On doit à Euler la méthode de l'équation caractéristique dans la résolution générale de l'équation différentielle du second ordre

ay" + by' + cy = 0

équation intervenant dans des problèmes oscillatoires. Pour la forme non homogène : ay" + by' + cy = f(x), Laplace inventera la méthode de la variation de la constante afin d'exhiber une solution particulière.

Oscillation d'un ressort, type ay" + by' + cy = 0 :

  On doit à Euler une méthode de résolution approchée des équations différentielles par discrétisation : on recherche la solution sous la forme d'un nuage de point M_i(x_i,y_i) permettant d'obtenir une approche fiable de la courbe intégrale (représentative de la solution fonctionnelle exacte).

Méthode d'Euler :

La difficile étude des surfaces est entreprise par Euler grâce à l'apport du calcul différentiel et intégral. Au 19è siècle Gauss et Riemann (tout particulièrement) se pencheront sur cette difficile théorie.

Notion de surface :            Formule d'Euler pour la courbure des surfaces :  

En 1755, Euler publie un traité de calcul différentiel et intégral (complété en 1768 : Institutiones calculi integralis) où l'on y rencontre les fonctions (ou intégrales) dites aujourd'hui eulériennes dont la plus connue, la fonction G (le G grec : gamma, ainsi nommée par Legendre) dite intégrale eulérienne de seconde espèce , définie pour tout nombre x > 0 par :

Si x est entier, alors :

G(x) = (x - 1)! (factorielle x-1)       Kramp , Stirling

Ce résultat provient de G(1) = 1 et de la relation de récurrence que l'on prouve facilement par intégration par parties :

G(x + 1) = xG(x)

En savoir plus sur la fonction G :                     Correction de la formule de Stirling :

 Moins célèbre, mais pratique pour l'intégration de certaines fonctions rationnelles, est la fonction b (appellation due à Legendre) aussi appelée intégrale eulérienne de première espèce. Avec x > 0 et y > 0 :

Si l'intégrale est calculée non plus sur [0;1] mais sur un intervalle [0;x] avec 0 < x < 1, on parle de fonction b incomplète, notée b_x.

Euler prouva également (1732) la non primarité (en général) des F_p de nombres de Fermat, à savoir de la forme :

liés à ceux de Mersenne (forme 2ⁿ - 1) en montrant que F₅ = 2³² + 1 = 4 294 967 297 est divisible par 641. S'attaquant au fameux grand théorème de Fermat, il le prouva pour le cas n = 3.

 
Euler exhiba (1772) le polynôme x² + x + 41 qui, pour x variant de 0 à 39, ne fournit que des nombres premiers.
A vérifier à la main ou sur tableur ! Étudier aussi (encore proposés par Euler) : x² + x + 17 et 2x² + 29

Moins rigolo :
Prouver qu'un polynôme à coefficients entiers ne peut fournir indéfiniment des nombres premiers pour des valeurs entières. Indications : soit xo tel que P(xo) = p premier. Justifier que P(xo + px) ≡ P(xo) [p].
On en déduit que P(xo + px) est divisible par p quel que soit x. Conclure.        congruences

Reprenant un célèbre problème arithmétique de Pythagore, présent dans les Éléments d'Euclide, Euler étudie les nombres parfaits , c'est à dire égaux à la somme de leurs diviseurs propres, comme 6, 28, 496, ... (un diviseur propre d'un nombre entier est un diviseur de ce nombre autre que lui-même).

Euler conjectura et prouva le résultat suivant :

Un entier pair est parfait si et seulement si il est de la forme 2^n-1(2ⁿ - 1) et 2ⁿ - 1 est premier

L'entier 8128 = 2⁶(2⁷ - 1) est ainsi le quatrième nombre parfait pair (trouvé par Nicomaque), le cinquième est 33550336 avec n = 13. Rappelons que l'existence de nombres parfaits impairs est un problème ouvert.

Une preuve de Euler :

Il s'agit de l'application, traditionnellement notée φ, qui à tout entier naturel n non nul associe le nombre d'entiers naturels inférieurs à n et premiers avec n :

φ(n) = Card {k, kN, 1 ≤ k ≤ n - 1, pgcd(k,n) = 1}

En anglais, on parle de totient function, du latin totiens = tant de fois, proche de quotiens = combien de fois, mais d'usage interrogatif, qui a donné quotient en français et en anglais : chercher le quotient de n par p c'est chercher combien de fois "il y a p dans n".

• φ(1) = φ(2) = 1, φ(3) = φ(4) = 2, ..., φ(20) = Card {1 , 3 , 7 , 9 , 11 , 13 , 17 , 19 } = 8

• Si n est un entier naturel non premier pour lequel φ(n) divise n - 1, alors n est un nombre de Carmichael :

  Étude de la fonction φ, principales propriétés  :                  Nombres de Carmichael :

Si s désigne un réel, s > 1, la série de terme général 1/n^s est convergente. Par des considérations relativement simples, Euler la transforme en un produit infini :

où P désigne l'ensemble infini des nombres premiers : P = {2, 3, 5, 7, 11, ...}.

