ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges
 CRAMER Gabriel,
suisse, 1704-1752
Maurice Quentin Delatour, peintre
français (1704-1788) |
A la suite de
ses études en mathématiques et philosophie à l'Académie Calvin de Genève, sa
ville natale. Cramer y enseignera la philosophie et les mathématiques dès 1724.
Il fut un ami de son compatriote Jean
Bernoulli.
Ses travaux portent
principalement sur les courbes
algébriques, la résolution des systèmes
linéaires : Introduction à l'analyse des lignes courbes
algébriques (1750) et le calcul des probabilités.
L'Académie Calvin de Genève fut créée en 1559 par le théologien réformateur Jean
Calvin (1509-1564) qui s'installa à Genève en 1541. L'Académie devint université
en 1873.
| Paradoxe de Cramer : |
Deux courbes algébriques de degrés respectifs n et p se coupent en au plus np points. C'est en fait un résultat énoncé par Maclaurin, prouvé par Bézout. Cramer le confirma tout en prouvant d'autre part qu'une courbe algébrique de degré n est déterminée par au plus n(n + 3)/2 points, formule d'ailleurs déjà avancée par Stirling en 1717.
Mais cela est aberrant ! En effet, pour n = 3, une courbe est déterminée par 9 points au plus (Cramer) et deux courbes du même degré se coupent en 9 points au plus (Maclaurin). Ces 9 points, qui appartiennent aux deux courbes, ne peuvent définir l'une ou l'autre!
|
Cas de l'ellipse
ellipse |
On
sait que 3 points définissent un cercle unique. Mais :
Combien de points faut-il (en général) pour définir une et une seule ellipse ?
Les deux ellipses isométriques de la figure ci-dessus montrent que 4 points ne suffisent même pas. La formule de Cramer permet d'affirmer que cinq points définissent au plus une ellipse. On peut vérifier ce résultat eu égard à l'équation générale des coniques (courbes algébriques de degré 2, englobant le cercle) :
Il y a 5 paramètres, par suite le système pourra avoir une unique solution si 5 points sont donnés. De même si c'est b qui est non nul.
Si a = 0, alors b est non nul et inversement. Dans ce cas, on peut diviser par b (ou bien par a); on est généralement en présence d'une parabole; il nous reste 4 paramètres et par suite 4 points seront nécessaires pour la déterminer sans ambiguïté (3 suffiront si le coefficient de xy est nul : axe parallèle à Ox ou Oy).
La formule de Maclaurin et la même figure montrent que deux ellipses se coupent en au plus quatre points. Le cas des cercles montre que les formules de Cramer et Maclaurin indiquent des bornes supérieures.
Courbe de Cramer, dite courbe du diable
:
| Système et méthode de Cramer (1750) : |
Système linéaire d'ordre n (n
x n : n équations à n inconnues) ayant une unique solution (x1,x2,...,xn), c'est à dire de déterminant non nul. Étant donné un tel système, on calcule son déterminant D.La solution est :
où Di est le déterminant obtenu en remplaçant la colonne de rang i par la colonne des constantes. Le théorème de Rouché-Fontené traite le cas D = 0. La théorie des déterminants et leur notation actuelle est due à Cauchy.
Un exemple d'ordre 3 :
Soit à résoudre le système :
1°) Vérifier par la règle de Sarrus que le
déterminant D du système est égal à -43. D est donc non nul : nous avons une
unique solution.
2°) Calculer Dx en remplaçant la "colonne des x" par la "colonne des
constantes". Vous devriez trouver 20 :
Calculer de même Dy et Dz. Finalement le système admet l'unique solution : x = -20/43, y = 57/43, z = 22/43.
Matriciellement
un système d'équations linéaires s'écrit AX = B. Si le déterminant de la matrice
A, déterminant du système, est non nul, la solution est
unique et s'exprime par X = A-1B.
Si le déterminant de A est nul, A n'est plus inversible et le système peut ne
pas avoir de solutions. Mais si B est nul, on a au moins la solution nulle; on
parle de système homogène.
Le déterminant d'un système homogène ayant une solution non triviale est
nécessairement nul.
En pratique, la méthode de Cramer pour de "gros" systèmes n'est jamais utilisée (tout particulièrement en informatique) car coûteuse en temps de calcul (et généralement source d'erreurs). On lui préfère des méthodes d'approximations successives ou de triangulation de la matrice associée :
Méthode des pivots de Gauss :
| Problème de Cramer-Castillon (ou problème de Pappus généralisé) : |
Il s'agit d'un problème de construction géométrique :
Inscrire, dans un cercle donné, un triangle dont les côtés (ou leurs supports) passent par trois points donnés du plan.
Buffon
