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LEGENDRE Adrien-Marie, français, 1752-1834       » Théorie des nombres | Crible de Legendre | Équation de Pell | Méthode des moindres carrés | Dérivée partielle

Né à  Paris, Adrien-Marie fit de brillantes études au collège Mazarin. Recommandé par d'Alembert, il sera nommé professeur de mathématiques à l'École militaire de Paris (1775-1780) où il côtoie Laplace et Bézout. Ses premiers travaux portèrent sur la mécanique (mouvement des projectiles, orbites planétaires). Brillant géomètre, il fut aussi un spécialiste de géodésie (on lui doit ce terme) en relation avec l'observatoire de Greenwich (1787-91) et travailla, sous la Convention, avec Delambre, à l'adoption du système métrique.

» La géodésie (du grec gê = terre, daiein = diviser) est la science dont l'objet est de mesurer les distances et les aires à la surface de la Terre. Sur une sphère, le plus court chemin entre deux points (géodésique) est le petit arc de grand cercle -autrement dit arc de méridien- passant par ces deux points.

Élu à l'Académie des sciences en 1783, réélu en 1795 (l'Académie venait de renaître suite à sa disparition en 1793 lors de la Révolution de 1789). Il succéda à Laplace en tant qu'examinateur de sortie à l'École Polytechnique (1799), ce dernier ayant été nommé Sénateur et succéda à Lagrange au bureau des longitudes (1812).

Ce résultat sera prouvé par Dirichlet en 1842.

Legendre prouve en 1792, l'irrationalité de π² confirmant ainsi celle de π, déjà prouvée par Lambert en 1768. La preuve de l'irrationalité de π est également donnée par usage des fractions continues dans ses Éléments de géométrie (» réf.6).

∗∗∗
Bien que ce soit bien évident... : justifier que si x² est irrationnel, il en est de même de x.
La réciproque étant trivialement fausse !

Il semble que Legendre soit le premier à user de l'appellation Théorie des nombres (première édition en 1798) en élevant ainsi l'arithmétique au niveau des branches fondamentales des mathématiques.

• En 1825, il prouve, par descente infinie, le cas n = 5 du grand théorème de Fermat. Euler avait prouvé le cas n = 3 vers 1750.

• Dans son traité de 1830, Legendre exprime un résultat, qui sera encore complété par Gauss, concernant la décomposition additive d'un nombre en somme de quatre carrés au plus : tout d'abord, il montre (volume 1, page 213 et suivantes) que tout nombre premier peut s'écrire comme somme de 4 carrés. Puis que tout entier est la somme de quatre ou d'un moindre nombre de carrés.

Trois conjectures de Legendre relatives à la distribution des nombres premiers :    

c1/  Si a et b sont premiers entre eux, il existe une infinité de nombres premiers p congrus à a modulo b : p ≡ a [b].

En d'autres termes :

la suite arithmétique de 1er terme a de raison b contient une infinité de nombres premiers.

• Par exemple : 5, 11, 17, 23, 29 est une suite finie de nombres premiers en progression arithmétique de raison 6 (nombres premiers dits sexy...).

Cette conjecture fut prouvée par Dirichlet en 1837 et est souvent appelée théorème de la progression arithmétique.

Loi de réciprocité quadratique : »           » La Vallée-Poussin , Tao

c2/  Pour tout entier naturel n non nul, il existe au moins un nombre premier entre n² et (n + 1)².

Cette assertion, jamais mis en défaut de n = 2 à n extrêmement grand grâce aux ordinateurs, fait partie des conjectures tant simples à énoncer que difficiles à prouver. Elle reste (janvier 2018) un problème ouvert. En 1975, le mathématicien chinois Chen Jingrun a cependant fait une avancée remarquable en prouvant ce beau résultat :

Pour tout entier naturel n non nul, il existe au moins un nombre premier ou semi-premier entre n² et (n + 1)².
→ est qualifié de semi-premier tout entier produit de deux nombres premiers (éventuellement égaux)

Nombres premiers jumeaux : »            Nombres premiers sexy : »               

»  Landau , Tao , Deligne , Bombieri

c3/  En 1792, le jeune Karl Friedrich Gauss avait émis une conjecture (non publiée alors) selon laquelle si π(x) désigne le nombre de nombres premiers n'excédant pas x (notation de Legendre), alors π(x) ~ x/ln x pour x "grand". Autrement dit :

     (eg)

Six ans plus tard, en 1798, Legendre se penche sur le sujet et affine la conjecture en énonçant dans son Essai sur la théorie des nombres (» Gallica, réf.4b) :

  (cl)

Le nombre 1,08366, dite constante de Legendre, ne résultait que d'une observation sur de grands nombres. Cette formule empirique fut contestée par Tchebychev qui s'intéressa également au sujet.

