ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Suites numériques, suites de fonctions, convergence    
    » Suites de Cauchy  | Convergence uniforme  | Suites arithmétiques et géométriques | Séries  | Notion de suite et de série selon d'Alembert

Dans son cours d'analyse à l'École royale polytechnique, Cauchy précise les notions fondamentales de suite et de série en établissant des critères de convergence.

L'étude qui suit traite des suites à valeurs dans E = R ou C mais la plupart des résultats s'adaptent à des espaces métriques (resp. vectoriels normés) en remplaçant les valeurs absolues ou modules par les distances (resp. normes) correspondantes. Certains critères n'étant alors valables que si de tels espaces sont complets (espaces de Banach).

Définition :   

N désignant l'ensemble des entiers naturels, une suite d'éléments d'un ensemble E est une application u de N, ou une partie de N de la forme [n,+∞[, vers E. u(n) est le terme de rang n (ou le terme général) de la suite.

Par souci de simplification des écritures, on n'utilise pas la notation fonctionnelle mais la notation indicée (ou indicielle) :

 ➔  La notation un, dite indicielle est due à Lagrange : n est placé en indice, par opposition à la notation exponentielle où n serait placé en exposant : un signifiant alors u puissance n lorsque u désigne un nombre.

Suite numérique :   

Une suite est dite numérique si ses éléments un sont des nombres réels (ou complexes, mais alors on préfère parler de suite complexe). L'exemple 1 est une suite numérique (de nombres rationnels). Une suite à valeurs dans N est parfois qualifiée de suite entière.

Suite de fonctions ou suite fonctionnelle :   

Les éléments d'une suite peuvent être des fonctions numériques à valeurs réelles ou complexes du type un = fn(x), x appartenant à un ensemble précisé. On parle de suite de fonctions. C'est un cas fondamental d'analyse fonctionnelle dont les applications en sciences physiques sont nombreuses.

Convergence (simple) d'une suite, divergence :    

Dans l'exemple 1, il est intuitif que si n devient infiniment grand, un s'approche de plus en plus de 1. Notre suite étant à valeurs dans R contenant 1 : la suite est dite convergente. On dit que la suite (un) converge vers 1 ou que la suite (un) tend vers 1 : c'est la limite de la suite. On dit aussi que un tend vers 1 lorsque n tend vers l'infini en utilisant ainsi le vocabulaire des limites de fonctions, et on écrit lim un = 1.

 !  Noter que (un) converge également si nous l'avions définie à valeurs dans Q. Mais, attention :  la limite doit appartenir à l'ensemble des valeurs des un précisé dans l'énoncé de la suite.

En termes rigoureux :        

Soit  (un) une suite à valeurs dans F = R ou C et F un élément de F. On dit que la suite (un) converge vers L pour exprimer que :

En d'autres termes :

Aussi petit que soit le nombre strictement positif ε, il existe une valeur N (qui dépend de ε) assurant la présence de tous les un dans l'intervalle ]L - ε, L + ε[ à partir du rang N.

Le fait que ε puisse être choisi arbitrairement petit signifie que l'on pourra exhiber un N afin que la différence absolue entre un et L soit aussi petite que l'on voudra. Cette définition "à la Weierstrass" a le mérite d'être opérationnel en toute circonstance et d'éviter un langage trop intuitif comme le fit, malgré sa rigueur, Cauchy dans les années 1820.

 La définition de la convergence conduit à des résultats évitant l'usage laborieux des ε et des quantificateurs. En particulier :

lim (un + un) = lim un + lim vn   et   lim unvn = lim un × lim vn

lim 1/vn = 1/lim vn    et   lim (un/vn) = lim un/lim vn

Limites et rigueur selon Weierstrass : »

Suite divergente :     

Une suite non convergente est dite divergente. On dit aussi qu'elle diverge. Ce qui ne signifie pas que un tend vers l'infini :

Suites arithmétiques, suites géométriques (progressions) : »

Suite extraite :     

 !   Une suite numérique peut prendre une infinité de fois la même valeur α ou prendre des valeurs infiniment proches d'un réel α sans pour autant converger vers α ! Voici un exemple :

Cependant que les suites les suites (u2p) et (u2p+1), dites extraites de la suite  (un), sont convergentes, de limites respectives 0 et 1.

