ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

LEIBNIZ Gottfried Wilhelm, allemand, 1646-1716

Éminent philosophe, savant, juriste et diplomate à l'époque de Louis XIV. Fondateur, en 1700, de l'Académie des sciences de Berlin.

Encouragé par Huygens à étudier les mathématiques, Leibniz cherche à améliorer la théorie des indivisibles de Cavalieri et sera l'inventeur en 1686, quelques années après Newton en Angleterre avec sa Méthode des fluxions, du calcul différentiel et sommatoire (Nova methodus pro maximis et minimis, 1684-86). Toutefois, Leibniz avait publié des résultats partiels sur le calcul différentiel dix ans auparavant.

Une grave polémique naîtra entre les deux Écoles anglaise et allemande, chacune soutenant son champion et accusant l'autre de plagiat ou formulant des critiques plus ou moins justifiées. Les notations de Leibniz, plus pratiques et plus soucieuses d'unité dans le vocable mathématique, devaient l'emporter.

Point de vue de d'Alembert sur la paternité du calcul différentiel :

Outre la logique, il faut signaler des travaux novateurs de Leibniz en géométrie, dans ce qu'il appela Geometria situs et Analysis situs, annonçant la topologie combinatoire et les premiers travaux de Euler sur ce qui deviendra la théorie des graphes.

En savoir un peu plus sur l'Analysis situs de Leibniz :

Leibniz publiera la majorité de ses travaux dans la revue Acta eruditorum (Actes des érudits), première revue littéraire et philosophique fondée à Leipzig en 1682 par Othon Mencke, professeur de philosophie dans cette ville, avec la collaboration de Leibniz.

A cette époque, mathématique, astronomie, théologie et philosophie sont encore intimement liées et cette revue permit à de grands mathématiciens, comme les Bernoulli, amis de Leibniz, de faire connaître leurs travaux. En France, en 1665, époque de Colbert, naissait le premier journal littéraire, intitulé journal des savants, créé par l'historien François Eudes de Mézeray. 

Rappelons que jusqu'aux années 1960, il était bon de faire ses humanités : le bon élève, celui qui avait de l'avenir..., était avant tout littéraire et pratiquait le grec et le latin. Être savant signifiait avant tout posséder une érudition littéraire et philosophique. Et se reporter sur les sections dites modernes (à vocation mathématique) relevait alors presque du péjoratif...

Leibniz se consacra également au développement en série des fonctions. Il inventa une machine à calculer plus élaborée que celle de Pascal (1685) et décrivit (1703) le principe du calcul binaire : écriture des nombres à l'aide des seuls chiffres, 0 et 1 : système binaire (base 2) qui sera pleinement exploité au 20è siècle pour la construction des calculatrices et des ordinateurs.

Systèmes de numération :             Couffignal  

Le calcul infinitésimal (calcul de l'infiniment petit) également dit différentiel et intégral :

Les calculs différentiel et intégral (dit sommatoire par Leibniz), permettront de résoudre des problèmes de mécanique non résolus jusqu'alors (comme la célèbre cycloïde) en centrant la recherche sur le concept analytique de tangente à une courbe.

Les premières ébauches du calcul intégral mises en place dans l'antiquité par Eudoxe et Archimède et, plus "récemment", par Cavalieri avec sa méthode des indivisibles avaient pour vocation les calculs d'aires et de volumes.

On doit à Leibniz (1675) :

Différentielle d'une fonction d'une ou plusieurs variables :             Barrow

Leibniz précise les différentielles de z = u + v, z = uv et z = u/v en justifiant qu'il est cohérent de négliger les termes de la forme du x dv. Il manipule des "infiniment petits" : on ne passe pas encore à la limite. On ne parle pas non plus de fonction continue.

d'Alembert et la dérivation :      Équations différentielles (généralités) :

 Dérivation, différentielle & application linéaire tangente :              Différence finies :

 Calcul de la longueur d'un arc de courbe (rectification) :

Les Bernoulli préférèrent en effet calcul intégral plutôt que sommatoire. Leur appellation l'emporta. Les deux vocables expriment la même idée de faire la somme de toutes les différences très petites qui, ainsi fusionnées, produisent une nouvelle grandeur (longueur d'un arc, aire, volume, travail d'une force, moment d'inertie, etc.).

L'intégrale de Riemann et le calcul de ses sommes, retirée des programmes de Terminales depuis une vingtaine d'années donnaient un sens tant au vocabulaire qu'à l'objet mathématique représenté par l'intégrale.

