ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

EULER Leonhard, suisse, 1707-1783

Né à Bâle d'un père pasteur, Leonhard, esprit brillant étudia les lettres, la théologie et la médecine et semblait, à 17 ans, voué aux ordres religieux. Les Bernoulli étaient des amis de la famille et il fut l'élève de Jean Bernoulli qui persuada Euler père de laisser son fils s'orienter vers les mathématiques. A 18 ans, il se faisait à l'Académie des sciences de Paris par divers mémoires comme ceux sur la théorie des marées ou la propagation du son.

Introduits par les Bernoulli, il s'installa à Saint-Pétersbourg (1727) auprès de Pierre Ier le Grand et remplaça Daniel Bernoulli (1733) à l'Académie des sciences pour la physique et les mathématiques. Dès 1735, à la suite d'une congestion cérébrale, Euler perd l'œil droit.

Appelé à Berlin (1741) par Frédéric II, roi de Prusse, il présida l'Académie des sciences jusqu'en 1766 (c'est Lagrange qui lui succédera). Il fut nommé membre associé de l'Académie des sciences de Paris (1755). Vers la fin de sa vie, alors aveugle, il revint à Saint-Pétersbourg invité par Catherine II. Il est sans doute un des plus grands mathématiciens de tous les temps.

Son œuvre est considérable. Euler intervint dans les trois domaines fondamentaux de la science de son époque : l'astronomie (orbites planétaires, trajectoires des comètes), les sciences physiques (champs magnétiques, hydrodynamique, optique, nature ondulatoire de la lumière, mécanique des solides...), et les mathématiques, dans toutes ses branches, de l'arithmétique à la géométrie différentielle en passant par :

Ses fils Jean-Albert (1734-1800), Charles (1740-1790) et Christophe (1743-1812) furent aussi des mathématiciens renommés à Saint-Pétersbourg.

Le célèbre Introductio in Analysin infinitorum (1748) :

Dans cet immense traité, Euler procède à une vaste synthèse des connaissances en matière d'Analyse qu'il construit au moyen du concept de fonction sans le soutien géométrique ou mécanique. Les fonctions trigonométriques, logarithmes et exponentielles s'avèrent étroitement liées :

y = ax   x = loga y

  
Justifier que :  ax + x' = axax' et (ax)x' = axx'
puis résoudre le système suivant sans passer par les log :
2x-1 = 8y , 3x-10 = 9y-1 

Euler assoit l'usage définitif de :

ex = 1 + x + x2/2! + x3/3! + ... + xn/n! + ...

Pour x = 1, on obtient  e = 2,7182818284590452353...

Pour en savoir plus sur le nombre e : Calculs de e dans ChronoMath :

  Argand                     Racines n-èmes d'un nombre complexe :

A ce propos, on utilise souvent les propriétés suivantes :

Plus généralement, avec trois ou un nombre quelconque de termes :

Cas d'indices doubles comme dans le calcul matriciel :

On a aussi la généralisation des identités remarquables :

  Sommes d'Euler :
Prouver que si la suite (un) converge, alors il en est  de même de la suite (vn) définie par :

Indications : on s'inspirera de la méthode employée pour prouver la convergence de la somme de Cesaro.

Formules d'Euler  (ou relations d'Euler) : 

Euler établit sa célèbre formule réalisant le lien entre la trigonométrie, l'exponentielle et l'analyse complexe :

eix = cos x + i.sin x            justification

dont on déduit cette relation magnifique :

   eip + 1 = 0

où apparaissent réunies dans une si simple expression les 5 nombres les plus célèbres de l'histoire des mathématiques. On en déduit  :

Trois approches de la fonction exponentielle :                   En savoir plus sur l'exponentielle... :

 
Amusant mais sans prétention, n'allons pas voir là une expression divine... :

Vérifiez que ce nombre est presque entier... :
ep - p      (19,9990999...)

D'autres exemples ? Voyez Ramanujan ou visitez la page d'Eric Weisstein sur les Almost integer.

Constante d'Euler :

Toujours dans son Introductio, Euler établit l'existence de la célèbre constante qui portera son nom :

où ln désigne le logarithme népérien. La série 1 + 1/2 + 1/3 +... +1/n + ... est la non moins célèbre série harmonique divergente.

La nature de C (aussi notée g , gamma minuscule grec : g), algébrique, irrationnelle, voire transcendante, est un problème ouvert. On en connaît aujourd'hui quelques 20 000 décimales. Rappelons que c'est parfois le nombre e, base des logarithmes népériens qui est appelé constante d'Euler.

