ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Polyèdres réguliers convexes (solides de Platon)         » Polyèdres (généralités) , Polygones réguliers

Les polyèdres réguliers convexes furent tout particulièrement étudiées par Théétète d'Athènes, Platon, Euler et Descartes. En quelque sorte, ils sont à l'espace ce que les polygones réguliers sont au plan : côtés de même mesure, angles égaux, inscriptibles dans un cercle  dans le cas du plan  →  faces isométriques (polygones réguliers), angles d'arêtes de leurs angles polyèdres égaux, inscriptibilité dans une sphère dans le cas de l'espace 3D.

La figure ci-dessous, constituée de 10 triangles équilatéraux isométriques (identiques) ne représente pas un polyèdre régulier. C'est une dipyramide pentagonale : di = deux ou double pour signifier que l'on obtient deux pyramides de base pentagonale commune. On construira facilement ce polyèdre au moyen de deux hexagones réguliers (formés de 6 triangles équilatéraux identiques) auxquels on aura "retiré" un triangle...

Considérons un polyèdre dont un sommet est S et une section de ce polyèdre par un plan «suffisamment proche» de S. Il est clair, sans faire de calculs savants que la section sera une pyramide développable dans un plan contenant S (son patron) et que la somme des angles de sommet S de ses faces est donc inférieure à 360°.

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Somme des angles au sommet d'un pyramide

  Dans le cas d'un polyèdre régulier dont un sommet est S : au moins trois faces du polyèdre se rencontrent en S, cela peut être :

• 3, 4 ou 5 triangles équilatéraux (60°) , 6 ne se peut pas car cela ferait 360° : ce serait plat ! donc 3 cas possibles.

• 3 carrés (90°) , 4 ou plus ne se peut pas : 1 cas possible.

• 3 pentagones réguliers : 3 x 108° , 4 ou plus ne se peut pas : 1 cas possible.

• 3 hexagones (120°) ou plus de côtés : impossible car la somme serait supérieure à 360°.

 ➔  Mais pourquoi faire simple quand on peut faire compliqué : considérons notre polyèdre régulier. On nomme x le nombre d'arêtes de ses angles polyèdres et y le nombre de côtés des faces des polygones réguliers. Par exemple, à droite, une partie du dodécaèdre : 12 faces pentagonales (y = 5). Chaque angle polyèdre possède 3 arêtes.

Dénombrons, avec répétition, toutes les arêtes rencontrées en parcourant chaque face : F faces de y côtés fournissent yF arêtes. Chaque arête appartient à deux faces et deux seulement, ainsi yF = 2A.

Raisonnons maintenant avec le nombre d'arêtes rencontrées quand on dénombre tous les angles polyèdres : nous avons xS arêtes. Mais chaque arête joint deux sommets, d'où xS = 2A. De 2A = yF = xS et grâce à la formule d'Euler-Descartes S - A + F = 2, on déduit l'égalité : 2y + 2x - xy = 4x/F. D'où (conditions nécessaires) :

2x > 2y - xy  et  2y + 2x - xy > 0

avec les conditions supplémentaires y > 2 et x > 2. Nous sommes face à un problème de régionnement du plan en nombres entiers :

x > 2 (donc 2 - x < 0) , y > 2, y > 2x/(2 - x), y < 2x/(x - 2)

On constate que la condition y > 2x/(2 - x) est inutile. Il n'y a que 5 polyèdres réguliers possibles (et effectivement constructibles) :

Construction de l'icosaèdre : »

 ➔  Ces formes se retrouvent dans la nature, notamment dans certains minéraux, les cristaux, du fait des propriétés de symétrie de leur structure impliquant d'ailleurs, de par l'agencement des atomes, la notion mathématique abstraite de structure de groupe (groupes cristallographiques). Mais les structures moléculaires ne se réduisent pas aux polyèdres réguliers.

»  Pacioli          Solides archimédiens : »          Notions sur les cristaux : »

Pour en savoir plus :

• La symétrie, Que sais-je n°743, Ed. P.U.F. par Jacques Nicolle
• Le livre de Yvonne et René Sortais : Géométrie de l'espace et du plan
  Ed. Hermann , 1988 Coll. Formation des Enseignants/Formation continue.
• Une foule de polyèdres animés  Pedagoguery Software Inc. (Canada) :  http://www.peda.com/poly/.
  Vous pourrez y télécharger le logiciel générateur : http://www.peda.com/poly/download.html.      
   A droite ce "petit hombicosidodécaèdre" (» solides archimédiens) animé est emprunté au site →
• Figures animées pour la physique, site de Geneviève Tulloue (cliquer sur Polyèdres) : http://www.sciences.univ-nantes.fr/physique/perso/gtulloue/index.html
• Le site de Hubert Martineau (polyèdres animés) : http://perso.wanadoo.fr/math.lemur/3d/poly.htm
• Waterman Polyhedra (en anglais) : http://dogfeathers.com/java/ccppoly.html

Le clathre un champignon polyédrique non comestible (sud de la France)...  à gauche en plein développement. à  droite, après éclosion de sa
chrysalide, sa structure polyédrique évidée (sporophore) apparaît. Un spectacle étonnant ! Quelques jours plus tard, il s'aplatit comme s'il se
dégonflait. © Photos empruntées à Nicolas Lesaint, viticulteur à Reignac (Gironde) avec son aimable autorisation.

Cette belle fleur d'oignon : boule ou polyèdre à faces hexagonales ?...

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1. Niveau 5è des collèges : construire le dodécaèdre régulier , construire l'icosaèdre , l'icosaèdre tronqué (ballon de football).

2. Niveau 1ère : tout comme le triangle équilatéral, le tétraèdre régulier (atome de carbone, constituant du diamant) n'a certes pas de centre de symétrie mais on parle cependant de son centre : point O situé à égale distance de ses sommets qui est son centre de gravité. Calculer l'angle ^AOB où A et B sont deux sommets ? Rép. : ≅ 109,5°.

3. Plus dur : Dans le dodécaèdre régulier, il est manifeste que les angles dièdres de deux faces consécutives (angles de leurs plans) sont égaux deux à deux. Mais égaux à quoi ? Rép. :  ≅ 116,6°.

4.   Niveau 2nde/1ère : »  volume d'un tétraèdre.