ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Tangente & normale en un point d'une courbe
    
Cas polaire , cas paramétré , cas implicite f(x,y) = 0

La seconde moitié du 17è siècle fut un période féconde pour le calcul différentiel et intégral que Newton et Leibniz érigeront en une des plus fécondes théories mathématiques établies jusque là. Wallis fut en Angleterre un des pionniers en la matière. En France, les premiers travaux sur les tangentes aux courbes peuvent être attribués à Pascal qui parlait de touchantes; on peut également citer, vers la fin du siècle, le marquis de l'Hospital.

L'exemple le plus élémentaire d'une tangente à une courbe sont les tangentes à un cercle : elles touchent le cercle sans le "couper". La normale en un point d'un cercle est la perpendiculaire à la tangente en ce point et passe par le centre du cercle.

  Tangente au cercle :

Taux d'accroissement et dérivée d'une fonction, tangente et normale en un point :

Au 18è siècle, d'Alembert ne se satisfait pas du concept d'infiniment petit de Newton et Leibniz, notion effectivement assez floue et pouvant entraîner de grosses erreurs dès lors qu'on estime pouvoir négliger des parties infinitésimales : infiniment petites.

Calcul différentiel selon  l'Encyclopédie de Diderot et d'Alembert :

On doit ainsi à d'Alembert la définition d'un nombre dérivé en tant que valeur limite, lorsque y est fonction f de x, d'un taux d'accroissement, sous la forme équivalant de nos jours à :

Toutefois, R n'est pas encore construit et il faudra attendre Weierstrass pour une définition rigoureuse du concept de limite.

  En posant h = Δx (accroissement de x) et Δy = f(x + h) - f(x), accroissement correspondant de f entre x et x + Δx, le nombre dérivé apparaît comme la limite de Δy/Δx lorsque Δx tend vers 0, ce qui conduit souvent à introduire "un peu rapidement" la différentielle par (x) = df/dx au prétexte qu'un Δx et un Δy "très petit" (infinitésimal) s'écrivent respectivement dx et dy. Ce n'est pas vraiment exact... :

 Différentielle & application linéaire tangente :                    Notion de limite selon d'Alembert :

On apprend au lycée que le taux d'accroissement, d'une fonction f sur un intervalle J = [a;b] de son ensemble de définition est l'accroissement de f sur cet intervalle ramené à une unité (taux) d'abscisse, soit :

Ainsi, en notant (C)  la courbe représentative de f, on reconnaît là la pente, ou coefficient directeur d'une sécante (AB) à la courbe (C) : passant par les point A(a;f(a)) et B(b;f(b)).

Par suite, le nombre dérivé en x est la valeur limite, quand elle existe, lorsque h tend vers 0, des pentes des sécantes (s) coupant la courbe en deux points d'abscisses respectives x et x + h. La sécante (s) devient alors la tangente (T) en M(x,f(x)) :

Si f est dérivable en un point x, le nombre dérivé en x est le coefficient directeur de la tangente
en M(x, f(x)) à la courbe représentative de f

C'est à Lagrange que l'on doit la notation f '(x) pour désigner cette limite, définissant ainsi la fonction dérivée et à Lhuillier l'abréviation lim allégeant la rédaction des calculs d'analyse.

  On appelle normale à une courbe en un point, la perpendiculaire à la tangente en ce point.

Calcul approché d'un nombre dérivé :                      Fonction dérivée n-ème :    

Équation de la tangente et de la normale dans les cas cartésiens y = f(x)  ou f(x,y) = 0 (équation implicite)

Cas d'une fonction explicite y = f(x) :

Lorsqu'une courbe (C) est définie par son équation cartésienne de la forme y = f(x), les considérations précédentes permettent d'affirmer que si f est dérivable en xo, alors (C) admet une tangente au point M(xo,yo) qui a pour équation :

y - yo = y'o(x - xo ou bien :  y = y'o(x - xo) + yo     avec y'o = f '(xo)

Équation de la normale :   

D'une façon générale, dans un repère orthonormé, l'équation d'une droite (d) passant par M(xo,yo) peut être écrite sous la forme  :

a(x - xo) = b(y - yo) , un vecteur directeur étant alors u(b;a).