Divergence de la série harmonique, étude et calcul approché de la constante d'Euler C = 0,5772156649... :

L'analyse fonctionnelle, le calcul des variations :           Analyse fonctionnelle sur Amazon.fr

Fondateur de ce qu'on appelle aujourd'hui l'analyse fonctionnelle (appellation due à Paul Lévy) il publiera de nombreux traités, précisera la notion de fonction et adoptera la notation f(x), également utilisée par Clairaut, pour désigner l'image par une fonction f d'un nombre x, plus adaptée que celle de Jean Bernoulli qui utilisait la notation fx.

Prolongeant les travaux des Bernoulli, Euler affine la notion de fonction dérivée, crée, avec Daniel Bernoulli, la notion d'équation aux dérivées partielles (1734) et développe le calcul des variations (Calculi Variationum, dès 1744) : recherche d'extremums sur des courbes ou surfaces, une des branches les plus fécondes de l'analyse. On pourra étudier en particulier sur ce site le problème de Didon et le brachistochrone.

   Équation d'Euler-Lagrange, formule de Beltrami  :

Équation caractéristique de l'équation différentielle du second ordre ay" + by' + cy = 0 :

On doit à Euler la méthode de l'équation caractéristique dans la résolution générale de l'équation différentielle du second ordre

ay" + by' + cy = 0

équation intervenant dans des problèmes oscillatoires. Pour la forme non homogène : ay" + by' + cy = f(x), Laplace inventera la méthode de la variation de la constante afin d'exhiber une solution particulière.

Oscillation d'un ressort, type ay" + by' + cy = 0 :

  On doit à Euler une méthode de résolution approchée des équations différentielles par discrétisation : on recherche la solution sous la forme d'un nuage de point Mi(xi,yi) permettant d'obtenir une approche fiable de la courbe intégrale (représentative de la solution fonctionnelle exacte).

Méthode d'Euler :

La première étude des surfaces abordée en termes de géométrie différentielle :

La difficile étude des surfaces est entreprise par Euler grâce à l'apport du calcul différentiel et intégral. Au 19è siècle Gauss et Riemann (tout particulièrement) se pencheront sur cette difficile théorie.

Notion de surface :     Formule d'Euler pour la courbure des surfaces :  
Fonctions (ou intégrales) eulériennes, les fonctions G (gamma) et b (bêta) :

En 1755, Euler publie un traité de calcul différentiel et intégral (complété en 1768 : Institutiones calculi integralis) où l'on y rencontre les fonctions (ou intégrales) dites aujourd'hui eulériennes dont la plus connue, voire célèbre : la fonction Γ (Gamma), ainsi nommée par Legendre. Dite intégrale eulérienne de seconde espèce, elle est définie pour tout nombre x > 0 par l'intégrale généralisée convergente :

Étude de la fonction Γ, cas réel et complexe :                Fonctions Γ de Euler et ζ de Riemann :  

 Moins célèbre, mais pratique pour l'intégration de certaines fonctions rationnelles, est la fonction b (appellation encore due à Legendre) aussi appelée intégrale eulérienne de première espèce. Pour tout x > 0 et y > 0, elle est définie pas  :

Si l'intégrale est calculée non plus sur [0;1] mais sur un intervalle [0;x] avec 0 < x < 1, on parle de fonction b incomplète, notée bx. Euler a montré cette belle formule :

Nombres de Fermat, nombres parfaits, nombres premiers  :

Euler prouva (1732) la non primarité (en général) des Fp de nombres de Fermat, à savoir de la forme :

liés à ceux de Mersenne (forme 2n - 1) en montrant que F5 = 232 + 1 = 4 294 967 297 est divisible par 641. S'attaquant au fameux grand théorème de Fermat, il le prouva pour le cas n = 3.

 
Euler exhiba (1772) le polynôme x2 + x + 41 qui, pour x variant de 0 à 39, ne fournit que des nombres premiers.
A vérifier à la main ou sur tableur ! Étudier aussi (encore proposés par Euler) : x2 + x + 17 et 2x2 + 29

Moins rigolo :
Prouver qu'un polynôme à coefficients entiers ne peut fournir indéfiniment des nombres premiers pour des valeurs entières.
Indications : soit xo tel que P(xo) = p premier. Justifier que P(xo + px) ≡ P(xo) [p].
On en déduit que P(xo + px) est divisible par p quel que soit x. Conclure.        congruences

Reprenant un célèbre problème arithmétique de Pythagore, présent dans les Éléments d'Euclide, Euler étudie les nombres parfaits , c'est à dire égaux à la somme de leurs diviseurs propres, comme 6, 28, 496, ... (un diviseur propre d'un nombre entier est un diviseur de ce nombre autre que lui-même).

