ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

LEGENDRE Adrien-Marie, français, 1752-1834

Né à  Paris, Adrien-Marie fit de brillantes études au collège Mazarin. Recommandé par d'Alembert, il sera nommé professeur de mathématiques à l'École militaire de Paris (1775-1780) où il côtoie Laplace et Bézout. Ses premiers travaux portèrent sur la mécanique (mouvement des projectiles, orbites planétaires). Brillant géomètre, il fut aussi un spécialiste de géodésie (on lui doit ce terme) en relation avec l'observatoire de Greenwich (1787-91) et travailla, sous la Convention, avec Delambre, à l'adoption du système métrique.

La géodésie (du grec = terre, daiein = diviser) est la science dont l'objet est de mesurer les distances et les aires à la surface de la Terre. Sur une sphère, le plus court chemin entre deux points (géodésique) est le petit arc de grand cercle -autrement dit arc de méridien- passant par ces deux points.

Élu à l'Académie des sciences en 1783, réélu en 1795 (l'Académie venait de rentre suite à sa disparition en 1793 lors de la Révolution de 1789). Il succéda à Laplace en tant qu'examinateur de sortie à l'École Polytechnique (1799), ce dernier ayant été nommé Sénateur et succéda à Lagrange au bureau des longitudes (1812).

  Méchain , Delambre          Géodésie & triangulation :

Sa contribution mathématique fut importante dans de nombreux domaines. On peut citer principalement :

Intégrales eulériennes (fonctions Γ et β) :

Tout nombre irrationnel x peut être approché par un rationnel a/b de sorte que |x - a/b| < 1/b2

  Dirichlet , Hurwitz

          
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Théorie des nombres :

Legendre prouve en 1792, l'irrationalité de π2 confirmant ainsi celle de π, déjà prouvée par Lambert en 1768. La preuve de l'irrationalité de π est également donnée par usage des fractions continues dans ses Éléments de géométrie ( réf. 5).


Bien que ce soit bien évident... : justifier que si x2 est irrationnel, il en est de même de x.
La réciproque étant trivialement fausse !

Il semble que Legendre soit le premier à user de l'appellation Théorie des nombres (première édition en 1798) en élevant ainsi l'arithmétique au niveau des branches fondamentales des mathématiques.

En 1825, il prouve, par descente infinie, le cas n = 5 du grand théorème de Fermat. Euler avait prouvé le cas n = 3 vers 1750.

   Sophie Germain , Dirichlet, Lamé , Wiles

Dans son traité de 1830, Legendre exprime un résultat, qui sera encore complété par Gauss, concernant la décomposition additive d'un nombre en somme de quatre carrés au plus : tout d'abord, il montre (volume 1, page 213 et suivantes) que tout nombre premier peut s'écrire comme somme de 4 carrés. Puis que tout entier est la somme de quatre ou d'un moindre nombre de carrés.

Une conjecture de Legendre :    

Si a et b sont premiers entre eux, il existe une infinité de nombres premiers p congrus à a modulo b : p a [b]. En d'autres termes, la suite arithmétique de 1er terme a de raison b contient une infinité de nombres premiers.

Cette conjecture fut prouvée par Dirichlet en 1837. Depuis lors, le problème était de savoir s'il existe de telles suites non bornées. La preuve fut apportée en 2004 par Terence Tao et Ben Green.

Ben green (1977-), mathématicien anglais spécialiste en théorie additive des nombres et en sa problématique inverse (combinatoire additive), professeur à Oxford, ami de Terence Tao, il est lauréat du prix Salem 2005.

Nombres premiers jumeaux :           Nombres premiers sexy :                  Tao , Deligne , Bombieri

Un théorème de Legendre en théorie additive des nombres :    

Tout nombre impair est somme de trois carrés à l'exception de ceux de la forme 8n + 7 et que tout nombre double d'un nombre impair l'est aussi (nombres de la forme 4n + 2).


Vérifier que si n est impair et n = p2 + q2 + r2, alors cette somme est de la forme 4n + 1 ou 8n + 3

Programme de décomposition en somme de 3 carrés :          Résidus quadratiques & loi de réciprocité :

L'équation de Pell :     

Cette célèbre et difficile équation, en nombres entiers, x2 - Ny2 = ±1 où N n'est pas un carré, dite de Pell, fut étudiée par les plus grands mathématiciens depuis son apparition dans les recherches arithmétiques de Brahmagupta, voire de Héron d'Alexandrie !  Legendre s'y pencha et fournit des méthodes et des tables de solutions ( réf. 3). Lagrange la résoudra complètement par un algorithme usant des fractions continues ( réf. 4).

