ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Polyèdres (généralités)
     Polyèdres réguliers convexes (solides de Platon)   

    Poinsot , Polyèdres croisés , Solides d'Archimède , Polygones réguliers , Structures cristallines

On appelle polyèdre (du grec poly = plusieurs et hedra = base, facette) un solide de l'espace limité par un nombre fini de polygones plans : ses faces. En ce sens, le dièdre (2 faces) et le trièdre (3 faces) ne sont pas des polyèdres !

Le minimum de faces d'un polyèdre est 4 : il s'agit alors d'un tétraèdre (voir ci-après). On appelle arête d'un polyèdre toute intersection de deux faces.

Château d'eau près de Toulouse : contrairement à l'accoutumée, la citerne n'est pas cylindrique ou tronc-conique mais polyédrique (de forme polyèdre)

Le cube est un polyèdre possédant 6 faces carrées identiques de côté c : longueur commune des arêtes. L'intersection de deux arêtes est un sommet du polyèdre.

Le prisme (à gauche) est un polyèdre particulier possédant deux faces parallèles identiques (ses bases), toutes les autres (faces latérales) sont des parallélogrammes.

  Vous pouvez déplacer/déformer la face supérieure en "tirant", avec la souris, sur un de ses côtés ou en déplaçant un sommet. Vous pouvez aussi déplacer l'arête coloriées en rouge.

Les arêtes des faces latérales sont donc parallèles et on parle de surface prismatique. Lorsque les faces latérales sont des rectangles, on parle de prisme droit. Le cube est un prisme droit particulier.

 prisme et perspective cavalière ,  perspective d'un prisme (niveau 5è/3è)

Le pavé ou parallélépipède rectangle (comme la boîte d'allumettes) est un prisme droit dont les bases sont rectangles. Le cube est un cas particulier de pavé.

La pyramide est un polyèdre construit à partir d'un polygone (sa base) et un un point S hors du plan du polygone (son sommet qui joue dans ce cas un rôle particulier par rapport aux autres).

Outre sa base (sur laquelle elle repose), ses faces latérales sont les triangles obtenus en joignant S à chaque côté du polygone.

On appelle hauteur d'une pyramide la mesure de la distance entre le sommet S et sa base (B), c'est à dire SH, où S désigne la projection orthogonale de S sur le plan contenant (B). On dit aussi souvent hauteur pour parler du segment [SH].

  Pyramides , Patrons de pyramides

Le tétraèdre (du grec tetra = quatre et hedra = face) est une pyramide particulière : ses quatre faces sont triangulaires; elles peuvent toutes jouer le rôle de la base. Un tétraèdre possède donc 4 hauteurs.

Un tétraèdre est dit trirectangle si trois de ses faces sont des triangles rectangles en un même sommet (formant un trièdre rectangle).

Un tétraèdre est dit orthocentrique si ses quatre hauteurs sont concourantes. Un tétraèdre trirectangle est évidemment orthocentrique.

Plus généralement, on montre que est tétraèdre est orthocentrique si et seulement si chaque arête est orthogonale à l'arête opposée.

  Centre de gravité du tétraèdre régulier , Orthocentre du tétraèdre régulier
  Somme des angles au sommet d'une pyramide , Tétraèdre orthocentrique niveau 1èreS/TerS

                                             
                                                                     
La tour de contrôle de l'aéroport d'Orly (sud de Paris) : la sphère polyèdre (radôme) renferme un puissant radar.

Les polyèdres réguliers :

Les polyèdres réguliers convexes furent tout particulièrement étudiées par Théétète d'Athènes, Platon, Euler et Descartes. En quelque sorte, ils sont à l'espace ce que les polygones réguliers sont au plan : côtés de même mesure, angles égaux, inscriptibles dans un cercle    faces isométriques, angles d'arêtes de leurs angles polyèdres égaux, inscriptibilité dans une sphère.

convexe s'oppose à étoilé (on dit aussi croisé) un polyèdre convexe est situé entièrement dans un même demi-plan constitué par l'une quelconque de ses faces. On comprendra mieux la distinction en visitant la page des polyèdres étoilés...

Figure de gauche : les faces jaune et bleue forment un angle dièdre (deux faces) dont l'intersection est une arête du polyèdre; les faces jaune, orange et bleue forment un angle trièdre (trois faces) dont l'intersection est un sommet du polyèdre. Dans un polyèdre régulier, les angles dièdres sont égaux.

 Figure de gauche : Ce polyèdre n'est pas régulier : seules ses faces sont isométriques (même mesure). C'est une dipyramide pentagonale. (di = deux ou double pour signifier que l'on obtient deux pyramides de base pentagonale commune).

