ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

GALOIS Évariste, français, 1811-1832                                           
   
  Théophile Gautier, écrivain français (1811-1872), Gérard de Nerval (1808-1855) a 3 ans, Victor Hugo a 9 ans (1802-1885)

Né à Bourg la Reine (au sud de Paris, fils d'un notable* de la ville. Evariste fit des études secondaires à Paris au lycée Louis-le-Grand (dit Collège à l'époque) relativement brillantes mais en "dents de scie" de par son caractère tempétueux et indiscipliné...

* Nicolas Gabriel Galois, qui fut maire de Bourg la Reine de 1815 à 1829, meurt tragiquement cette année là : il se suicida suite à des calomnies répandues par le curé de la ville.

Son attrait et son génie pour les mathématiques n'apparaît qu'à 15 ans. à 16 ans, son caractère rebelle lui vaut un premier échec à l'entrée de l'École Polytechnique. Second échec l'année suivante. La passion de Galois pour les problèmes algébriques s'exprime déjà en 1829 (il a 18 ans) : il publie dans le journal de Gergonne un joli théorème relatif aux solutions développables en fraction continue périodique d'une équation algébrique, c'est à dire du type polynomial p(x) = 0 ( réf.2). Il se présente alors à l'École normale (1829). Admis, il en est exclu deux ans plus tard (1831) à la suite d'un différend avec le directeur, qu'il juge réactionnaire, auquel il opposait ses idées républicaines (la France venait de sortir de la révolution de juillet 1830 qui chassa Charles X mais conforta la royauté avec l'avènement de Louis-Philippe, duc d'Orléans).

Au-delà du 4ème degré, la résolution générale des équations algébriques reste un problème ouvert. Abel avait montré que pour le degré 5, la résolution par radicaux, comme dans le cas du second degré, du troisième avec la formule de Cardan-Tartaglia, et du 4ème, à la manière de Ferrari qui se ramène au degré 3). En cette année 1929, qui aurait pu être féconde pour le jeune Évariste, trois mémoires sur le sujet, basé sur le nouveau concept de groupe, sont présentés à l'Académie des sciences. Cauchy les transmet à Fourier qui les ignore. Ce dernier meurt en 1830, Cauchy quitte Paris pour Turin en incitant Galois à rédiger ses travaux avec plus de soin en vue du Grand prix des mathématiques de l'Académie.

Les travaux novateurs de Galois furent perdus. à sa sortie de l'École normale (1831), Galois présente un nouveau mémoire intitulé Mémoire sur les conditions de résolubilité des équations par radicaux. Trop novateur sans doute, et peut-être un peu brouillon, il est incompris par Poisson : le mémoire est refusé par l'Académie des sciences de Paris.

Républicain engagé et bouillonnant s'opposant farouchement à la monarchie de juillet, Galois multipliait des séjours en prison (en la tristement célèbre Sainte-Pélagie) dont un avec le jeune poète Gérard de Nerval. Il en sortit malade quelques mois avant sa mort. Épris d'une "infâme coquette", selon ses termes, il dut accepter une provocation en duel où il trouva la mort. La nuit précédent le duel, il écrit son testament mathématique qu'il confia, avec divers autres manuscrits, à son ami Auguste Chevalier ( réf.2) le priant de le transmettre à Jacobi ou Gauss.

Ce n'est qu'en 1843, grace aux efforts de son ami et de son frère Alfred que les travaux de Galois sont reconnus, transmis et complétés par Liouville (1846) à l'Académie des Sciences, mais c'est Jordan, en 1870, qui les fera vraiment connaître à travers son traité d'algèbre.

Théorème de Galois :

La théorie de Galois est basée sur l'étude des groupes de substitutions (plutôt appelées aujourd'hui permutations, le terme substitution persiste pour les ensembles finis) entamée par Cauchy. Son but était d'apporter une réponse définitive au problème de la résolution des équations algébriques par radicaux sur lequel les plus grands mathématiciens se heurtaient jusqu'alors malgré l'avancée spectaculaire d'Abel sur le sujet.

Une équation algébrique dont le degré est premier est résoluble par radicaux si et seulement si
chacune de ses racines peut s'écrire comme fonction rationnelle de deux autres.

Sous-groupe distingué (également dit sous-groupe normal) :     

Galois introduisit la notion de sous-groupe distingué : un sous-groupe H d'un groupe (G,*) est ainsi dénommé si pour tout x de G et pour tout h de H, le produit x*h*x-1 est élément de H.

On note souvent H G pour signifier que H est distingué dans G.


Prouver que dans un groupe, l'image homomorphe d'un sous-groupe distingué est un sous-groupe distingué.