Le concept de fonction, la notation fonctionnelle :

Leibniz a utilisé dans ses écrits des notations nouvelles, plus "fonctionnelles" : il précise en effet le concept de fonction (le terme est de lui, 1692 : en latin functio = accomplissement, exécution) et de fonction dérivée, à travers celui de différentielle, que Newton appela fluxion.

Leibniz et Johann Bernoulli utilisèrent des lettres grecques pour désigner des fonctions, comme  x pour désigner une fonction de x, le x grec -prononcer ksi- correspondant à notre x. Johann Bernoulli utilisa aussi jx. Le nombre x est la variable de la fonction considérée. Les notations fx puis f(x) seront dues à Euler et Clairaut. Avec Lagrange et d'Alembert, cette dernière notation f(x), celle de nos jours, fut définitivement adoptée dans les années 1750. Dès cette époque y désigne généralement le nombre f(x). On a gardé cette écriture simplifiée y dans le vocabulaire des équations différentielles.

La notation y = R(x), dite fonctionnelle nous vient de Leibniz qui utilisait à l'époque une notation comme Rx ou fx. La notation actuelle f(x) initiée par Euler (1734) pour désigner l'image par f d'un élément x  s'affirmera avec Lagrange, d'Alembert et Clairaut dans les années 1750. à la même époque, x dite généralement  quantité variable ou indéterminée, prend le simple nom de variable.

 Johann Bernoulli utilisa fx pour notre actuel f(x) mis en place par Euler dans les années 1730. La notation fx de Bernoulli pouvait d'avérer très ambigüe suivant l'écriture manuelle du mathématicien : que signifierait fx+1 ? Est-ce fx augmenté  de 1 ou f appliqué à x + 1 ? Aujourd'hui, nous écrivons sans ambiguïté f(x) + 1.

Il n'y a bien évidemment pas que des fonctions d'une seule variable : une écriture comme f(x,y) = x - y désigne une fonction de deux variables. à ce propos, préférer les expressions fonction d'une variable, de deux variables, de plusieurs variables, plutôt que fonction à une variable, à deux variables...

Ce sont encore Leibniz et Johann Bernoulli qui mirent en place les premières études des fonctions exponentielles en 1695, année où Johann, abandonnant la médecine est nommé professeur de mathématiques à Groningen.

En savoir plus sur la notion de fonction :

La notion de courbe, associée à une fonction, est rattachée à une vision cinématique comme chez Neper, Descartes et Newton : la continuité reste implicite. Pour ces concepts, indissociables d'une construction préalable des nombres réels, il faudra attendre d'Alembert, Lagrange, Euler et, pour une plus grande rigueur, Cauchy, Riemann, Weierstrass. Cependant, pour Leibniz, l'absence des nombres réels ne fut pas un obstacle. Ce dernier avait énoncé sa loi de continuité de la Nature, selon laquelle cette dernière ne fait pas de saut : Natura non facit saltum. Le calcul différentiel est une application de ce principe naturel quelque peu mis à mal avec la découverte des quantas dans la mécanique de l'atome.

Lagrange et le sens de variation d'une fonction :

L'apparition, sans doute prématurée, de l'écriture fonctionnelle en classe de 3ème pose souvent problème d'autant qu'elle est introduite avec des fonctions linéaires et affines qui sont bien mieux assimilées avec les notations simplifiées y = ax et y = ax + b introduites dans le même cours...

Dans le langage courant, dire que y est fonction de x signifie que y peut s'exprimer au moyen d'une expression mathématique faisant intervenir x. Par exemple, le périmètre p d'un carré est fonction de la mesure de son côté c car p = 4c et on peut écrire de façon "plus fonctionnelle" : p(c) = 4c.

L'écriture p(1,25) signifiera le périmètre d'un carré de côté c = 1,25 unités, soit p(1,25) = 5. Le périmètre p d'un rectangle est fonction de sa largeur et de sa longueur; si x et y désignent respectivement ces deux grandeurs, on peut écrire p = 2x + 2y et plus "fonctionnellement"  p(x,y) = 2x + 2y.


Le périmètre d'un carré est le double de celui d'un rectangle dont la largeur est la moitié de sa longueur L.
Quelle est, en fonction de L, la mesure c du côté de ce carré ?
Rép. : selon l'énoncé, on peut écrire 4 x c = 2 x (2 x L + 2 x L/2), d'où 4c = 6L et c = 3L/2

Noter que parler d'une fonction f(x) était tout à fait correct avant la "modernisation" des mathématiques (époque Bourbaki, 1939). Depuis, f(x) est l'image de x par la fonction f et on note

f : x f(x)

la fonction qui à x associe f(x). Les concepts plus récents d'application, d'application biunivoque (bijection) seront le fait de Dedekind.