On construira facilement ce polyèdre au moyen de deux hexagones réguliers (formés de 6 triangles équilatéraux identiques) auxquels on aura "retiré" un triangle.

Considérons maintenant un polyèdre dont un sommet est S et une section de ce polyèdre par un plan «suffisamment proche» de S. Il est clair, sans faire de calculs savants que la section sera une pyramide développable dans un plan contenant S (son patron) et la somme des angles de sommet S de ses faces est donc inférieure à 360°.

  Somme des angles au sommet d'un pyramide

Bâtiment polyédrique au Futuroscope. Les verres le recouvrant réfléchissent la couleur du ciel. Photographie partielle extraite d'un dépliant photographique du site  

Revenons dans l'espace et considérons un polyèdre régulier : au moins trois faces du polyèdre régulier se rencontrent en S, cela peut être :

Mais pourquoi faire simple quand on peut faire compliqué : considérons notre polyèdre régulier. On nomme x le nombre d'arêtes de ses angles polyèdres et y le nombre de côtés des faces des polygones réguliers. Par exemple, à droite, une partie du dodécaèdre : 12 faces pentagonales (y = 5). Chaque angle polyèdre possède 3 arêtes.

Dénombrons, avec répétition, toutes les arêtes rencontrées en parcourant chaque face : F faces de y côtés fournissent yF arêtes. Chaque arête appartient à deux faces et deux seulement, ainsi yF = 2A. Raisonnons maintenant avec le nombre d'arêtes rencontrées quand on dénombre tous les angles polyèdres : nous avons xS arêtes. Mais chaque arête joint deux sommets, d'où xS = 2A. De 2A = yF = xS et grâce à la formule d'Euler  S - A + F = 2, on déduit l'égalité :

2y + 2x - xy = 4x / F

D'où (conditions nécessaires) : 4x > 2y + 2x -xy  et  2y + 2x - xy > 0

Nous sommes face à un problème de régionnement du plan en nombres entiers, avec les conditions supplémentaires y > 2 et x > 2. On constate que la première condition est inutile (graphique page suivante). Il n'y a que 5 polyèdres réguliers possibles (et effectivement constructibles) :

Description des 5 polyèdres réguliers :
 

x

y

S

F

A

nature

3

3

4

4

6

tétraèdre

4

3

6

8

12

octaèdre

5

3

12

20

30

icosaèdre

3

4

8

6

12

cube

3

5

20

12

30

dodécaèdre


De gauche à droite et de haut en bas : Tétraèdre - cube - octaèdre - dodécaèdre - icosaèdre

Construction de l'icosaèdre :

 Ces formes se retrouvent dans la nature, notamment dans certains minéraux, les cristaux, du fait des propriétés de symétrie de leur structure impliquant d'ailleurs, de par l'agencement des atomes, la notion mathématique abstraite de structure de groupe (groupes cristallographiques). Mais les structures moléculaires ne se réduisent pas aux polyèdres réguliers.

  Pacioli         Notions sur les cristaux :

Pour en savoir plus :

Le site de Hubert Martineau (polyèdres animés) : http://perso.wanadoo.fr/math.lemur/3d/poly.htm ou encore :
Waterman Polyhedra (en english...) : http://dogfeathers.com/java/ccppoly.html


Cette belle fleur d'oignon : boule ou polyèdre à faces hexagonales ?...

1. Niveau 5è des collèges : construire le dodécaèdre régulier , construire l'icosaèdre , l'icosaèdre tronqué (ballon de football)

2. Niveau 1ère : tout comme le triangle équilatéral, le tétraèdre régulier (carbone, constituant du diamant) n'a certes pas de centre de symétrie mais on parle cependant de son centre : point O situé à égale distance de ses sommets qui est son centre de gravité.

Pourriez-vous calculer l'angle ^AOB où A et B sont deux sommets ? Rép : @ 109,5°.

3. Plus dur : Dans le dodécaèdre régulier, il est manifeste que les angles dièdres de deux faces consécutives (angles de leurs plans) sont égaux deux à deux. Mais égaux à quoi ? Rép : @ 116,6°.

4. Niveau 2nde/1ère : on considère un tétraèdre ABCD pour lequel l'arête [AB] est perpendiculaire au plan (BCD), BC = CD = DB = a et AB = 2a. Exprimer le volume de ce tétraèdre en fonction de a ainsi que l'aire totale des faces.

Rép ex. 4 : V = a3/(23) , S = a2(8 + 23 + 19)/4.


 
© Serge Mehl - www.chronomath.com