ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Étude d'une fonction polynôme du 4ème degré      niveau Ter     degré 5

On pose pour tout x réel :

f(x) = x4 - x2 - x - 1

1°. Calculer f '(x) et f ''(x). Étudier les variations de f ' afin d'en déduire que cette fonction dérivée ne s'annule qu'une fois sur R en une valeur α de l'intervalle ]½,1[. Préciser le signe de f '.

2°. Calculer α à 0,001 près en s'inspirant de la méthode des pas décimaux.

3°. Dresser le tableau de variation de f. Préciser ses limites pour x infini et les valeurs de ses extrema.

4°. Représenter les variations de f en faisant un choix pertinent des unités en x et en y. On note (C) la courbe obtenue.

5°. Justifier, au vu des variations, de f que l'équation f(x) = 0 ne possède que 2 solutions réelles. Donner une approximation de la solution strictement positive à 0,0005 près.

Si vous séchez après avoir bien cherché :


© Serge Mehl - www.chronomath.com

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Solution :

1° & 2°. En tant que polynômes, f et f ' sont continûment dérivables sur R tout entier : f '(x) = 4x3 - 2x - 1 et f ''(x) = 12x2 -2. Cette dernière fonction s'annule en x = ± 1/6 et est négative dans l'intervalle de ses zéros.

f '(-1/6) = 2/36 - 2/6 - 1 < 0. On en déduit le sens de variation et le signe de f '. La continuité de cette dérivée, sa stricte croissance sur ]-1/6,+[ et sa positivité en x = 1. Le théorème des valeurs intermédiaires permet d'affirmer l'existence d'un seul zéro α de f ' sur l'intervalle ]1/6,+1[.


Représentation de f '(x)

2°. L'étude précédente conduit aux encadrements suivants :

f '(0,5) = -1,5 < 0
f
'(1) = 1 > 0           
f
'(0,8) = -0,55 < 0           
f
'(0,9) = 0,16 > 0
f
'(0,88) = -0,034 < 0
f
'(0,885) = 0,0026 > 0
f
'(0,884) = -0,0048 < 0 
 
0,5 < α < 1
0,8 < α < 1
0,8 < α < 0,9
0,88< α <0,89
0,88 < α < 0,885
0,884 < α < 0,885

On peut affirmer que α = 0,885 est une valeur approchée à 0,005 près de la solution l'équation f '(x) = 0.
Le dernier calcul permet d'affiner : α = 0,8845 à 0,0005 près.

3°. Du signe de f ', on déduit le sens de variation de f. Ses limites à l'infini sont celles de son monôme de plus haut degré x4, soit +. Le minimum absolu est atteint en x = α; sa valeur est -2,05 à 0,01 près.

4°. Ci-dessous, en rouge, la représentation graphique de f ', en bleu celle de f :

5°. Le zéro cherché est "proche" de 1,5. Notons-le z :

f(1,5) = 0,125 > 0
f(1,4) = -0,216 < 0
f(1,45) = -0,05 > 0           
f(1,47) = 0,015 > 0           
f(1,465) = -0,002 < 0
f(1,466) = 0,001 >0
 
1,4 < z < 1,5
1,45 < z < 1,47
1,465 < z < 1,47
1,465 < z <1,466
 

 

On peut affirmer que z = 1,4655 est une valeur approchée à 0,0005 près de la solution l'équation f (x) = 0 au voisinage de 1,5.


© Serge Mehl - www.chronomath.com