ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Fonction Arc tangente & arc tangente             Arc sinus & Arc cos

• Nom de la fonction : Arc tangente.

• Origine du nom, abréviation : de tangente et de arc (de cercle).
  L'arc tangente d'un nombre x est l'angle y (exprimé en radians) de l'intervalle ]-p/2, +p/2[ dont la tangente est x.

• Notation : y = Atan(x) ou Atn(x) ou encore, plus anciennement : y = Arctan(x)

y = Atn(x)    x = tan y

Exemple et prudence... :    tan p/4 = 1; donc Atn 1 = p/4. Cependant, il faut prendre garde à rester dans l'intervalle de définition de Atn : tan(-p/3) = tan(p - p/3) =  tan (2p/3)  = - 3 et Atn (- 3) =  -p/3  et non pas 2p/3 !

• Périodique : non.

• Fonction impaire (de par l'imparité de la fonction tan).

• Fonction dérivée : car x = tany dx = d(tan y) = (1 + tan²y).dy dy/dx = y' = 1/(1 + x²).
  Cas composé, fréquent en calcul intégral :

• Nom de la courbe associée : néant

• Définition équivalente : fonction réciproque (aussi dite, à tort, fonction inverse) de la fonction tangente restreinte à l'intervalle J = ]-p/2, +p/2[ sur lequel cette dernière est bijective : strictement croissante de J sur ]- ,+[.

• Applications : recherche d'un angle dont la tangente est donnée. Touche tan^-1 ou Atn des calculatrices.

 
les droites d'équations y = p/2 et y = -p/2 sont asymptotes à la courbe

Soit z le nombre complexe z = -13 + 4i. Vérifier que 19p/200 est une valeur approchée de Atn(4/13) à 10^-4 près.
En déduire l'argument principal de z.
   
Rép : en posant z = x + iy, si q est l'argument cherché, on a tan(q) = y/x = -4/13. D'où Atn(q) = -19p/200.
Or x < 0 et y > 0, donc q est élément du second quadrant : = -19p/200 + p = 181p/200

Plus généralement, si on a l'égalité x = tan y, on notera y = atn x (ou y = arc tan x), sans majuscule, les nombres y dont la tangente est x : c'est une fonction multiforme (infinité d'images) car si x = tan y, on a aussi x = tan(y + kp).

On pourrait définir de même la fonction Arc cotangente en tant que fonction réciproque de la fonction cotangente restreinte à l'intervalle J = [0, +p] sur lequel cette dernière est bijective mais cette fonction, sans intérêt pratique majeur, est inusitée, comme d'ailleurs aujourd'hui la fonction cotangente elle-même : cotan(x) = tan(p/2 - x) = 1/tan (x). Vérifier à ce propos que : 

Atan x + Atan(1/x) = p/2  et aussi   Atan a + Atan b = Atan[(a + b)/(1 - ab)]

    Montrer que Atan(4/3) = 2 Atan(1/2)
Poser tan y = 4/3 et tan z = 1/2; calculer tan z en fonction de tan(z/2); vous devriez trouver 4/3. Conclure à kp près.
Prouver de même : 2Atan(2/3) = Acs(5/13) , 2Acs(3/4) = Acs(1/8)       Acs = Arc cosinus

Atan et calcul de p selon John Machin : , selon Shanks :            Atan, p et suite de fibonacci :