ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

LEGENDRE Adrien Marie, français, 1752-1834

Après de brillantes études, recommandé par d'Alembert, il sera nommé professeur de mathématiques à l'École militaire de Paris (1775). Ses premiers travaux portèrent sur la mécanique (mouvement des projectiles, orbites planétaires). Brillant géomètre, il fut aussi un spécialiste de géodésie (en relation avec l'observatoire de Greenwich, 1787) et travailla, sous la Convention, avec Delambre, à l'adoption du système métrique.

La géodésie (du grec gê = terre, daiein = diviser) est la science dont l'objet est de mesurer les distances et les aires à la surface de la Terre. Sur une sphère, le plus court chemin entre deux points (géodésique) est le petit arc de grand cercle -autrement dit arc de méridien- passant par ces deux points.

Legendre fut élu à l'Académie des sciences en 1795 (qui venait de se créer moins d'un an avant) et succédera à Lagrange (1812) au bureau des longitudes.

Méchain                      Géodésie & triangulation :

Sa contribution mathématique fut importante dans de nombreux domaines. On peut citer :

  • Le calcul des variations (Méthode pour distinguer les maxima et les minima dans les questions dépendant du calcul des variations, 1786),

  • L'étude des intégrales elliptiques 1825, (le qualificatif est de lui) où il montre (Ch. V) qu'elles se résument à trois types,
     disponible en texte intégral sur Google Livres, lien ci-dessous.

  • La théorie des nombres (Théorie des nombres, 1798 et 1830)
     disponible en texte intégral sur Gallica ci-dessous.
    Legendre compléta certains travaux de     Euler et Lagrange relatifs à la convergence des approximations d'un réel par une fraction continue.

                   

Preuve de l'irrationalité du nombre p :

Legendre prouve en 1792, l'irrationalité de p2 confirmant ainsi celle de p, déjà prouvée par Lambert en 1768. La preuve de l'irrationalité de p est également donnée par usage des fractions continues dans ses Éléments de géométrie : Note IV page de 288 sur Gallica.


Bien que ce soit bien évident... : justifier que si x2 est irrationnel, il en est de même de x.
La réciproque étant trivialement fausse !

Arithmétique :

Il semble que Legendre soit le premier à user de l'appellation Théorie des nombres (première édition en 1798) en élevant ainsi l'arithmétique au niveau des branches fondamentales des mathématiques.

En 1825, il prouve, par descente infinie, le cas n = 5 du grand théorème de Fermat. Euler avait prouvé le cas n = 3 vers 1750.

   Sophie Germain , Dirichlet, Lamé , Wiles

Dans son traité de 1830, Legendre exprime un résultat, qui sera encore complété par Gauss, concernant la décomposition additive d'un nombre en somme de quatre carrés au plus : tout d'abord, il montre (volume 1, page 213 et suivantes) que tout nombre premier peut s'écrire comme somme de 4 carrés. Puis que tout entier est la somme de quatre ou d'un moindre nombre de carrés.

Il prouve que tout nombre impair est somme de trois carrés à l'exception de ceux de la forme 8n + 7 et que tout nombre double d'un nombre impair l'est aussi (nombres de la forme 4n + 2).


Vérifier que si n est impair et n = p2 + q2 + r2, alors cette somme est de la forme 4n + 1 ou 8n + 3

Programme de décomposition en somme de 3 carrés :          Résidus quadratiques & loi de réciprocité :

L'équation de Pell (plus surement de Brouncker) :

Cette célèbre et difficile équation en nombres entiers, x2 - Ny2 = ±1 où N n'est pas un carré, fut étudiée par les plus grands mathématiciens depuis son apparition. Legendre s'y pencha et fournit des méthodes et des tables de solutions. Lagrange la résoudra complètement par un algorithme usant des fractions continues.

Le lecteur intéressé trouvera une étude approfondie de l'équation x2 - Ny2 = ±D, D < A, a non carré, dans le tome 1 de la théorie des nombres de Legendre référencé ci-dessus : cf. pages 118 et suivantes de la pagination Gallica (pages 49 et 56 du traité, le décalage de la pagination est dû à la présence des tables).

 

Conjecture de Legendre (1798) :


Legendre étudia la distribution des nombres premiers et conjectura, comme Gauss, six ans auparavant, la formule :

où p(x) désigne le nombre de nombres premiers inférieurs à x. Cette conjecture, également étudiée par Tchebychev, souvent appelée aujourd'hui, théorème des nombres premiers, sera prouvée un siècle plus tard par Hadamard et La Vallée-Poussin (1896). Landau en donna également une preuve (1903). Erdös en apportera une nouvelle et élégante démonstration en 1949.

Pour x "grand", Legendre complète sa formule par :

Le nombre 1,08366, dite constante de Legendre, ne résultait que d'une observation sur de grands nombres connus. Cette formule fut contestée par Tchebychev.

Conjecture de Gauss-Legendre :

Formule de Legendre : dite de duplication de la fonction G de Euler

Connaissant les valeurs de la fonction G en x et en x + 1/2, on a :

Méthode des moindres carrés :

On doit à Legendre, en statistique, la méthode d'ajustement dite des moindres carrés (1805), qu'il expose dans un traité sur les orbites des comètes, mais que Gauss avait implicitement utilisée, en astronomie, 12 ans plus tôt. Laplace revendiqua d'ailleurs la paternité de cette méthode dont l'objectif initial fut de résoudre au mieux un système d'équations dans lequel manque un certain nombre d'observations : le nombre d'inconnues est supérieur au nombre d'équations nécessaire à la résolution du système.

Polynômes d'interpolation de Legendre :  

Issus de ses recherches en théorie du potentiel newtonien (calculs relatifs à l'attraction entre points matériels ou volumes) que l’on rencontre également en géométrie différentielle et en intégration approchée :

Polynômes de Legendre :

Les Éléments de géométrie :

Cherchant à démontrer le cinquième postulat d'Euclide, en croyant réussir à prouver, sans utiliser ce dernier, que la somme des angles d'un triangle est égale à deux angles droits (proposition XXXII du livre I des Éléments d'Euclide), Legendre fut amené à publier dès 1794 une théorie des parallèles dans un traité complet de géométrie euclidienne, Éléments de géométrie, auquel il adjoindra la trigonométrie plane et sphérique, et considéré longtemps comme référence dans l'enseignement de la géométrie dite "élémentaire".

Ce qualificatif "d'élémentaire" peut prêter à confusion. Il faut aujourd'hui entendre par là, la géométrie affine (celle d'Euclide, en particulier) y compris la géométrie analytique et vectorielle de base (niveau lycée). On peut lui opposer les géométries analytique, différentielle, descriptive et projective.

Critiqué mais têtu, Legendre ne renoncera pas à sa tentative encore présente dans sa douzième et dernière édition de son vivant (1823).

Dans sa démarche (3ème édition, 1800), afin de prouver dans un premier temps que la somme des angles du triangle ne peut excéder deux angles droits, Legendre fait implicitement appel à l'axiome d'Archimède.

Ces publications sur l'étude de la géométrie euclidienne seront à la source des premiers travaux de Dehn, en géométrie. On doit à Hilbert, son professeur à Göttingen, une reconstruction de la géométrie euclidienne.

Autres contributions :     

Pour en savoir plus :

Mascheroni  Carnot
© Serge Mehl - www.chronomath.com