Pour tout x de G, si on note :

Par définition, H G xHx-1 H pour tout x de G. Or, H xHx-1. En effet, si hH, on aura :

hxHx-1 h'H / h = x*h'*x-1 h'H / h' = x-1*h*x

Vu que H G, h' = x-1*h*x est effectivement élément de H. Ainsi, on peut également dire :

H G si et seulement si  : xHx-1 = H ou encore, xH = Hx

C'est dire que les classes à gauches sont aussi les classes à droite. On pourra enfin exprimer que H est invariant par tout automorphisme de G de la forme Ig : x g*x*g-1, g G. On parle d'automorphisme intérieur.

Homomorphismes de structures algébriques :

Théorème :   

Les sous-groupes distingués d'un groupe G sont les noyaux des homomorphisme de G


a) Vérifier que Ig défini ci-dessus est effectivement un automorphisme : bijection de G telle que Ig (x*y) = Ig (x)*Ig (y).
b) Vérifier que si h est un sous-groupe de G,  Ig(H) = H H distingué dans G. Que peut-on dire de Ig*g' ?
c) Prouver que l'ensemble A des automorphismes intérieurs d'un groupe G est un groupe isomorphe au groupe
quotient G/C où C désigne le centre de G.
Rép. : ici

Noter que si G est commutatif (groupe abélien), alors tout sous-groupe de G est distingué dans G.

Exemples fondamentaux :    

Groupes de permutations, groupe alterné :          Groupe quotient d'un groupe par un sous-groupe distingué :

Un groupe peut ne posséder aucun sous-groupe distingué autre que lui-même (et le sous-groupe trivial réduit à l'élément neutre) :

 Groupes simples :                Sous-groupes conjugués :

Galois prouve alors élégamment l'impossibilité de résoudre par radicaux les équations de degré supérieur ou égal à 5 (hormis bien évidemment les cas triviaux), complétant ainsi les travaux d'Abel.

 équation du 3è degré (selon Cardan)  ,  équation du 3è degré (selon Viète)  ,  du 4ème degré

Les permutations d'un ensemble de cardinal fini n sont les bijections de cet ensemble dans lui-même. Elles sont au nombre de n! (factorielle n) et constituent un groupe pour la loi de composition des applications, dit groupe symétrique, généralement noté Sn.

Groupes finis, monogènes, cycliques... :

 Groupe de Galois :                   groupe de Galois d'une extension de corps

Selon le théorème fondamental de l'algèbre (souvent appelé théorème de d'Alembert) une équation algébrique E de degré n admet n racines réelles ou complexes, distinctes ou non. Vandermonde, Lagrange et Cauchy avaient déjà perçu le rôle des relations symétriques des racines d'une équation algébrique dans la recherche d'un algorithme de résolution par radicaux : on note que ces relations, considérées comme des fonctions des racines x1, x2, ..., xn , sont des fonctions polynomiales rationnelles de la forme P(x1, x2, ..., xn) = 0, quelles que soient les racines de E (rationnelles ou non, complexes ou non) et que toute permutation des racines laisse invariantes ces relations.

Mais il existe, entre les racines, d'autres fonctions rationnelles (non nécessairement symétriques) du type P(x1, x2, ..., xn) = 0. Galois établit que :

  1. L'ensemble des permutations laissant invariantes toutes les fonctions polynomiales rationnelles des racines d'une équation algébrique E de degré n, est un sous-groupe de Sn, appelé groupe de l'équation dénomination due à Galois. On parle aujourd'hui de  groupe de Galois de E). à distinguer du groupe de Galois d'une extension définie ci-après.

  2. Si l'équation générale de degré n est résoluble par radicaux, alors le groupe de l'équation admet une chaîne particulière de sous-groupes distingués de G : on parle depuis Artin de groupe résoluble.

L'impossibilité de résoudre par radicaux (dans le cas général) les équations de degré supérieur ou égal à 5, repose sur le fait que Sn n'est pas résoluble pour n > 4. On pourra lire avec profit les pages très pédagogiques de A. Dahan-Dlmedico et J. Peiffer dans leur Histoire des mathématiques routes et dédales ( réf.2) et d'Alain Connes, Évariste Galois et la théorie de l'ambiguïté ( réf.10).

Artin et le groupe résoluble S3 :


Extensions galoisiennes, une conférence de Jean-Pierre Serre (vidéo IHP sur YouTube)  

Corps de décomposition d'une équation algébrique, polynôme séparable :

Historiquement, le corps de décomposition (ou de dislocation ou de rupture, ou encore, improprement, corps des racines) d'une équation algébrique E, est le plus petit corps (au sens de l'inclusion) contenant le corps Q des rationnels et toutes les solutions de E.

Plus généralement, si P est un élément de l'anneau K[x] des polynômes à coefficients dans un corps commutatif K, on appelle corps de décomposition de P le plus petit surcorps L de K contenant l'ensemble des racines x1, x2, ..., xn de P permettant sa factorisation en facteurs linéaires (binômes du premier degré). C'est une extension algébrique finie de K, souvent notée K(x1, x2, ..., xn).

Tout élément P de Q[x], polynôme à coefficients rationnels dont le degré au moins égal à 2 se décompose en produit de facteurs irréductibles n'admettant dans C que des racines simples (aucune racine double ou multiple). P est dit séparable.