Cette identité devait amener Riemann à définir et étudier les fonctions z (lire zéta ou dzéta) afin de mieux connaître la distribution des nombres premiers dans l'ensemble des entiers naturels. Euler obtint en particulier la somme z(2) = p²/6. D'après un calcul de Cesaro, l'inverse de ce nombre apparaît comme étant la probabilité de choisir au hasard deux nombres entiers naturels premiers entre eux.    

Calcul de z(2) = p²/6 :

Euler établit (1736) un lien entre les nombres de Bernoulli et les fonctions z de Riemann.

 Pour en savoir plus :

• Revue La Recherche, spécial Nombres, n°278, juillet/Aout 1995, article de Henri Cohen, page 760-765

A noter cette belle formule d'Euler, dont celle de Wallis est un cas particulier pour x = 1/2 :

Polynômes et nombres d'Euler :

Dans l'étude de développements en série, Euler fait état d'une famille de polynômes x E_n(x), de degré n, de fonction dérivée E'_n, vérifiant la formule de récurrence :

On a ainsi :

• E_o(x) = 1;

• E₁(x) = x - 1/2;

• E₂(x) = x² - x;

• E₃(x) = x³ - 3x²/2 + 1/4;

• E₄(x) = x⁴ - 2x³ + x;

  On retrouve ces polynômes dans le développement en série entière de la fonction h_x de la variable t, définie par : . En posant :

les nombres e_n définis par e_n = 2ⁿ x E_n(½) sont appelés nombres d'Euler. On constate que les e_{2n + 1} sont tous nuls. Les e_2n se retrouvent tant dans le développement en série de la fonction sécante, notée sec définie par sec x = 1/cos x que dans celui de la fonction sécante hyperbolique, notée sech définie par :

où cosh x désigne le cosinus hyperbolique de x : on remarque que sech(x/2) = h_1/2(t). Les signes des e_2n sont alternés et on a : 

e_o = 1 , e₂ = -1 , e₄ = 5 , e₆ = -61 , e₈ = 1385 , e₁₀ = -50521 , ...

Nombres d'Euler et nombres ZigZag :          Nombres de Bernoulli :

En 1770, Euler publia en allemand (le latin est de plus en plus révolu dans les publications scientifiques) une Introduction complète à l'algèbre (Vollständige Einleitung zur Algebra) où l'on peut considérer que, malgré quelques rebelles, tout sera dit quant aux nombres négatifs et à leur statut de véritable nombre, statut conforté et définitivement entériné avec Gauss (le qualificatif semble apparaître pour la première fois chez Jean de Beaugrand en 1638).

  Chuquet , Stifel , Descartes

De même, les nombres imaginaires (le qualificatif complexe nous vient de Gauss avec la forme a + bi), sont définis et leurs propriétés étudiées.

Euler concevait déjà la notion de nombre transcendant, voire de fonction transcendante, que l'on ne peut obtenir qu'au moyen de séries convergentes ou par le biais de fractions continues comme p, e, ln 2 et plus généralement e^x, sin x, ln x,...

Cependant, R n'étant pas encore construit, les notions de limite, de différentielle et de convergence restent encore approximatives. Le concept de continuité n'est pas encore exhibé ni, a fortiori, celui de continuité uniforme pouvant assurer, dans le cas d'une série convergente de fonctions, la continuité de la somme. Ces préoccupations apparaîtront tout particulièrement dès le début du 19e siècle avec Bolzano, Cauchy, Abel, puis Riemann et Weierstrass.

Le développement du calcul différentiel et intégral répond à la volonté de résoudre efficacement les grands problèmes scientifiques : l'aube du siècle des lumières est celle de la technologie (mécanique, hydraulique, production d'énergie : vapeur, électricité). Il s'agit de comprendre les lois de la nature, du mouvement (vitesse, accélération, extremums).
 

Droite d'Euler, Cercle des neuf points, dit cercle d'Euler :

Il semble que Euler soit le premier à avoir remarqué que le centre de gravité G d'un triangle, son cercle circonscrit O et son orthocentre  H sont alignés : droite d'Euler. Le cercle dit des neuf points, également nommé cercle médial fut improprement baptisé cercle d'Euler. On l'appelle également cercle de Feuerbach. Il devrait s'appeler cercle de Brianchon ( note ci-après).

Cercle des neuf points :     

Étant donné un triangle ABC d'orthocentre H, le cercle passant par les pieds A', B', C' des médianes, passe également par les pieds A1, B1, C1 des hauteurs et les milieux K, L et M de AH, BH et CH. Son centre W est le milieu de [OH] (O étant le centre du cercle circonscrit). Son rayon est la moitié de celui du cercle circonscrit.