Euler conjectura et prouva le résultat suivant :

Un entier pair est parfait si et seulement si il est de la forme 2n-1(2n - 1) et 2n - 1 est premier

L'entier 8128 = 26(27 - 1) est ainsi le quatrième nombre parfait pair (trouvé par Nicomaque), le cinquième est 33550336 avec n = 13. Rappelons que l'existence de nombres parfaits impairs est un problème ouvert.

Une preuve de Euler :

Fonction indicatrice d'Euler ou fonction :    

Il s'agit de l'application, traditionnellement notée φ, dite également indicateur d'Euler ou totient d'Euler qui à tout entier naturel n non nul associe le nombre d'entiers naturels inférieurs à n et premiers avec n :

φ(n) = Card {k, kN, 1 ≤ k ≤ n - 1, pgcd(k,n) = 1}

En anglais, on parle de totient function, du latin totiens = tant de fois, proche de quotiens = combien de fois, mais d'usage interrogatif, qui a donné quotient en français et en anglais : chercher le quotient de n par p c'est chercher combien de fois "il y a p dans n".

L'identité d'Euler également appelée produit eulérien (1750) :    

Si s désigne un réel, s > 1, la série de terme général 1/ns est convergente. Par des considérations relativement simples, Euler la transforme en un produit infini :

          preuve élémentaire

P désigne l'ensemble infini des nombres premiers : P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 ...}.

Cette identité devait amener Riemann à définir et étudier les fonctions ζ (lire zêta, parfois improprement dites dzêta), sommes des séries ci-dessus élargies au champ complexe afin de mieux connaître la distribution des nombres premiers dans l'ensemble des entiers naturels. Euler obtint en particulier la somme ζ(2) = π2/6.

Riemann et les fonctions z  :

1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/11 + 1/13 + ...

est infinie (la série diverge). Euler en donna la première démonstration. On trouvera cette preuve en bibliographie en suivant ce lien.

Euler établit (1736) un lien entre les nombres de Bernoulli et les fonctions ζ  en montrant que :

         Calcul de ζ(4) = π4/90 :

Calcul de ζ(2) = π2/6 :
Produit infini et calcul de p :

A noter cette belle formule d'Euler, dont celle de Wallis est un cas particulier pour x = 1/2 :

Polynômes et nombres d'Euler :

Dans l'étude de développements en série, Euler fait état d'une famille de polynômes x En(x), de degré n, de fonction dérivée E'n, vérifiant la formule de récurrence :

E'n(x) = nEn-1(x)  , En(x) + En(x + 1) = 2xn

On a ainsi :

 On retrouve ces polynômes dans le développement en série entière de la fonction hx de la variable t, définie par :

En posant :

les nombres en définis par en = 2n x En(½) sont appelés nombres d'Euler. On constate que les e2n + 1 sont tous nuls. Les e2n se retrouvent tant dans le développement en série de la fonction sécante, notée sec définie par sec x = 1/cos x que dans celui de la fonction sécante hyperbolique, notée sech définie par :

où cosh x désigne le <&a href="Lambert.html">cosinus hyperbolique de x : on remarque que sech(x/2) = h1/2(t). Les signes des e2n sont alternés et on a : 

eo = 1 , e2 = -1 , e4 = 5 , e6 = -61 , e8 = 1385 , e10 = -50521 , ...

Nombres d'Euler et nombres ZigZag :          Nombres de Bernoulli :

Les nombres négatifs, les nombres complexes : un statut enfin reconnu !

En 1770, Euler publia en allemand (le latin est de plus en plus révolu dans les publications scientifiques) une Introduction complète à l'algèbre (Vollständige Einleitung zur Algebra) où l'on peut considérer que, malgré quelques rebelles, tout sera dit quant aux nombres négatifs et à leur statut de véritable nombre, statut conforté et définitivement entériné avec Gauss (le qualificatif semble apparaître pour la première fois chez Jean de Beaugrand en 1638).

  Chuquet , Stifel , Descartes

De même, les nombres imaginaires (le qualificatif complexe nous vient de Gauss avec la forme a + bi), sont définis et leurs propriétés étudiées.

  Argand

Euler concevait déjà la notion de nombre transcendant, voire de fonction transcendante, que l'on ne peut obtenir qu'au moyen de séries convergentes ou par le biais de fractions continues comme p, e, ln 2 et plus généralement ex, sin x, ln x,...

Cependant, R n'étant pas encore construit, les notions de limite, de différentielle et de convergence restent encore approximatives. Le concept de continuité n'est pas encore exhibé ni, a fortiori, celui de continuité uniforme pouvant assurer, dans le cas d'une série convergente de fonctions, la continuité de la somme. Ces préoccupations apparaîtront tout particulièrement dès le début du 19e siècle avec Bolzano, Cauchy, Abel, puis Riemann et Weierstrass.