Crible de Legendre (» réf.4b-4c) :   

Quelques années plus tard (Essai sur la théorie des nombres, 1808), Legendre relance le sujet en établissant une formule étonnante que l'on qualifia par la suite de crible de Legendre pour les nombres premiers (à l'instar de celui d'Ératosthène) :

Soit x un entier naturel non nul, µ : n → µ(n) la fonction de Möbius :

et P le produit des nombres premiers inférieurs ou égaux à √x. Alors, en désignant par E la fonction partie entière :

Dans cette sommation, on ne doit pas oublier le cas  n = 1 qui est un diviseur de P.

• Prenons l'exemple de x = 100. Le crible d'Ératosthène indique 25 nombres premiers inférieurs à 100. Dressons le tableau indiquant les valeurs possibles de n divisant P = 2 × 3 × 5 × 7, produit des 4 diviseurs premiers de 10 = √100. Les diviseurs de P sont au nombre de 16 :

{1, 2, 3, 5, 7, 6 = 2 × 3, 10, 14, 3 × 5 = 15, 21, 5 × 7 = 35, 2 × 3 × 5 = 30, 42, 2 × 5 × 7 = 70, 105, 2 × 3 × 5 × 7 = 210}

D'où 1 + π(100) - π(10) = 1 + π(100) - 4 ≈ 100 - 50 - 33 - 20 - 14 + 16 + 10 + 7 + 6 + 4 + 2 - 3 - 2 - 1 = 22; soit π(100) ≈ 22 + 3 = 25.
Ce résultat est d'autant plus remarquable car il est exact. Les formules (eg) et (cl), applicables à des grandes valeurs n avec des taux d'erreur relativement faibles, fournissent respectivement 22 et 28.

 ➔  Appelée aujourd'hui théorème des nombres premiers, la conjecture (eg) sera prouvée un siècle plus tard par Hadamard et La Vallée-Poussin (1896). Landau en donna également une preuve (1903). Erdös en apportera une nouvelle et élégante démonstration en 1949.

Table de Legendre des nombres premiers inférieurs à 1000, corrections de l'éditeur
(source Essai sur la théorie des nombres, Google Livres)

Loi de réciprocité quadratique :    

Énoncée par Legendre (1830), démontrée par élégamment par Gauss au moyen des congruences, cette loi est d'une grande importance en théorie additive des nombres. La preuve de Legendre utilisait sa conjecture sur les progressions arithmétiques de nombres premiers qui ne fut prouvée qu'en 1837 par Dirichlet !

p et q désignant des entiers impairs premiers, dont l'un (au moins) est de la forme 4n + 1 :
si x² ≡  p modulo q alors x² ≡ q modulo p.

Résidus quadratiques & loi de réciprocité : »

Un théorème de Legendre en théorie additive des nombres :    

Tout nombre impair est somme de trois carrés à l'exception de ceux de la forme 8n + 7 et que tout nombre double
d'un nombre impair l'est aussi (nombres de la forme 4n + 2).

∗∗∗
Vérifier que si n est impair et n = p² + q² + r², alors cette somme est de la forme 4n + 1 ou 8n + 3

Programme de décomposition en somme de 3 carrés : »

L'équation de Pell :     

Cette célèbre et difficile équation, en nombres entiers, x² - Ny² = ±1 où N n'est pas un carré, dite de Pell, fut étudiée par les plus grands mathématiciens depuis son apparition dans les recherches arithmétiques de Brahmagupta, voire de Héron d'Alexandrie !  Legendre s'y pencha et fournit des méthodes et des tables de solutions (» réf.4a). Lagrange la résoudra complètement par un algorithme usant des fractions continues (» réf.5).

Le lecteur intéressé trouvera une étude approfondie de l'équation x² - Ny² = ± D, D < √A, avec A non carré, dans le tome 1 de la théorie des nombres de Legendre (» réf.4a, pages 118 et suivantes de la pagination Gallica).

Connaissant les valeurs de la fonction Γ en x et en x + 1/2, on a :

On doit à Legendre, en statistique, la méthode d'ajustement dite des moindres carrés (1805) consistant à minimiser la somme des carrés des erreurs entre valeurs théoriques et valeurs observées, qu'il expose dans un traité sur les orbites des comètes, mais que Gauss avait implicitement utilisée, en astronomie, 4 ans plus tôt.

Laplace revendiqua d'ailleurs la paternité de cette méthode dont l'objectif initial fut de résoudre au mieux un système d'équations dans lequel manque un certain nombre d'observations : lorsque le nombre d'inconnues est supérieur au nombre d'équations nécessaire à la résolution du système.

