ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges
Étude d'une fonction polynôme du 4ème degré niveau Ter
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degré 5 |
On pose pour tout x réel :
1°. Calculer f '(x) et f ''(x). Étudier les variations de f ' afin d'en déduire que cette fonction dérivée ne s'annule qu'une fois sur R en une valeur α de l'intervalle ]½,1[. Préciser le signe de f '.
2°. Calculer α à 0,001 près en s'inspirant de la méthode des pas décimaux.
3°. Dresser le tableau de variation de f. Préciser ses limites pour x infini et les valeurs de ses extrema.
4°. Représenter les variations de f en faisant un choix pertinent des unités en x et en y. On note (C) la courbe obtenue.
5°. Justifier, au vu des variations, de f que l'équation f(x) = 0 ne possède que 2 solutions réelles. Donner une approximation de la solution strictement positive à 0,0005 près.
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| Solution : |
1° & 2°. En tant que polynômes, f et f ' sont continûment dérivables sur R tout entier : f '(x) = 4x3 - 2x - 1 et f ''(x) = 12x2 -2. Cette dernière fonction s'annule en x = ± 1/√6 et est négative dans l'intervalle de ses zéros.
f '(-1/√6) = 2/3√6 - 2/√6 - 1 < 0. On en déduit le sens de variation et le signe de f '. La continuité de cette dérivée, sa stricte croissance sur ]-1/√6,+∞[ et sa positivité en x = 1. Le théorème des valeurs intermédiaires permet d'affirmer l'existence d'un seul zéro α de f ' sur l'intervalle ]1/√6,+1[.
Représentation de f '(x)
2°. L'étude précédente conduit aux encadrements suivants :
| f
'(0,5) = -1,5 < 0 f '(1) = 1 > 0 f '(0,8) = -0,55 < 0 f '(0,9) = 0,16 > 0 f '(0,88) = -0,034 < 0 f '(0,885) = 0,0026 > 0 f '(0,884) = -0,0048 < 0 |
0,5 < α < 1 0,8 < α < 1 0,8 < α < 0,9 0,88< α <0,89 0,88 < α < 0,885 0,884 < α < 0,885 |
On peut affirmer que α =
0,885 est une valeur approchée à 0,005 près de la solution
l'équation f '(x) = 0.
Le dernier
calcul permet d'affiner : α =
0,8845 à 0,0005 près.
3°. Du signe de f ', on déduit le sens de variation de f. Ses limites à l'infini sont celles de son monôme de plus haut degré x4, soit +∞. Le minimum absolu est atteint en x = α; sa valeur est -2,05 à 0,01 près.
4°. Ci-dessous, en rouge, la représentation graphique de f ', en bleu celle de f :
5°. Le zéro cherché est "proche" de 1,5. Notons-le z :
| f(1,5) = 0,125 > 0 f(1,4) = -0,216 < 0 f(1,45) = -0,05 > 0 f(1,47) = 0,015 > 0 f(1,465) = -0,002 < 0 f(1,466) = 0,001 >0 |
1,4 < z < 1,5 1,45 < z < 1,47 1,465 < z < 1,47 1,465 < z <1,466 |
On peut affirmer que z = 1,4655 est une valeur approchée à 0,0005 près de la solution l'équation f (x) = 0 au voisinage de 1,5.