ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Von LINDEMANN Karl Louis Ferdinand, allemand, 1852-1939

Après sa thèse de doctorat portant sur les méthodes projectives en géométrie, obtenue auprès de Klein (1873) à l'université d'Erlangen, Lindemann sera professeur à l’université de Freiburg, à l’université de Königsberg (ville rebaptisée Kaliningrad en 1946 par les Soviétiques), à celle de Göttingen, haut lieu des mathématiques allemandes, et enfin à Munich, dès 1893, où il terminera sa carrière.

David Hilbert et Hermann Minkowski furent à Königsberg deux de ses plus illustres étudiants dont il dirigea la thèse. Cet éminent mathématicien allemand fut considéré par ses pairs et par ses étudiants (la liste est longue, réf.1) comme un professeur exceptionnel.

C’est en tant que professeur à l’université de Freiburg, que Lindemann accéda à la célébrité en prouvant en 1882 la transcendance du nombre π dans un article des Annales Mathématiques et, du même coup, l'impossibilité de la quadrature du cercle car on sait, depuis Wantzel, que tout nombre constructible est algébrique.

La preuve de la transcendance de π (1882) : la fin de 4000 ans d'incertitude... :

Rappelons qu'un nombre est dit transcendant s'il n'est solution d'aucun polynôme à coefficients rationnels (ou, cela revient au même, à coefficients entiers).

On savait depuis Lambert (1761) que π n'est pas un nombre rationnel : il n'est pas le quotient de deux nombres entiers. Les approximations célèbres comme 22/7 établie par Archimède ou 355/113 due à Metius, ne sont que des approximations.

Les calculs de π dans ChronoMath :

La preuve de la transcendance de π est liée à celle du nombre e (prouvée antérieurement par Hermite) du fait de la magnifique relation d'Euler :

e  + 1 = 0

réunissant les 5 nombres les plus célèbres de l'histoire des mathématiques. Lindemann raisonna par l'absurde en supposant π algébrique : i désignant le célèbre nombre complexe vérifiant i2 = -1, il en est de même du produit iπ (cf. corps de nombres algébriques) car i est algébrique puisque solution, dans C, de la très simple équation x2 + 1 = 0. Il existe alors un polynôme à coefficients rationnels dont iπ est une racine et, jouant subtilement avec la relation eiπ + 1 = 0 et les propriétés symétriques des racines d'un polynôme, il aboutit à une relation de la forme :

α + ea + eb + ec + ... + et = 0

où a, b, c, ... et t sont des nombres algébriques distincts non nuls (réels ou complexes) et α un entier naturel au moins égal à 1. Lindemann montre ensuite que cette égalité conduit à une contradiction : iπ n'est donc pas algébrique, donc π est transcendant.

C'est un résultat d'une importance capitale mettant un point final à près de 4000 ans de labeurs sur la nature de ce quotient mystique (et mythique...), rapport de la circonférence du cercle à son diamètre.

Le résulta de Lindemann montre en particulier que l'égalité y = ex ne peut avoir lieu si x et y sont algébriques, à moins que x = 0 et y  = 1. 

Lindemann prouva par ailleurs, dans un écrit complété par Weierstrass, que si a1, a2, ..., an sont des nombres algébriques non nuls, et x1, x2, ..., xn des nombres algébriques distincts alors l'égalité :

a1.ex1 + a2.ex2 + a3.ex3 + ... + an.exn = 0

ne peut avoir lieu. Cette formule généralise celle qu'avait prouvée Hermite, limitée à des coefficients entiers pour la transcendance de e.

  Gelfond

 Pour en savoir plus :

  1. Mathematics Genealogy projeCT : https://www.genealogy.math.ndsu.nodak.edu/id.php?id=7404

  2. ThÉorie des corps, la règle et le compas, par Jean-Claude Carrega,
    Preuve de la transcendance de π selon Lindemann modifiée par de Hurwitz - Ed. Hermann, 1989, Ch. X, §5, pages 236 à 248.

  3. ABRÉGÉ D'HISTOIRE DES MATHÉMATIQUES, 1700-1900, par Jean Dieudonné et une équipe d'éminents mathématiciens.
    Ed. Hermann - 1978 ,1992.

  4. Dictionnaire des mathematiques :algèbre, analyse, géométrie (ENCYCLOPÆDIA UNIVERSALIS)
    Algèbre, analyse, géométrie, Ed. Albin Michel, Paris, 1997.


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