Règle de Leibniz, dite de dérivation sous le signe somme :

J désignant un intervalle de R et f est une fonction numérique (ou plus généralement à valeurs dans un espace vectoriel normé) continue des deux variables xJ et t[a,b], alors la fonction F définie par :

est continue sur J et si f est continûment dérivable sur J par rapport à x, alors F est dérivable sur J et :

 

  
Étude de la fonction F(x) = cos(x sint) dt : cliquez-moi...

La règle d'intégration sous le signe somme :

elle exprime, sous la seule condition de continuité de f en x et en t que si [u,v] est un intervalle de J, alors :

Le cas des intégrales généralisées (une borne au moins de l'intervalle d'intégration de f(x,t) est infini) est plus délicat :

Cas des intégrales généralisées, exemples :

Théorème fondamental du calcul différentiel et intégral :

Leibniz énonça le théorème liant l'aire sous la courbe aux primitives de la fonction et en considérant le processus de "sommation" comme réciproque de la "différentiation"; on lui doit ainsi la formulation "moderne" du calcul d'un volume de révolution :

utilisée implicitement par ses illustres prédécesseurs Archimède (méthode d'exhaustion) et Cavalieri (méthode des indivisibles).

Volume de la sphère :

Équations différentielles, généralités :

Le concept de différentielle permet à Leibniz de résoudre des équations fonctionnelles (l'inconnue est une fonction) où apparaissent tant la variable x que la fonction y = f(x) et/ou certaines de ses dérivées y' = (x), y" = '(x), fonction dérivée de , etc.

Le cas le plus élémentaire est de la forme A(x) = y'B(y) par séparation des variables : au moyen des différentielles, y' peut s'écrire dy/dx et une telle équation est de la forme :

A(x)dx = B(y)dy

d'où le nom d'équation différentielle. En intégrant les deux membres :

Une équation comme A(x)y' + B(x)y = 0 est un cas particulier élémentaire d'équation linéaire.

Un exemple d'équation différentielle du 1er ordre : l'équation xyy' = 1 se résout simplement en l'écrivant sous la forme yy' = 1/x, car x est non nul. On a ainsi séparé les variables, et il suit que y2 = ln x2 + k , ln désignant le logarithme népérien et k, une constante quelconque.

Un cas fondamental :      

Le cas y' =  ky où k est une constante non nulle se résout très simplement en remarquant que g(x) = ekx est une solution évidente de l'équation. Cherchons les autres solutions éventuelles sous la forme y = Yg : loisible, car g(x) étant non nulle pour tout x, Y est définie pour tout x par y/g. L'équation devient alors :

Y'g(x) + Yg'(x) = kYg(x) avec g'(x) = kg(x), ce qui revient à Y'g(x) = 0

et comme g(x) est non nulle pour tout x, Y' = 0. donc Y est une constante C. C'est dire que la solution générale de notre équation est y = Cekx.

Plus généralement, a(x).y' + b(x).y = c(x) est linéaire du 1er ordre, a(x).y" + b(x).y' + c(x).y = d(x) est linéaire du second ordre. Lorsque le second membre est nul, on parle d'équation homogène mais le qualificatif est ambigu car il se confond alors avec la notion d'équation différentielle homogène, le changement de (x,y) en (kx,ky) laisse l'équation invariante.


Deux exemples de résolution d'équation différentielle homogène
Méthode de la variation de la constante :
Équations différentielles linéaire du 1er ordre , Équation différentielle linéaire du second ordre

Eu égard à ses applications dans le monde de la physique et des sciences en général (en particulier la modélisation, de nos jours), l'étude des équations différentielles et de leurs solutions soumises à des contraintes (conditions particulières vérifiées par les solutions cherchées, "problème de Cauchy") est une branche maîtresse des mathématiques modernes.

D'une façon générale, on appelle équation différentielle une équation d'inconnue y = f(x) où intervient une, au moins, fonction dérivée de f (dérivée première : f ', dérivée seconde : f", ...). Usuellement, on note y' = f '(x), y" = f "(x), etc. Une équation différentielle est alors exprimée par la forme :

F(x, y, y', y", ...) = 0

L'équation différentielle est dite du 1er ordre si elle se résume à la forme F(x, y, y') = 0, du second ordre si elle se résume à la forme F(x, y, y', y") = 0, etc.

