ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
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GALOIS Évariste, français, 1811-1832                                           
    Théophile Gautier, écrivain français (1811-1872)

Après des études secondaires brillantes mais mouvementées et deux échecs à l'entrée de L'École Polytechnique, d'un caractère tempétueux, ses idées républicaines le conduisirent en prison dont il sort malade quelques mois plus tard. Évariste Galois à vingt ans. Il s'éprendra alors d'une "infâme coquette", selon ses termes, pour laquelle il dut accepter une provocation en duel où il trouva la mort.

A 16 ans, trop brillant sans doute, et peut-être un peu brouillon..., il fut incompris par Poisson qui rejeta les travaux qu'il voulait présenter à l'Académie des sciences (1831). Auparavant son mémoire fut perdu par Cauchy en 1827, et ignoré par Fourier (qui mourut en 1830). Il rédigea, peu de temps avant sa mort, son testament mathématique qu'il confia, avec divers autres manuscrits, à un ami en le priant de le transmettre à Jacobi ou Gauss.

Mais ce n'est qu'en 1843 que les travaux de Galois sont connus, transmis et complétés par Liouville (1846) à l'Académie des Sciences, mais c'est Jordan, en 1870, qui le fera vraiment connaître à travers son traité d'algèbre.

 Théorème de Galois, sous-groupe distingué :

Une équation algébrique dont le degré est premier est résoluble par radicaux si et seulement si chacune de ses racines peut s'écrire comme fonction rationnelle de deux autres.

La théorie de Galois est basée sur l'étude des groupes de substitutions (plutôt appelées aujourd'hui permutations, le terme substitution persiste pour les ensembles finis) entamée par Cauchy. Son but était d'apporter une réponse définitive au problème de la résolution des équations algébriques par radicaux sur lequel les plus grands mathématiciens se heurtaient jusqu'alors malgré l'avancée spectaculaire d'Abel sur le sujet.

Sous-groupe distingué (également dit sous-groupe normal) :     

Galois introduit la notion de sous-groupe distingué  : un sous-groupe H d'un groupe (G,*) est ainsi dénommé si pour tout x de G et pour tout h de H, le produit x*h*x-1 est élément de H. On note alors H G et on lit H est distingué dans G.

Pour tout x de G, si on note :

- xH l'ensemble (classe à gauche) des éléments de G de la forme x*h avec h élément de H;
- Hx l'ensemble (classe à droite) des éléments de G de la forme h*x avec h élément de H;
- xHx-1 l'ensemble des éléments de G de la forme x*h*x-1 avec h élément de H

Par définition, H G xHx-1 H pour tout x de G. Or, H xHx-1. En effet, si hH, on aura :

hxHx-1 h'H / h = x*h'*x-1 h'H / h' = x-1*h*x

Vu que H G, h' = x-1*h*x est effectivement élément de H. Ainsi, on peut également dire : H G si et seulement si xHx-1 = H. Ou encore, xH = Hx : les classes à gauches sont aussi les classes à droite. On pourra enfin exprimer que H est invariant par tout automorphisme de G de la forme Ig : x g*x*g-1, g G. On parle d'automorphisme intérieur.


a) Vérifier que Ig est effectivement un automorphisme :
bijection de G telle que Ig (x*y) = Ig (x)*Ig (y).
b) Vérifier que si h est un sous-groupe de G,  Ig(H) = H H distingué dans G.
Que peut-on dire de Ig*g' ?

c) Prouver que l'ensemble A des automorphismes intérieurs d'un groupe G est un groupe isomorphe au groupe quotient G/C où C désigne le centre de G.        centre d'un magma

Noter que si G est commutatif (groupe abélien), alors tout sous-groupe de G est distingué dans G.

Un groupe peut ne posséder aucun sous-groupe distingué autre que lui-même (et le sous-groupe trivial réduit à l'élément neutre) :

 Groupes simples :               Sous-groupes conjugués :

Galois prouve alors élégamment l'impossibilité de résoudre par radicaux les équations de degré supérieur ou égal à 5 (hormis bien évidemment les cas triviaux), complétant ainsi les travaux d'Abel.

 équation du 3è degré (selon Cardan)  ,  équation du 3è degré (selon Viète)  ,  du 4ème degré

Les permutations d'un ensemble de cardinal fini n sont les bijections de cet ensemble dans lui-même. Elles sont au nombre de n! (factorielle n) et constituent un groupe pour la loi de composition des applications, dit groupe symétrique, généralement noté Sn.

Groupes finis, monogènes, cycliques... :

 Groupe de Galois :                   groupe de Galois d'une extension de corps

Selon le théorème fondamental de l'algèbre (souvent appelé théorème de d'Alembert) une équation algébrique E de degré n admet n racines réelles ou complexes, distinctes ou non. Vandermonde, Lagrange et Cauchy avaient déjà perçu le rôle des relations symétriques des racines d'une équation algébrique dans la recherche d'un algorithme de résolution par radicaux : on note que ces relations, considérées comme des fonctions des racines x1, x2, ..., xn , sont des fonctions polynomiales rationnelles de la forme P(x1, x2, ..., xn) = 0, quelles que soient les racines de E (rationnelles ou non, complexes ou non) et que toute permutation des racines laisse invariantes ces relations.

Mais il existe, entre les racines, d'autres fonctions rationnelles (non nécessairement symétriques) du type P(x1, x2, ..., xn) = 0. Galois établit que :

  1. L'ensemble des permutations laissant invariantes toutes les fonctions polynomiales rationnelles des racines d'une équation algébrique E de degré n, est un sous-groupe de Sn, appelé groupe de l'équation (le terme est de Galois, on dit aujourd'hui groupe de Galois de l'équation);

  2. Si l'équation générale de degré n est résoluble par radicaux, alors le groupe de l'équation admet une chaîne particulière de sous-groupes distingués de G : on parle depuis Artin de groupe résoluble.

L'impossibilité de résoudre par radicaux (dans le cas général) les équations de degré supérieur ou égal à 5, repose sur le fait que Sn n'est pas résoluble pour n > 4.

Artin et le groupe résoluble S3 :

Corps de dislocation d'une équation, groupe de Galois d'une extension de corps :

Ajoutons que l'on appelle corps de décomposition (ou de dislocation ou de rupture, ou encore, improprement, corps des racines) de l'équation E , le plus petit corps (au sens de l’inclusion) contenant le corps Q des rationnels et les solutions de E. Par exemple :

Ces extensions (sur-corps) particulières de corps sont dits corps de nombres algébriques. Leur étude et les généralisations afférentes (en particulier lorsqu'un corps K abstrait remplace le corps Q des rationnels) constituent aujourd'hui la théorie de Galois.

  Si K est un surcorps d'un corps k, on parle encore de groupe de Galois de K pour désigner le groupe des automorphismes de K qui laissent k invariant. Lorsque ce groupe est commutatif, ont que K est une extension abélienne de k.

 Anneaux, corps, surcourps :               Polynôme de dislocation :

Corps (ou champ) de Galois :

En l'honneur de Galois qui les étudia implicitement, cette appellation est synonyme de corps fini. Rappelons ici que tout corps fini est commutatif (i.e. dont la seconde loi est commutative) :

Wedderburn :               Le corps fini Z/pZ, pour p premier :

Pour en savoir plus :

Kummer   Shanks
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