la justesse du calcul :


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