Plus généralement, on appelle suite extraite d'une suite (un), toute suite (un(p)) où l'application p → n(p) est strictement croissante.

Limite supérieure et inférieure d'une suite : »          » Weierstrass

Suite numérique croissante, décroissante, majorée, minorée :     

∗∗∗
Prouver que toute suite numérique strictement croissante et non majorée tend vers +∞. ☼
De même, toute suite numérique strictement décroissante et non minorée tend vers -∞

Convergence et suite croissante majorée ou décroissante minorée : »             Suites adjacentes : »

 ∗∗∗
Tours de Hanoi  suite récurrente un+2 =  f(un+1, un)
Suites récurrentes à 2 termes  un = 4un-1 - 4un-2  ,   Récurrence "emboîtée" un+1 = (un + vn)/2 , vn+1 = (unvn)½
Suite de Fibonacci  un =  un-1 + un-2  ,  Pyramide de tubes  géométrie élémentaire
Convergence "en escalier"  d'une suite  un+1 =  f(un)  ,  Convergence "en spirale"  d'une suite  un+1 =  f(un)
Divergence "en spirale"  d'une suite  un+1 =  f(un)
Suite convergente du type un+1 = f(un) lorsque f n'est pas continue  

Suites de Cauchy, critères de Cauchy pour les suites :

ε désignant un nombre arbitrairement petit et positif, on appelle suite de Cauchy, appellation due à son contemporain Bolzano, une suite numérique (un) pour laquelle |um - up| < ε à partir d’un certain rang. Plus précisément, en notations "modernes" (depuis Weierstrass et Bourbaki) :

∀ε , ∃ Nε∈N  /  m > Nε , p > Nε ⇒  |um - up| < ε      (cc)

Dans la pratique, on ne restreint pas la généralité en choisissant m > p. Il est clair que toute suite convergente est une suite de Cauchy. Inversement :

Toute suite de Cauchy réelle est convergente

et la définition précédente devient le critère de convergence de Cauchy pour le suites.

 ➔  Rappelons là encore que |x - y| est une distance dans R au sens de la métrique : dans le cas plus général où (un) prend ses valeurs dans un espace métrique (ou normé), on devra remplacer |um - up| par d(um,up) et la convergence d'une suite de Cauchy dans un tel espace n'est pas assurée à moins, par exemple, que celui-ci soit un espace normé réel de dimension finie. Rappelons qu'on qualifie de complet un espace métrique dans lequel toute suite de Cauchy converge et que tout espace vectoriel normé peut se voir comme un espace métrique en posant d(x,y) = || x - y||.

 !  Mais si l'on se place dans un espace métrique quelconque, cette réciproque n'est pas assurée. On s'en convaincra avec l'exemple classique de la suite de nombres rationnels ainsi définie : l'ensemble Q des nombres rationnels étant muni de la distance usuelle d(x,y) = |x - y|, montrons que la suite de terme général un = 1 + 1/1! + 1/2! + ... + 1/n! est une suite de Cauchy dans Q non convergente dans Q : soit m et p entiers, m > p, on peut écrire :

Or u = 1/(p +1 ) < 1, donc, dans la parenthèse, la série de puissances positives de u (série géométrique) converge vers 1/(1 - u) = 1 + 1/p < 2, ce qui permet de conclure :

Si p tend vers l'infini, le second membre de l'inégalité tend vers 0 et la condition de Cauchy (cc) sera vérifiée pour Nε suffisamment grand. Cependant un tend vers le nombre e base des logarithmes népériens, nombre réel non rationnel : il est transcendant : la suite ne converge pas dans Q. C'est ainsi, comme le fit Meray (1869), que l'on peut construire l'ensemble R des nombres réels afin de compléter l'ensemble des nombres rationnels.

Critères de Cauchy pour les séries : »

Proposition :    

Si (un) est une suite à termes strictement positifs et si lim un+1/un existe finie ou non, alors c'est aussi la limite de (un)1/n.