Plus généralement, soit P est un élément de l'anneau K[x] de degré > 1 et L son corps de décomposition. P est dit séparable si ses facteurs irréductibles dans K n'admettent que des racines simples dans L et s'il en est de même de tout polynôme de K[x], le corps K est dit parfait.

  Si le polynôme P admet au moins une racine multiple α d'ordre k, il s'écrit sous la forme P(x) = (x - α)kQ(x). Le polynôme dérivé est alors P'(x) = k(x - α)k-1Q(x) + (x - α)kQ'(x) et  α est une racine de P' d'ordre k-1. On a alors ce résultat pratique :

α est racine simple de P si et seulement si α n'annule pas son polynôme dérivé P'.

On peut alors énoncer :

Un polynôme irréductible sur K admettant L comme corps de décomposition et dont le polynôme dérivé
n'admet aucune racine dans L est séparable.

Ces extensions particulières de corps sont dits corps de nombres algébriques voire, simplement, corps de nombres. Leur étude et les généralisations afférentes (polynômes sur un corps K abstrait de caractéristique nulle ou non) constituent aujourd'hui la théorie de Galois ( réf. 5 à 9).

 Anneaux, corps, surcorps, extension :          Corps de nombres algébriques :

Anneaux, corps, surcorps :          Kummer

Extension galoisienne, groupe de Galois d'une extension :  

Soit L une extension algébrique du corps K.  On dit que L est une extension galoisienne de K pour exprimer que le groupe des automorphismes de L laisse tout élément de K invariant (on parle de K-automorphisme). Ce groupe est appelé groupe de Galois de L. Si ce groupe est commutatif, on dit que L est une extension abélienne de K. On montre qu'une extension L de K est galoisienne si et seulement si elle est normale et séparable. Ces dernières propriétés nécessitent un long développement. Le lecteur intéressé par ce sujet pourra consulter en particulier la référence 5 & 8 données in fine.

Champ de Galois :

En l'honneur de Galois qui les étudia implicitement, cette appellation est synonyme de corps fini. Rappelons ici que tout corps fini est commutatif (sa seconde loi est commutative) :

  Wedderburn            Le corps fini Z/pZ, pour p premier :

Pour en savoir plus :

  1. Bicentenaire de la naissance d'Évariste Galois à Bourg la Reine, par Philippe Chapalin (2011) :
    http://www.patrimoine.asso.fr/contenu/galois/EVARISTE_GALOIS.pdf

  2. Démonstration d'un théorème sur les fractions continues périodiques sur Bibnum :
    https://www.bibnum.education.fr/sites/default/files/galois-texte.pdf

  3. Le mémoire de Galois sur les conditions de résolubilité des équations par radicaux, sur Binnum :

  4. https://www.bibnum.education.fr/sites/default/files/galois_memoire_sur_la_resolubiblite.pdf

  5. Eléments de mathématiques , Nicolas Bourbaki, fascicule X1, ch. 5 (extensions de corps) - Éd. Hermann, Paris - 1973.

  6. Leçons d'algèbre moderne, par Paul Dubreil et Marie-Louise Dubreil-Jacotin - Éd. Dunod, Paris -1961

  7. Cours de théorie des corps (théorie de Galois, équations résolubles par radicaux) par  M. Reversat et B. Zhang, univ. Toulouse, 2003 :
    http://www.math.univ-toulouse.fr/~reversat/galois.pdf

  8. Théorie de Galois, introduction à la théorie des corps, par Bruno Deschamps (univ. LeMans) : 
    http://perso.univ-lemans.fr/~bdesch/galois.pdf

  9. Théorie de Galois, par Christian blanchet (Institut Math. Jussieu) :
    https://webusers.imj-prg.fr/~christian.blanchet/enseignement/2009-10/ch7_galois.pdf

  10. Évariste Galois et la théorie de l'ambiguïté, par Alain Connes : http://www.alainconnes.org/docs/slidesgaloisacadfinal.pdf

  11. Théorie de Galois, cours et exercices corrigés par Jean-Pierre Escofier - Ed. Dunod, 1997.

  12. La pensée d'Évariste Galois et le formalisme moderne sur le site d'Alain Connes : ftp://ftp.alainconnes.org/galoistext.pdf

  13. Le testament de Galois, site de Philippe Langevin (université de Toulon) : http://langevin.univ-tln.fr/notes/Galois/

  14. Approche du théorème de Galois : http://clg-evariste-galois.scola.ac-paris.fr/mathemat.html

  15. Le projet Galois, sur le site de Lionel Ducos, maître de conférence à l'université de Poitiers :
    http://wwwmathlabo.univ-poitiers.fr/~ducos/

  16. Pour info... : Il y a 140 ans : la mort de Galois (âgé de 60 ans...), par Aurélien Alvarez et Michèle Audin (1er avril 2011).


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