Le lecteur intéressé trouvera une étude approfondie de l'équation x2 - Ny2 = ±D, D < A, a non carré, dans le tome 1 de la théorie des nombres de Legendre ( réf. 3, pages 118 et suivantes de la pagination Gallica).

Conjecture de Legendre sur la distribution et raréfaction des nombres premeirs (1798) :      


Legendre étudia la distribution des nombres premiers et conjectura, comme
Gauss, six ans auparavant, la formule :

π(x) désigne le nombre de nombres premiers inférieurs à x. Cette conjecture, également étudiée par Tchebychev, souvent appelée aujourd'hui, théorème des nombres premiers, sera prouvée un siècle plus tard par Hadamard et La Vallée-Poussin (1896). Landau en donna également une preuve (1903). Erdös en apportera une nouvelle et élégante démonstration en 1949.

Pour x de "grandes" valeurs de x, Legendre complète sa formule par :

Le nombre 1,08366, dite constante de Legendre, ne résultait que d'une observation sur de grands nombres connus. Cette formule fut contestée par Tchebychev.

Conjecture de Gauss-Legendre :

Formule de Legendre : dite de duplication de la fonction Γ de Euler

Connaissant les valeurs de la fonction Γ en x et en x + 1/2, on a :

Méthode des moindres carrés :

On doit à Legendre, en statistique, la méthode d'ajustement dite des moindres carrés (1805) consistant à minimiser la somme des carrés des erreurs entre valeurs théoriques et valeurs observées, qu'il expose dans un traité sur les orbites des comètes, mais que Gauss avait implicitement utilisée, en astronomie, 4 ans plus tôt.

Laplace revendiqua d'ailleurs la paternité de cette méthode dont l'objectif initial fut de résoudre au mieux un système d'équations dans lequel manque un certain nombre d'observations : lorsque le nombre d'inconnues est supérieur au nombre d'équations nécessaire à la résolution du système.

La méthode des moindres carrés :

Polynômes d'interpolation de Legendre :  

Issus de ses recherches en théorie du potentiel newtonien (calculs relatifs à l'attraction entre points matériels ou volumes) que l’on rencontre également en géométrie différentielle et en intégration approchée :

Polynômes de Legendre :

Les Éléments de géométrie :

Cherchant à démontrer le cinquième postulat d'Euclide, en croyant réussir à prouver, sans utiliser ce dernier, que la somme des angles d'un triangle est égale à deux angles droits (proposition XXXII du livre I des Éléments d'Euclide), Legendre fut amené à publier dès 1794 une théorie des parallèles dans un traité complet de géométrie euclidienne, Éléments de géométrie, auquel il adjoindra la trigonométrie plane et sphérique, et considéré longtemps comme référence dans l'enseignement de la géométrie dite "élémentaire".

Ce qualificatif "d'élémentaire" peut prêter à confusion. Il faut aujourd'hui entendre par là, la géométrie affine (celle d'Euclide, en particulier) y compris la géométrie analytique et vectorielle de base (niveau lycée). On peut lui opposer les géométries analytique, différentielle, descriptive et projective.

Critiqué mais têtu, Legendre ne renoncera pas à sa tentative encore présente dans sa douzième et dernière édition de son vivant (1823).

Dans sa démarche (3ème édition, 1800), afin de prouver dans un premier temps que la somme des angles du triangle ne peut excéder deux angles droits, Legendre fait implicitement appel à l'axiome d'Archimède.

Ces publications sur l'étude de la géométrie euclidienne seront à la source des premiers travaux de Dehn, en géométrie. On doit à Hilbert, son professeur à Göttingen, une reconstruction de la géométrie euclidienne.

Autres contributions, notations & symboles :     

On doit à Legendre de nombreux mémoires sur les équations différentielles et les équations aux dérivées partielles dans le cadre du calcul des variations. Dans son Mémoire sur la manière de distinguer les minima des maxima dans le calcul des variations (1786, réf. 6), Legendre est à l'origine de la notation actuelle  du "d rond" (∂ ) pour les dérivées partielles d'une fonction de deux variables x et y :

Pluralité et incertitude de la notation :   

L'usage du , qui nous parait aujourd'hui tant efficace qu'intelligente, mit près de 100 ans à s'imposer ! Le concept de dérivation partielle apparait à la toute fin du 17è siècle avec Leibniz et J. Bernoulli à l'aube du calcul des variations.