v(-a;b) dirige alors la normale : en effet, le produit scalaire u.v est alors nul. Dans le cas présent nous avons u(1,y'o) donc v(-y'o,1) dirige la normale. En résumant :

Tangente en Mo  :  y'o(x - xo) = y - yo  ,   Normale en Mo  :  x - xo  = - y'o(y - yo)

Tangente et inflexion d'une courbe y = f(x) :

Cas d'une fonction implicite f(x,y) = 0:   

La différentielle de f est :

Mais f est identiquement nulle, donc df = 0. On applique le résultat ci-dessus y - yo = y'o(x - xo) où y'o n'est autre que dy/dx. Par conséquent dy/dx = - ∂f/∂x ÷ ∂f/∂y. L'équation de la tangente est alors (les dérivées partielles étant calculées en (xo,yo) :

 (x - xo)∂f/∂x + (y - yo)∂f/∂y  = 0

Si la différentielle de f est nulle en M(xo,yo), il peut s'agir d'un point double ou d'un point de rebroussement : ce cas est envisagé plus avant.

Tangente et point double ou d'inflexion d'une courbe f(x,y) = 0 :

Exemple d'étude de la tangente dans le cas implicite : soit la courbe d'équation f(x,y) = y + x3y3 - 2x2 = 0 Calculer ∂f/∂x et ∂f/∂x. En déduire les équations des tangentes en x = 1 et x = - 1.On devra trouver y = x/3 + 2/3 et y = -x - 5/2. Ce que confirme le logiciel Graphmatica (remarquable et gratuit !) :

On notera que le cas explicite y = f(x) se ramène au cas implicite en posant y - f(x) = 0. Cette remarque peut s'avérer utile lorsque, connaissant un résultat applicable directement au cas implicite, on souhaite l'utiliser dans un contexte explicite.

Cas des coniques :                       Théorème des fonctions implicites :

Équation de la tangente et de la normale dans le cas paramétrique x = f(t) , y = g(t) :

Dans le cas d'une courbe paramétrée par x = f(t) et y = g(t), f et g étant supposées continument dérivables sur l'intervalle d'étude, sauf peut-être en des points isolés, la limite du taux d'accroissement Δy/Δx en un point M(x,y), correspondant à une valeur to du paramètre, peut s'écrire :

L'équation de la tangente est donc :

(x - xo)g'(to) = (y - yo)(to)

ou encore :

xg'(to) - y(to) = xog'(to) - yo(to)

Cas singuliers :     

 Points stationnaires d'une courbe paramétrée

Équation de la normale :    

Comme dit dans le cas cartésien, si l'équation de la tangente est a(x - xo) = b(y - yo) , un vecteur directeur est alors u(b;a) et v(-a;b) firige la normale (en repère orthonormé). Dans le cas présent nous avons u((to),g'(to)) donc v(-g'(to),(to)) dirige la normale. En résumant :

Tangente en Mo  :  g'(to)(x - xo) = (to)(y - yo)  ,   Normale en Mo  :  (to)(x - xo) = -g'(to)(y - yo)

Équation de la tangente et de la normale dans le cas polaire r = f(θ) :

On peut se ramener au cas paramétrique en posant x = r.cosθ et y = r.sinθ. Dans les cas ordinaires, on vérifiera facilement, en procédant comme précédemment, que si r' désigne f '(θ), le coefficient directeur de la tangente est :

Mais cette formule est généralement peu pratique, mieux vaut calculer x'(θ) et y'(θ) :

Exemple :  

Un résultat intéressant :  

On sait que dans un repère orthonormé, le coefficient directeur m d'une droite est égal à la tangente de l'angle que fait cette droite avec l'axe (Ox) des abscisses. Soit Φ l'angle de la tangente au point M considéré avec le rayon vecteur OM d'axe polaire θ. On a :

Dans la formule exprimant m ci-dessus, divisons les numérateur et dénominateur du second membre par r'.cosθ et identifions les deux formules exprimant m :

Pages rattachées :

Différentielle et application linéaire tangente :


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