Fonction
cotangente » Tangente , sinus , cosinus , sécante & cosécante Arc sinus & Arc cosinus , Arc tangente & Arc cotangente Sinus & cosinus hyperboliques , tangente & cotangente hyperboliques |
Définitions possibles : |
Géométriquement, sur le cercle trigonométrique, cotan(x) est JT', mesure algébrique du segment de tangente en J sur le schéma ci-contre coupant [OM) en T'.
On a, selon la propriété de Thalès dans le triangle OJT', JT'/KM = OJ/OK, c'est à dire :
JT'/OH = OJ/HM, donc cotan(x)/cos(x) = 1/sin(x), soit : cotan(x) = cos(x)/sin(x) = 1/tan(x)
On peut aussi définir la cotangente comme la tangente du complément :
cotan(x) = cos(x)/sin(x) = sin(π/2 - x)/cos(π/2 - x) = tan(π/2 - x)
Remarque :
Sur la figure ci-dessous, complétée de la précédente, les segments de tangente [JT'] et [MN] ont même mesure (il est facile de prouver cela en considérant les triangles rectangles OMN et OJT'). Par conséquent, dans le cas de l'angle aigu, on retrouve cotan(x). On retrouve de même tan(x) en ML.
! Cette remarque ne doit pas inciter le lecteur à utiliser ces mesures car dans le cas d'un angle obtus, on perd l'information du signe. Concernant la cotangente, [JT') est une demi-droite orientée, parallèle à (xx'). Par exemple, si x = 2π/3 (120°), on aura cotan(x) = JT' < 0 car [OM) coupe la tangente en J "à gauche" de l'axe des ordonnées et [JT') a alors même sens que (Ox').
Applications :
La cotangente n'est que peu usitée. On lui préfère l'usage de 1/tan sauf pour convenance pratique dans les calculs. Elle a disparu des programmes de l'enseignement secondaire.
On la rencontre cependant dans les calculs d'atelier, en particulier dans le domaine du Génie civil où les Eurocodes font fréquemment appel à cette fonction mathématique pour les règles de dimensionnement du béton armé. Par exemple dans le chapitre qui traite de la reprise de l’effort tranchant (Eurocode 2), la cotangente de l’angle créé par la bielle de compression et la fibre moyenne de l’élément est bornée entre deux valeurs fixées. Merci à N. Richard pour cette info.
Formules élémentaires, valeurs remarquables : |
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• cotan a = cotan b ⇔ a = b + kπ, k∈Z
• cotan(π/6) = √3 , cotan(π/4) = 1 , cotan(π/3) = 1/√3 = √3/3 , cotan(2π/3) = - 1/√3
• cotan(-a) = - cotan a • cotan(a + π) = cotan a • cotan(π - x) = - cotan(x)