Le développement du calcul différentiel et intégral répond à la volonté de résoudre efficacement les grands problèmes scientifiques : l'aube du siècle des lumières est celle de la technologie (mécanique, hydraulique, production d'énergie : vapeur, électricité). Il s'agit de comprendre les lois de la nature, du mouvement (vitesse, accélération, extremums).  
 
Relations d'Euler, droite d'Euler et cercle des neuf points (ou cercle d'Euler)  :

1/  Pour tous points A, B , C et M dans le plan ou l'espace, on a la relation, le point (.) désignant le produit scalaire :

La preuve de ce résultat est très simple en utilisant la formule de Chasles.

2/  Étant donné un triangle ABC non équilatéral d'orthocentre H, notons O le centre de son cercle circonscrit et G son centre de gravité. Dans ces conditions, la droite (OH) contient G et on a :

le centre de gravité G d'un triangle, son cercle circonscrit O et son orthocentre H sont donc alignés et il semble que Euler soit le premier à l'avoir remarqué : la droite (OH) contenant G est droite d'Euler .

3/  La droite d'Euler contient un autre point remarquable, à savoir le milieu de [OH], centre Ω d'un cercle passant par les pieds A', B', C' des médianes, les pieds A1, B1, C1 des hauteurs et les milieux K, L et M de [AH], [BH] et [CH].

Ce cercle dit des neuf points, également nommé cercle médial fut improprement baptisé cercle d'Euler. Il devrait s'appeler cercle de Brianchon. On l'appelle également cercle de Feuerbach.

Ces résultats semblent avoir été énoncés pour la première fois dans sa mécanique des solides Theoria motus corporum solidorum (1765) mais elon Coxeter & Greitzer, Euler ne s'intéressa en fait qu'à la propriété de cocyclicité du cercle orthique (passant par le pieds des hauteurs) et du cercle complémentaire (passant par les pieds des médianes). Brianchon, en 1820, et Poncelet, l'année suivante, apportèrent chacun une preuve de l'existence du cercle des neuf points. Feuerbach compléta ces résultats par son théorème relatif aux cercles exinscrits.

En savoir plus sur ces relations et le cercle des neuf points (sous forme d'exercice corrigé) :
Théorème de Euler-Descartes pour les polyèdres convexes :

Selon Hilbert, cette belle formule, dite souvent de Euler (1752) serait due en fait à Descartes :

S - A + F = 2

où S, F et A désignent respectivement le nombre de sommets, de faces et d'arêtes d'un polyèdre convexe. De cette formule, on déduit facilement qu'il n'y a que cinq polyèdres réguliers convexes.

Preuve :  

Les prémisses de la théorie des graphes :

Précurseur avec Leibniz de la théorie des graphes et de la topologie, Euler résolut (1735) le problème des sept ponts de Königsberg (aujourd'hui Kaliningrad, Fédération de Russie) :

Partant d'un point de la ville, peut-on se promener, en revenant à son point de départ, en passant une seule fois par tous les ponts ?

La réponse est non... graphe eulérien, théorie des graphes  :       Berge , Cayley

   Quelques exercices niveau Ter ES : non corrigés , corrigés , niveau Sup : Hérédité

Autres travaux :

__________________________

Réponse exo : on peut écrire 8 = 23 et 9 = 32;
                                      donc : 2x-1 = (23)y = 23y et 3x-10 = (32)y-1 = 32y-2;
                                      on a donc tout simplement : x - 1 = 3y et x - 10 = 2y - 2, d'où x = 22 et y = 7.


Ancien billet de 10 francs suisses à l'effigie de Euler, émis en 1976.

  Pour en savoir plus :

  1. La fonction ζ de Riemann, par Javier Fresàn (un exposé remarquablement document) : http://jfresan.files.wordpress.com/2011/04/lecture-de-riemann.pdf
  2. Théorème de Euler-descartes : preuve de Lucas et autres développements dans Quadrature n°4, juin 1990.

  3. Formule d'Euler et polyèdres de Platon (animation), site de Gérard Chevet : http://gc.saliege.fr/
    Une démonstration élégante de la formule d'Euler fut donnée par André Delachet dans La géométrie
    contemporaine,
    Collection Que Sais-je, n°401, P.U.F., 1950.

  4. Courbure et caractéristique d'Euler-Poincaré d'une surface triangulée :
    http://www.math.ens.fr/culturemath/maths/pdf/geometrie/triang.pdf

  5. Les nombres premiers, Que sais-je n°571 (nouvelle édition 1997), par G. Tenenbaum & M. Mendès France


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