  La complexité du calcul de la solution générale d'une équation différentielle a incité les mathématiciens et les astronomes (comme Newton) à rechercher des méthodes de résolution approchée. Elles consistent à discrétiser les courbes intégrales, représentative des solutions, en recherchant un nombre fini de ses points sur un intervalle donné en la "linéarisant" : on la remplace par des segments de tangentes, donc par un contour polygonal le plus fin possible.

Euler formalisera ces méthodes dans son Institutiones Calculi Integralis (1768). Runge et Kutta les amélioreront au début du 20è siècle avec l'aide de l'ordinateur.

Méthode d'Euler (différences finies) pour la résolution de l'équation y' = j(x,y) :

Note sur les équations (différentielles) aux dérivées partielles :      

Les équations différentielles dont il est fait allusion ci-dessus (d'une seule variable) sont parfois qualifiées d'ordinaires, ce qui ne signifie nullement qu'elles soient simples à résoudre... La fonction f recherchée peut être une fonction de plusieurs variables.

Les choses se compliquent car il s'agit de savoir par rapport à quelle(s) variable(s) le phénomène étudié est soumis et par rapport à quelle(s) variable(s) on dérive ! On parle d'équations aux dérivées partielles (on omet généralement l'épithète différentielles) dont la résolution est généralement très complexe. Ce type d'équations est apparu en physique au milieu du 18è siècle, en particulier sous la main de Daniel Bernoulli et Euler parallèlement au calcul des variations.

 
Exemples concrets d'équation différentielle
, Équation différentielle à variables séparables
Système d'équations différentielles

 
Un programme remarquable à télécharger pour tracer des courbes intégrales du 1er ordre
parmi les logiciels de
Denis Monasse : cliquer dans la rubrique Logiciels    EquaDiff2       

Dérivées partielles, résolution d'équation aux dérivées partielles (EDP) :  

Critère de Leibniz pour les séries alternées :

Ce critère ne s'applique qu'aux séries alternées : si | un | tend vers 0 en décroissant, alors la série un converge et | un+k | avec k 1 (valeur absolue du reste), est inférieur à un+1.

Ce résultat fondamental permet de prouver la convergence d'un grand nombre de développements en série usuels comme ceux des fonctions sin x, cos x, tan x, ln(1 + x), etc. Ce critère prouve, par exemple, que la série harmonique alternée (également dite semi-harmonique) :

est convergente : sa somme est ln 2, logarithme népérien de 2.

Étude de la érie harmonique :                 Série de Mercator : Un calcul de p :             

 un petit exo à propos de la série harmonique

  Le critère de Leibniz ne peut pas s'appliquer à l'étude de la série alternée de Grandi 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 +.... dont la somme n'est ni 0, ni 1, ni 1/2... (suivant l'ordre de sommation des termes). Cette série doit être déclarée divergente. Tout dépend évidemment de ce que l'on entend par série convergente. Depuis Cauchy, le terme général doit tendre vers 0, ce qui n'est pas le cas ici. Même chez Euler, le problème n'était pas clair (il manipule avec bonheur diverses séries sans toujours se soucier de leur convergence). Il faudra attendre Dirichlet et Cauchy pour une définition rigoureuse de la convergence.

Quoi qu'il en soit, il est tout à fait illicite de changer l'ordre des termes d'une série si elle n'est pas absolument convergente (c'est à dire si la série de terme général |un| diverge). Dans le cas de la série harmonique alternée ci-dessus, on peut écrire :

 en regroupant chaque terme positif avec le terme négatif suivant. On obtient alors la série :

qui converge donc vers ½ln 2 = ln2 ! Un autre arrangement plus subtil rend cette suite divergente.

Liés à ces calculs des sommes de séries numériques, on doit aussi à Leibniz les principaux résultats relatifs à la rectification des courbes (calcul de la longueur d'un arc de courbe définie par une équation) et les calculs de volumes, le terme de "coordonnées", la notion de déterminant (1693) et le développement de ce qu'il fut convenu d'appeler l'analyse combinatoire et dont les précurseurs furent Pascal et Fermat.

Séries séries de fonctions, convergences simple, uniforme et normale :  

Premiers développements en série des fonctions élémentaires :

Leibniz établit (1673), parallèlement aux travaux de Newton, le développement en série des fonctions trigonométriques usuelles par des méthodes différentielles (recherche d'un développement en série d'une fonction à partir d'une équation différentielle qu'elle satisfait). Il obtint ainsi par exemple :

sin x = x - x3/3! + x5/5! - x7/7! + ...