Au 18è siècle, période féconde des mathématiques, nombreux furent les mathématiciens qui tentèrent d'imposer des notations aussi peu convaincantes que pratiques. Fontaine, Laplace et Lagrange, Monge utilisaient la notation ordinaire df/dx et df/dy. Selon Cajori ( réf. 8), Condorcet utilisa (1770, réf. 11) une notation mixte pour la différentielle d'une fonction z = f(x,y) : dz pour la différentielle par rapport à x (y constant) et ∂z pour la différentielle par rapport à y (x constant).

Je  n'ai pas trouvé cette distinction dz et ∂z  à la lecture de ce mémoire ( réf. 11), mais si c'est effectivement le cas, elle aura pu influencer Legendre quelques années plus tard.

Différentielle d'une fonction de plusieurs variables, différentielle totale :

Euler, plus prudent avait utilisé auparavant la même notation complétée de parenthèses, (df/dx) et (df/dy). Pas vraiment convaincant. Si z = f(x,y), il utilisa également les notations p et q pour exprimer ∂z/∂x et ∂z/∂y. Dans son application de l'analyse à la géométrie (1850), Monge utilisa également cette notation.

à la fin du 18è siècle, dans sa  Théorie des fonctions analytiques (1797, réf. 9), Lagrange use de ses notations , , ... et applique ce même type de notation aux dérivées partielles en notant, par exemple, f' et f'' les dérivées partielles d'ordre 1 et 2 par rapport à y d'une fonction de deux variables x et y. Peu convaincant : dans le cas de 3 variables ou plus, il faut une nouvelle notation. Par exemple, dans le cas implicite, F(x,y,z) = 0, l'illustre mathématicien note F'x, F'y, F'z, F"x, etc. les  expressions dérivées partielles de la fonctionnelle F ( réf. 10), notation pratique et fiable pour les ordres 1 et 2. En voici un exemple :

Équation d'Euler-Lagrange (calcul des variations) :

Dans son tome 2 relatif aux notations mathématiques à travers les âges ( réf. 8), Florian Cajori décrit sur plus de 20 pages l'incertitude de la notation des dérivations partielles !

 


Pour en savoir plus :

  1. Mémoire sur la manière de distinguer les minima des maxima dans le calcul des variations par Adrien Legendre :
    https://books.google.fr/books?id=mszOAAAAMAAJ&pg=RA1-PA3&#v=onepage&q&f=false
  2. Traité des fonctions elliptiques et des intégrales eulériennes, Adrien Legendre sur Google Livres :
    http://books.google.fr/books?id=vaAKAAAAYAAJ&printsec=frontcover&dq=legendre+fonctions+elliptiques...
  3. Théorie des nombres d'Adrien-Marie Legendre -  Équation de Pell pages 118 et suivantes de la pagination Gallica
    (pages 49 et 56 du traité : le décalage de la pagination est dû à la présence des tables) :
    http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k426107/CadresFenetre?O=NUMM-42610&M=chemindefer
  4. Solution d'un problème d'arithmétique (équation de Pell), Œuvres de Lagrange (Gauthier-Villars, 1867), univ. Göttingen :
    http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/img/?PPN=PPN308899644&DMDID=DMDLOG_0024&LOGID=...
  5. Les Éléments de Géométrie sur le site Gallica : Irrationalité de π : note 4, pages 288 et suiv., Trigonométrie : page 337 et suiv.
    http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k29403p/f3.chemindefer.CadresPage
  6. 5ème postulat : Histoires de problèmes. Histoire des Mathématiques? Inter-I.R.E.M. , Éd. Ellipses - 1993 :
    Ch. 11, La vraie fausse démonstration du 5ème postulat, par Jean-Luc Chabert.
  7. 5ème postulat : Une critique de la preuve de Legendre dans les Annales de Gergonne (1824)
  8. A HISTORY OF MATHEMATICAL NOTATIONS par Florian Cajori , 2 tomes (séparés ou  "bound as one").
    Dover Publications - Chicago 1928 / 1993.tome 2, page 213, par Victor J. Katz
    Addison-Wesley Educational Publishers -1998
  9. Théorie des fonctions analytiques sur le site de la Bnf : http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k86263h/f105.image
  10. Des équations dérivées d'une équation entre trois variables (Oeuvres de Lagrange, tome 9, page 158, BnF) :
    http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k2299441/f151.image.r=Oeuvres complètes de Lagrange.langFR
  11. Mémoire sur les équations différentielles par M. le Marquis de Condorcet, sur le site de la BnF :
    http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k3568x/f366.image
  12. Conjecture de Legendre sur la distribution des nombres premiers :
    http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k42612x/CadresFenetre?O=NUMM-42612&M=chemindefer


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