Preuve : Supposons que un+1/un admette une limite L. Posons vn = ln (un+1/un) = ln un+1 - ln un et considérons la moyenne wn = (vo + v1 + ... + vn-1)/n) des vk, 0 ≤ k ≤ n-1. wn = (ln un - ln uo)/n et vn tend vers ln L. Selon le théorème de Cesaro, wn tend également vers ln L. C'est dire que ln (un)/n = ln(un)1/n tend vers ln L, donc que un1/n tend vers L. Lorsque L est infini, en remplaçant "tend vers ln L" par "tend vers l'infini", le résultat reste acquis par continuité de la fonction ln.

 !   La réciproque de cette proposition est fausse : Considérer la suite (un) définie par un = 2 + (-1)n. On a un = 3 si n pair et un = 1 si n impair. Suivant que n est pair ou impair, un+1/un prend les valeurs 1/3 et 3 : pas de limite. Mais (un)1/n vaut 1 si n est impair et 31/n si n pair. Or 31/n tend vers 1 pour n infini puisque son log tend vers 0. Ce qui montre que (un)1/n converge vers 1.

∗∗∗
On définit la suite (un) par n × un = (n + 1) × (n + 2) ×  ... × 2n]1/n. Montrer que (un) converge vers 4/e
Indic. : poser vn = (un)n ; on rappelle que (1 + 1/n)n converge vers e. » calcul élémentaire de e

Compléments : notion de limite supérieure (lim sup) et de limite inférieure (lim inf)

Comme on l'a vu plus haut en parlant des suites extraites, une suite numérique (un) peut prendre une infinité de fois la même valeur α ou prendre des valeurs infiniment proches d'un réel α sans pour autant converger vers α (on parle alors de point d'accumulation). Désignons alors par L l'ensemble de tels réels α. On appelle limite supérieure (resp. inférieure) de la suite (un) la borne supérieure (resp. inférieure) de L.

On note lim sup un ou bien lim un , lim inf un ou bien lim un.

En d'autres termes, avec un petit dessin... :

 ➔  Si la suite n'est pas pas bornée supérieurement (resp. inférieurement), alors il existe une suite extraite qui diverge vers +∞ (resp. -∞) et on pose lim un = +∞ (resp.  lim un = -∞).

Convergence simple et uniforme d'une suite de fonctions numériques :                » cas des séries

Dans l'exemple 2, la suite de fonctions (fn) converge vers la fonction g : x → x. En effet, x étant donné, fn(x) peut s'écrire (x - 1/n)/(x/n + 1). Lorsque n tend vers l'infini, x - 1/n tend vers x et et x/n + 1 tend vers 1, d'où lim fn(x) = x/1 = x.

Dans le cas général, lorsque x est élément d'une partie J de R ou C, on dira que la suite (fn) admet la fonction f comme limite sur J si :

∀ x ∈J, ∀ ε > 0, ∃ N x,ε /  n > Nx,ε ⇒ | fn(x) - f(x) | < ε

Convergence uniforme :      

Ci-dessus la convergence de la suite est dite simple : la fonction f est la limite simple des fn, la suite fn converge simplement vers f. Ceci pour distinguer d'une convergence plus forte susceptible d'assurer à la limite f les propriétés éventuelles des fn : continuité, dérivabilité, intégrabilité, qui est la convergence uniforme que définiront Gudermann (1838) puis Cauchy (1853) où l'existence de Nx,ε ne dépend plus de x, mais seulement de ε . Weierstrass finalisera avec rigueur ce concept.

J désigne ci-dessous un intervalle de R ou un disque de C, ouvert ou fermé suivant le contexte. f et fn sont des fonctions définies sur J à valeurs dans R ou C. On dit que la suite converge uniformément ou que la convergence de la suite est uniforme sur J si l'entier N ne dépend pas de x. Ce qui s'écrit :

∀ ε > 0, ∃ Nε / ∀ x ∈J , n > Nε ⇒ | fn(x) - f(x) | < ε

Concrètement, si ε est choisi suffisamment petit, à partir d'un certain rang Nε les représentations graphiques de f et des fn coïncident d'autant plus que N est grand sur tout l'intervalle J  On peut aussi écrire (très pratique dans la... pratique) :

∀ ε > 0, ∃ Nε / n > Nε ⇒ Supx∈J | fn(x) - f(x) | < ε

C'est dire que :

la suite (fn) converge uniformément vers f sur J   ssi   la suite Supx∈J | fn(x) - f(x) | converge vers 0

Exemples & contre-exemples :   