A propos de la fonction sinus, Leibniz, et encore son concurrent Newton, étudieront ses propriétés et sa courbe représentative : la sinusoïde, appelée ainsi ultérieurement dans l'Encyclopédie de d'Alembert (1751), fut au préalable décrite par Roberval.

La célèbre (dans le monde mathématique...) somme :

                      Calcul de p (JavaScript)

fut aussi établie par Leibniz. Également attribuée à Gregory, elle est  conséquence du développement de atn x (atn = arc tangente) lorsque x = 1.

Formule de Taylor et développement limité :           Développements en série usuels :

Formules de Leibniz, Fonction scalaire de Leibniz, Fonction vectorielle de Leibniz :

Pascal et les combinaisons :

Si G désigne le barycentre d'un système de points pondérés (Ai,ai) :


Si Sai = 1, le barycentre des Ai est inexistant. Montrer que le vecteur f(M) est constant (indépendant de M)

Si G désigne le barycentre d'un système de points pondérés (Ai,ai) :

        (relation de Leibniz)


Si Sai = 1, le barycentre des Ai est inexistant. Montrer que pour tout point K :

 Archimède , Möbius , König                  Barycentre , Coordonnées barycentriques

 Noter que l'appellation "vectorielle" pour la fonction f est impropre car la notion de vecteur n'est pas encore dégagée. Il faudra attendre la fin du 18è siècle avec Stewart, Argand, puis Bellavitis, Chasles, Möbius et, pour une formalisation (analyse vectorielle ), Hamilton, Gibbs et Grassmann.

La notion de vecteur :

Notation de Leibniz pour la multiplication et la division :

Plus anecdotique mais pratique, voire fondamentale dans l'écriture mathématique, est la notation implicite de la multiplication que Leibniz proposa. Dans une lettre à Johann Bernoulli, il estimait, à juste titre, que la notation a x b d'Oughtred prêtait à confusion avec le x de l'algèbre : c'est pourquoi il utilisa a.b puis ab (notation implicite) au lieu de a x b, ainsi que a : b pour exprimer le quotient de a par b, parfois plus commode que la notation fractionnaire usuelle déjà utilisée depuis fort longtemps :

  Nicolas d'Oresme

Leibniz philosophe, logicien et fondateur de la topologie :

A noter les travaux infructueux de Leibniz, sans doute trop novateurs et, par là, insuffisamment entendus, dans sa quête d'un langage mathématique universel (logique symbolique). Il écrivait en 1667 au Père Berthet (Leibniz, Oeuvres choisies, Ed. Garnier) :

(...) Je tiens pour assuré qu'on ne saurait presque obliger davantage le genre humain qu'en établissant une caractéristique telle que je la conçois. Car elle donnerait une écriture ou, si vous voulez, une langue universelle qui s'entendrait de tous les peuples.

Cette langue s'apprendrait tout entière (au moins pour le plus nécessaire) en peu de jours et ne se saurait oublier pourvu qu'on en retint quelque peu de chose. Mais le principal serait qu'elle nous donnerait un filum meditandi, c'est à dire une méthode grossière et sensible, mais assurée de découvrir des vérités et résoudre des questions ex datis.

(...) et comme l'esprit se perd et se confond lorsqu'il y a un grand nombre de circonstances à examiner ou des conséquences à poursuivre (...), on se délivrerait par ce moyen des inquiétudes qui agitent l'esprit çà et là et qui le font flotter entre la crainte et l'espérance, en sorte que souvent, au bout de la délibération, on est aussi avancé ou moins qu'auparavant.

Durant cette même période, dans des correspondances avec Huygens et des essais (1676-1679) qu'il qualifia d'Analysis situs, Leibniz cherche à schématiser et résoudre des problèmes combinatoires dans un contexte universel (arithmétique, géométrique et logique) : il apparaît ainsi comme un précurseur de la théorie des graphes et de la topologie combinatoire.

Analysis situs : du grec et du latin savant analysis = analyse, étude et situs = situation (au sens des cas et configurations à envisager). Poincaré utilisera encore cette dénomination malgré le nouveau terme de topologie créé par Listing en 1836.

Euler et la théorie des graphes :

Ce sera De Morgan et Boole, un siècle et demi plus tard, qui exauceront le vœu de Leibniz, suivis par Cantor, Peano, Frege et bien d'autres avec la mise en place du langage des ensembles et du calcul des propositions dans cette période passionnante mais tourmentée pour les mathématiques que l'on a appelé la crise des fondements, avec la découverte des contractions apparues dans la théorie des ensembles.

Pour en savoir plus :


Newton  Ceva Giovanni
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