ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

GOURSAT Édouard Jean-Baptiste, français, 1858-1936

Après des études secondaires à Brive (Corrèze), Goursat "monte" à Paris et sera élève au lycée Henri IV. A sa sortie de l'ENS (École normale supérieure), agrégé de mathématiques (1879, Goursat prépare et obtient son doctorat (Sur l'équation différentielle linéaire qui admet pour intégrale la série hypergéométrique, 1881) et enseigne alors à la faculté des sciences de Toulouse, proche de sa région natale (le Lot).

Quatre ans plus tard, Goursat enseignera à l'ENS, à l'École polytechnique (1896), puis à la Sorbonne où il obtient une chaire de calcul différentiel et intégral (1897) succédant à Picard. Il entrera à l'Académie des sciences en 1919.

Parallèlement aux travaux de Volterra et de Élie Cartan, ses recherches et son enseignement porteront sur les équations aux dérivées partielles, l'intégration des formes différentielles (généralisation des formules de Stockes), les équations intégrales dans le cadre des espaces fonctionnels de Hilbert. Il est aussi l'auteur d'un important mémoire sur les intégrales hyperelliptiques. Considéré comme un des grands "analystes" du 20è siècle. On doit à Goursat de nombreux mémoires et traités dont ses Leçons sur l'intégration des équations aux dérivées partielles du second ordre (1896-98) et son Cours d'analyse mathématique (entre 1902 et 1905).

La notion d'équation aux dérivées partielles :                    Formes différentielles exactes ou non et intégration :

Goursat compléta un résultat de Cauchy sur les fonctions holomorphes (1883) :

Afin de prouver son théorème selon lequel :

Si f est une fonction complexe holomorphe sur un domaine simplement connexe D, alors pour toute courbe simple (sans point double), rectifiable et fermée (c) incluse dans D, l'intégrale de f est nulle :

Cauchy utilisa la condition de continuité de la fonction dérivée de f. Goursat prouva le même théorème en n'utilisant que la seule existence de f ' (et la continuité de f) en tout point du domaine simplement connexe contenant (c). En 1900, Goursat établit d'ailleurs que :

 Si f est dérivable en tout point d'un ouvert U du plan complexe, alors sa dérivée est continue sur U

Preuve de la  formule intégrale de Cauchy :                Morera

Pour en savoir plus :

  1. La preuve de Goursat avec des chemins rectangulaires comme le fit Goursat : Calcul différentiel complexe,
    par Daniel Leborgne, Que sais-je n°2560, Presses Universitaires de France.
  2. La preuve de Goursat avec des chemins triangulaires : Sur Google books : Complex analysis par John H. Mathews, Russell W. Howell : http://books.google.fr/books?id=JZeO6VTRaIsC&printsec=frontcover&source=ad...
    En cas de difficulté d'accès, clic on this link : ..\pdf\CauchyGoursatTheorem.pdf
  3. La thèse de Goursat, "Sur l'équation différentielle linéaire qui admet pour intégrale la série hypergéométrique" :
    http://archive.numdam.org/article/ASENS_1881_2_10__S3_0.pdf
  4. Des publications de Goursat numérisés sur Numdam : http://www.numdam.org/search?q=Goursat+a
  5. Propriétés des fonctions holomorphes, cours de Pierre Puiseux (univ. Pau) :
    http://web.univ-pau.fr/~puiseux/enseignement/cours/analyseComplexe/6-proprietes.pdf
  6. Théorie des fonctions algébriques et de leurs intégrales (Appell - Goursat), édition de 1929 (BnF) :
    http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k92705z.image.f2


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