  1. Un cas élémentaire (exemple et contre-exemple) est donné par la suite de puissances fn(x) = xn (suite géométrique) sur l'intervalle J = [0,1]. La suite (fn)converge simplement vers la fonction f définie sur [0,1] par f(x) = 0 pour tout x de [0,1[ et f(1) = 1. On a tracé ci-dessous 10 courbes pour n variant de 0 à 10. On voit qu'au voisinage de 0, les courbes s'écrasent sur l'axe des abscisses : fn(x) →0, mais non pas au voisinage de 1 car pour tout n,  fn(1) = 1 :

La continuité des fn invalide la condition de convergence uniforme convergence sur [0,1[ : | fn(x) - f(x)| = xn < ε n'est pas assuré. Par exemple, en choisissant ε = 1/2, pour tout N de N et n ≥ N+1,  |xn| ≥ 1/2 dès que x ≥ 1/2-N-1.

La limite en 0 de f est 0 : la limite des fn n'est donc pas continue en 0. La convergence simple n'assure pas la continuité de la limite d'une suite de fonctions continues.

  1. Étudions la suite des fn(x) = xn en la restreignant cette fois à tout intervalle J = [0,α], 0 < α < 1.

On a ici f(x) = 0 pour tout x de J et, sur cet intervalle, Sup|fn(x) - f(x)| = αn tend vers 0 avec n : la condition de convergence uniforme est vérifiée et fn tend continument vers la fonction  nulle.

Ci-dessus, l'ordinateur a représenté  graphiquement les fn pour n variant de 1 à 80 par tranches de 10. On voit clairement que le Sup des xn (obtenu en α) s'écrase sur (Ox) lorsque n augmente.

  1. Considérons la suite de fonctions numériques définie par : fn(x) = xn(1 - x).

Montrons que la suite (fn) converge uniformément sur [0,1] : la suite géométrique de terme général xn converge vers 0 pour tout x de [0,1] et vers 1 si x = 1 (suite constante). 1 - x est borné et f(1) = 0 : la suite (fn) converge simplement vers la fonction f nulle sur [0,1]. [fn(x)]' = xn-1[n - (n+1)x]. Les (fn) atteignent leur maximum sur [0,1] en n/(n+1). On sait que (1 + 1/n)n tend vers e, ce qui conduit à Sup| fn(x) - f(x)| = Sup fn(x) = e/(n+1) →0, ce qui assure la convergence uniforme.

∗∗∗ 
On considère la suite de fonctions définie sur [0,1] par fn(x) = x(1 - xn).
Montrer que la suite (fn) converge uniformément vers f : x → x sur tout intervalle [0,α], 0 < α < 1.

 

Continuité, dérivabilité et intégration :    

1/ Toute limite uniforme de fonctions continues en un point (resp. un intervalle fermé J) est continue en ce point (resp. sur J).

 !  La condition d'uniforme convergence est une condition suffisante non nécessaire afin d'assurer la continuité de la limite. Un exemple très simple est donné par la suite fn(x) = e-nx de limite nulle sur ]0,+∞[.

Théorèmes de Dini : »        Heine et la notion de continuité uniforme : »

2/  Soit (fn) une suite de fonctions numériques dérivables en tout point d'un intervalle fermé J. On suppose que :
     -  les fonctions dérivées f 'n sont continues;
     -  la suite ( f 'n) des dérivées converge uniformément sur J vers une fonction φ;
     -  la suite (fn) converge en au moins un point de J;

alors (fn) converge uniformément sur J et sa limite f est dérivable sur J de dérivée f ' = φ

3/  Si la suite (fn) converge uniformément vers f sur un intervalle fermé J et si les fn sont continues sur J, alors :

             (la limite de l'intégrale est l'intégrale de la limite)

 ➔   Dans le cas plus général où l'espace d'arrivée F (des valeurs prises par f) est un espace métrique ou un espace vectoriel normé, concernant les convergences simple et uniforme, il convient de remplacer | fn(x) - f(x) | par :

Notion d'espace métrique : »                    Notion d'espace vectoriel normé : »

Plus général encore est le cas de fonctions fn où l'espace d'arrivée F est un espace topologique quelconque :

Topologie de la convergence simple, topologie de la convergence uniforme : »

 ➔  Pour en savoir plus :

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