La méthode des moindres carrés : »

Issus de ses recherches en théorie du potentiel newtonien (calculs relatifs à l'attraction entre points matériels ou volumes) que l'on rencontre également en géométrie différentielle et en intégration approchée :

Cherchant à démontrer le cinquième postulat d'Euclide, en croyant réussir à prouver, sans utiliser ce dernier, que la somme des angles d'un triangle est égale à deux angles droits (proposition XXXII du livre I des Éléments d'Euclide), Legendre fut amené à publier dès 1794 une théorie des parallèles dans un traité complet de géométrie euclidienne, Éléments de géométrie, auquel il adjoindra la trigonométrie plane et sphérique, et considéré longtemps comme référence dans l'enseignement de la géométrie dite "élémentaire".

» Ce qualificatif "d'élémentaire" peut prêter à confusion. Il faut aujourd'hui entendre par là, la géométrie affine (celle d'Euclide, en particulier) y compris la géométrie analytique et vectorielle de base (niveau lycée). On peut lui opposer les géométries analytique, différentielle, descriptive et projective.

Critiqué mais têtu, Legendre ne renoncera pas à sa tentative encore présente dans sa douzième et dernière édition de son vivant (1823).

Dans sa démarche (3ème édition, 1800), afin de prouver dans un premier temps que la somme des angles du triangle ne peut excéder deux angles droits, Legendre fait implicitement appel à l'axiome d'Archimède.

Ces publications sur l'étude de la géométrie euclidienne seront à la source des premiers travaux de Dehn, en géométrie. On doit à Hilbert, son professeur à Göttingen, une reconstruction de la géométrie euclidienne.

Comme celle de Bessel, il s'agit d'une équation différentielle homogène du second ordre avec paramètre, s'écrivant généralement sous la forme :

(1 - x²)y" - 2xy' + k(k + 1)y = 0

Les solutions sont recherchées sous la forme d'une série entière. Cette équation est en lien avec les polynômes de Legendre. On pourra se référer aux items de la réf.15 in fine.

Dans son Mémoire sur la manière de distinguer les minima des maxima dans le calcul des variations (1786, réf.1, page 7), Legendre est à l'origine de la notation actuelle  du "d rond" (∂ ) pour les dérivées partielles d'une fonction de deux variables x et y :

♦ Pluralité et incertitude de la notation :   

L'usage du ∂ ("d rond), qui nous parait aujourd'hui tant efficace qu'intelligente, mit près de 100 ans à s'imposer ! Le concept de dérivation partielle apparait à la toute fin du 17è siècle avec Leibniz et J. Bernoulli à l'aube du calcul des variations.

Au 18è siècle, période féconde des mathématiques, nombreux furent les mathématiciens qui tentèrent d'imposer des notations aussi peu convaincantes que pratiques. Fontaine, Laplace et Lagrange, Monge utilisaient la notation ordinaire df/dx et df/dy. Selon Cajori (» réf.9), Condorcet utilisa (1770, » réf.12) une notation mixte pour la différentielle d'une fonction z = f(x,y) : dz pour la différentielle par rapport à x (y constant) et ∂z pour la différentielle par rapport à y (x constant).

 i  Je  n'ai pas trouvé cette distinction dz et ∂z  à la lecture du mémoire de Condorcet (» réf.12), mais si c'est effectivement le cas, elle aura pu influencer Legendre quelques années plus tard dans sa volonté d'assoir la notation actuelle.

Différentielle d'une fonction de plusieurs variables, différentielle totale : »

Euler, plus prudent, utilisait la notation différentielle complétée de parenthèses, (df/dx) et (df/dy), sujette à des erreurs d'interprétation. Si z = f(x,y), il utilisa également les notations p et q pour exprimer ∂z/∂x et ∂z/∂y. Pas vraiment convaincant. Dans son application de l'analyse à la géométrie (1850), Monge utilisa également cette notation. f_'

à la fin du 18è siècle, dans sa Théorie des fonctions analytiques (» réf.10), Lagrange use de ses notations f', f'', ... et applique ce même type de notation aux dérivées partielles en notant, par exemple, f_' et f_'' (prime en indice) les dérivées partielles d'ordre 1 et 2 par rapport à y d'une fonction de deux variables x et y :

Peu convaincant : dans le cas de 3 variables ou plus, il faut une nouvelle notation. Aussi, dans le cas implicite, F(x,y,z) = 0, l'illustre mathématicien note F'(x), F'(y), F'(z), F"(x), etc., les  expressions dérivées partielles de la fonctionnelle F (» réf.11), notation plus pratique et plus fiable fiable pour les ordres 1 et 2, le contenu de la () indique la variable par rapport à laquelle on dérive. En notation indicée, F'_x, F'_y, ..., voici un exemple d'application :

Équation d'Euler-Lagrange (calcul des variations) : »

Au 19è siècle, Cauchy préféra des notations du type D_x, D²_x,y. En 1841, plus d'un demi-siècle après Legendre, Jacobi utilise la notation ∂f/∂x; il la préconise mais n'est pas suivi ! Elle sera adopté universellement au début du 20è siècle. Dans son tome 2 relatif aux notations mathématiques à travers les âges (» réf.9), Florian Cajori décrit sur plus de 20 pages l'incertitude de la notation des dérivations partielles ! 

