ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
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Formule de Wallis & calcul de π          Version fonctionnelle récursive

On se propose de prouver ici la formule de Wallis, cas particulier de celle d'Euler :

et de la programmer sur tableur. Rappelons l'intégrale de Wallis :

          (w)

Au moyen d'une intégration par parties, utilisant sinnx = sinn-1.sinx et en posant u =  sinn-1 et v' = sinx, donc u' = (n - 1)sinn-2x.cosx  et v = - cosx, on obtient :

Le terme tout intégré est manifestement nul. On remarque que cos2x = 1 - sin2x, ce qui conduit immédiatement à la formule :

et donc, à la formule de récurrence :

n.In=(n -1).In-2

En distinguant n pair ou impair et vu que Io = π et I1 = 2, on en déduit :

 

La suite (In) est clairement positive et décroissante car, pour cette dernière propriété :

Par suite :

Ces résultats montrent que le rapport I2n+1/ I2n tend vers 1 par valeurs inférieures et donc que le produit infini :

tend vers par π/2 valeurs inférieures, soit :

avec en> 0 , tendant vers 0 lorsque n tend vers l'infini. La formule annoncée s'obtient alors par regroupement des termes.

Programmation de la formule :

Exemple d'exécution :

La convergence vers π est lente. Outre la lenteur de convergence, il se greffe des erreurs d'arrondi cumulatives générées par l'ordinateur. Si ε désigne la précision de la machine, on peut calculer que l'erreur à la n-ème itération est de l'ordre de 2nε, ce qui est fort inquiétant. L'algorithme n'est pas stable : l'erreur augmente avec n.


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