Droite et relations d'Euler :     

1/ Si le triangle ABC n'est pas équilatéral, la droite (OH) contient G, centre de gravité du triangle ABC, ainsi que W. En fait, il s'agit plutôt d'une (autre) droite de Simson... Avec les notations de la figure et en utilisant la notation italique gras pour les vecteurs, on a :

OH = 3OG

et vu que GA + GB + GC = 0, ( centre de gravité du triangle) cette relation peut s'écrire :

OH = OA + OB + OC

Ces deux derniers résultats semblent avoir été énoncés dans sa mécanique des solides : Theoria motus corporum solidorum (1765). Selon Coxeter & Greitzer, Euler ne s'intéressa qu'à la propriété de cocyclicité du cercle orthique (passant par le pieds des hauteurs) et du cercle complémentaire (passant par les pieds des médianes). Brianchon, en 1820, et Poncelet, l'année suivante, apportèrent chacun une preuve de l'existence du cercle des neuf points. Feuerbach compléta ces résultats par son théorème relatif aux cercles exinscrits.

En savoir plus sur ces relations et le cercle des neuf points :   Coxeter

2/ En utilisant la notation italique gras pour les vecteurs, elle exprime que pour tous points A, B et C de la droite, du plan ou de l'espace, on a la relation :

MA.BC + MB.CA + MC.AB = 0

Le point (.) désigne ici le produit scalaire. La preuve de ce résultat est très simple en utilisant la formule de Chasles, comme BC = MB - MA.

Cette belle formule, dite souvent de Euler (1752) est due en fait, d'après Hilbert, à Descartes et sera complètement établie par Cauchy (1805) :

S - A + F = 2

où S, F et A désignent respectivement le nombre de sommets, de faces et d'arêtes. De cette formule, on déduit facilement qu'il n'y a que cinq polyèdres réguliers convexes.

Voici la preuve apportée par Lucas :

Considérons une surface polyèdre convexe et ouverte, illustrée à gauche. Son contour est une ligne brisée plane ou gauche. Avec les notations ci-dessus, montrons que nous avons F + S = A + 1 en procédant par récurrence sur le nombre de faces F. 

La formule est vraie pour un polygone car alors F = 1 et il y a autant de sommets (S) que d'arêtes (F).

Si la formule est acceptée pour F faces, montrons qu'elle est vraie pour F + 1 faces :

Adjoignons à notre surface ouverte une face supplémentaire : soit n le nombre de côtés d'une telle face et p le nombre d'arêtes communes avec notre surface initiale.

Ce qui montre que la formule F + S = A + 1 est vraie quel que soit le nombre de faces d'une surface polyèdre.

Considérons maintenant un polyèdre convexe. Retirons-lui une face. C'est une surface polyèdre. Ce faisant, le nombre d'arêtes et de sommets n'a pas changé et on a donc (F - 1) + S = A + 1, il s'agit bien de la formule annoncée F + S = A + 2.

Ce théorème est en fait un premier résultat de topologie combinatoire qui sera développée par Poincaré et Fréchet avant de prendre le nom de topologie algébrique avec Hopf. Concernant des variétés topologiques, surfaces n-dimensionnelles, sur lesquelles on définit des sommets, des faces et des arêtes, on obtient une formule généralisée dite caractéristique d'Euler-Poincaré ou invariant d'Euler-Poincaré car la formule est invariante par transformations continues.

La formule d'Euler se retrouve également en théorie des graphes ( également ci-après) dans lesquels, outre les sommets et les arêtes, on peut définir la notion de face.

Notion de topologie combinatoire et algébrique  : Formule d'Euler pour les graphes :

 Pour en savoir plus :

• La preuve de Lucas et autres développements dans le n° 4 de juin 1990 de la revue Quadrature.

• Formule d'Euler et polyèdres de Platon (animation), site de Gérard Chevet : http://gc.saliege.fr/

• Une démonstration élégante de la formule d'Euler fut donnée par André Delachet dans
  La géométrie contemporaine, Collection Que Sais-je, n°401, P.U.F., 1950.

• Quelques remarques sur la démonstration, par Rudolf Bkouche dans La démonstration mathématique
  dans l'histoire p. 115-119 - Ed. IREM de Besançon.

• Courbure et caractéristique d'Euler-Poincaré d'une surface triangulée :
  http://www.math.ens.fr/culturemath/maths/pdf/geometrie/triang.pdf

Précurseur avec Leibniz de la théorie des graphes et de la topologie, Euler résolut (1735) le problème des sept ponts de Königsberg (aujourd'hui Kaliningrad, Fédération de Russie) :

Partant d'un point de la ville, peut-on se promener, en revenant à son point de départ, en passant une seule fois par tous les ponts ?

La réponse est non... graphe eulérien, théorie des graphes  :       Berge , Cayley

   Quelques exercices niveau Ter ES : non corrigés , corrigés , niveau Sup : Hérédité

• Euler intervint également en analyse statistique (problèmes d'ajustement) dans son traité des Inégalités du mouvement de Saturne et Jupiter :  Mayer.

• Diagrammes d'Euler-Venn :  Venn.

• Formule du binôme généralisée, parfois attribuée à Euler.

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Réponse exo : on peut écrire 8 = 2³ et 9 = 3²;
                                      donc : 2^x-1 = (2³)^y = 2^3y et 3^x-10 = (3²)^y-1 = 3^2y-2;
                                      on a donc tout simplement : x - 1 = 3y et x - 10 = 2y - 2, d'où x = 22 et y = 7.

Ancien billet de 10 francs suisses à l'effigie de Euler, émis en 1976.

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Buffon  Riccati Vincenzo

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