 ➔   Pour en savoir plus :

1. Mémoire sur la manière de distinguer les minima des maxima dans le calcul des variations par Adrien Legendre :
   https://books.google.fr/books?id=mszOAAAAMAAJ
2. a) Mémoire sur les transcendantes elliptiques, par Adrien Legendre sur Google Livres
   https://books.google.fr/books?id=I4laAAAAcAAJ&printsec=frontcover#v=onepage&q&f=false
   b) Traité des fonctions elliptiques et des intégrales eulériennes, par Adrien Legendre sur Google Livres :
   http://books.google.fr/books?id=vaAKAAAAYAAJ  (Tome 1, fonctions elliptiques)   
   https://books.google.fr/books?id=wy7vAAAAMAAJ (Tome 2, intégrales eulériennes)
   https://books.google.fr/books?id=MCAOAAAAQAAJ (Tome 3, supplément)
3. Algèbre des fonction elliptiques, Géométrie des ovales cartésiennes, par Évelyne Barbin & René Guitard, univ. Paris7), 2001 :
   http://archive.numdam.org/article/RHM_2001__7_2_161_0.pdf
4. a) Théorie des nombres d'Adrien-Marie Legendre -  Équation de Pell pages 118 et suivantes de la pagination Gallica
   (pages 49 et 56 du traité : le décalage de la pagination est dû à la présence des tables) :
   http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k426107/CadresFenetre?O=NUMM-42610&M=chemindefer
   b) Essai sur la théorie des nombres (2nde édition, 1808), par A.-M. Legendre :
   https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k62826k?rk=21459;2
   c) Crible de Legendre (pages 6 et suivantes) :  https://assets.press.princeton.edu/chapters/s8585.pdf
   On pourra aussi consulter cet exemple de calcul de π(211) sur le site Theorem of the day de Robin Whitty :
   https://www.theoremoftheday.org/NumberTheory/LegendreSieve/TotDELSieve.pdf
5. Solution d'un problème d'arithmétique (équation de Pell), Œuvres de Lagrange (Gauthier-Villars, 1867), univ. Göttingen :
   http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/img/?PPN=PPN308899644&DMDID=DMDLOG_0024&LOGID=...
6. Les Éléments de Géométrie sur le site Gallica : Irrationalité de π : note 4, pages 288 et suiv., Trigonométrie : page 337 et suiv.
   http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k29403p/f3.chemindefer.CadresPage
7. 5ème postulat : Histoires de problèmes. Histoire des Mathématiques? Inter-I.R.E.M. , Éd. Ellipses - 1993 :
   Ch. 11, La vraie fausse démonstration du 5ème postulat, par Jean-Luc Chabert.
8. 5ème postulat : une critique de la preuve de Legendre dans les Annales de Gergonne (1824) :
   http://archive.numdam.org/article/AMPA_1824-1825__15__77_0.pdf
9. A HISTORY OF MATHEMATICAL NOTATIONS par Florian Cajori , 2 tomes (séparés ou  "bound as one").
   Dover Publications - Chicago 1928 / 1993.tome 2, page 213, par Victor J. Katz, Addison-Wesley Educational Publishers -1998
10. Théorie des fonctions analytiques sur le site de la Bnf : http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k86263h/f105.image
11. Des équations dérivées d'une équation entre trois variables (Oeuvres de Lagrange, tome 9, page 158, BnF) :
    http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k2299441/f151.image.r=Oeuvres complètes de Lagrange.langFR
12. Mémoire sur les équations différentielles par M. le Marquis de Condorcet, sur le site de la BnF :
    http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k3568x/f366.image
13. Conjecture de Legendre sur la distribution des nombres premiers :
    http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k42612x/CadresFenetre?O=NUMM-42612&M=chemindefer
14. a) Équation différentielle de Legendre : Cours de mathématiques générales, par Woods & Bailey, Éd. Joseph Gibert, Paris - 1933
    b) Polynômes et fonctions de Legendre, par René Lagrange (1939) : http://www.numdam.org/issue/MSM_1939__97__1_0.pdf
    c) Polynômes et fonctions de Legendre, par Frédéric Laroche (2006) :
    http://promenadesmaths.free.fr/legendre/Polynomes orthogonaux_Legendre_ch2.pdf

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