ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Fonction Arc tangente & arc tangente      » Arc cotangente , Arc sinus & Arc cos

• Nom de la fonction : Arc tangente.

• Origine du nom, abréviation : de tangente et de arc (de cercle).
  L'arc tangente d'un nombre x est l'angle y (exprimé en radians) de l'intervalle ]-π/2, +π/2[ dont la tangente est x.

• Notation : y = Atan(x) ou Atn(x) ou encore, plus anciennement : y = Arctan(x)

» Exemple et prudence... :    tan π/4 = 1; donc Atn 1 = π/4. Cependant, il faut prendre garde à rester dans l'intervalle de définition de Atn : tan(-π/3) = tan(π - π/3) =  tan (2π/3)  = - √3 et Atn (- √3) =  -π/3  et non pas 2π/3 !

• Périodique : non.

• Fonction impaire (de par l'imparité de la fonction tan).

• Fonction dérivée : a²

     car x = tany  ⇒ dx = d(tan y) = (1 + tan²y).dy  ⇒ dy/dx = y' = 1/(1 + x²).

• Nom de la courbe associée : néant

• Définition équivalente : fonction réciproque (aussi dite, à tort, fonction inverse) de la fonction tangente restreinte à l'intervalle J = ]-π/2, +π/2[ sur lequel cette dernière est bijective : strictement croissante de J sur ]-∞ ,+∞[.

• Applications : recherche d'un angle dont la tangente est donnée. Touche tan^-1 ou Atn des calculatrices.

 
les droites d'équations y = π/2 et y = -π/2 sont des asymptotes "horizontales pour la courbe

∗∗∗
Soit z le nombre complexe z = -13 + 4i. Vérifier que 19π/200 est une valeur approchée de Atn(4/13) à 10^-4 près.
En déduire l'argument principal de z.
   
Rép : en posant z = x + iy, si θ est l'argument cherché, on a tan(θ) = y/x = -4/13. D'où Atn(θ) = -19π/200.
Or x < 0 et y > 0, donc θ est élément du second quadrant : = -19π/200 + π = 181π/200

 ➔  Plus généralement, si on a l'égalité x = tan y, on notera y = atn x (ou y = arc tan x), sans majuscule, les nombres y dont la tangente est x : c'est une fonction multiforme (infinité d'images) car si x = tan y, on a aussi x = tan(y + kπ).

à une constante additive près, on a :

En factorisant par b² au dénominateur, on en déduira ce second résultat :

 ➔  On pourra vérifier ces deux identités : 

• Atan x + Atan(1/x) = π/2;

• Atan x + Atan y = Atan[(x + y)/(1 - xy)].

 i  On pourrait définir de même la fonction Arc cotangente en tant que fonction réciproque de la fonction cotangente restreinte à l'intervalle J = [0, +π] sur lequel cette dernière est bijective mais cette fonction, sans intérêt pratique majeur, est peu usitée, comme d'ailleurs aujourd'hui la fonction cotangente elle-même : cotan(x) = tan(π/2 - x) = 1/tan (x).

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a) Montrer que Atan(4/3) = 2 Atan(1/2)
Indications : poser tan y = 4/3 et tan z = 1/2; calculer tan z en fonction de tan(z/2); vous devriez trouver 4/3. Conclure à kπ près.
b) Montrer que Atan(2/3) = Acos(5/13) , 2Acos(3/4) = Acos(1/8)       » Acos = Arc cosinus

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         »  intégrale généralisée

Atan et calcul de π selon Machin : »  |  selon Shanks : »  |  selon Fibonacci : »

» Loi de Cauchy (probabilités)