ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Étude d'une fonction polynôme du 5ème degré      niveau Ter      degré 4

On pose pour tout x réel :

f(x) = 12x5 - 75x4 + 100x3 +150x2 - 360x

1°. Calculer f '(x) et constater que x = ±1 en sont manifestement des zéros.

2°. Montrer par division ou par identification que f '(x) = 60(x2 - 1)(x - 2)(x - 3). Étudier le signe de f '(x).

3°. Dresser le tableau de variation de f. Préciser ses limites pour x infini et les valeurs de ses extrema.

4°. Représenter les variations de f en faisant un choix pertinent des unités en x et en y. On note (C) la courbe obtenue.

5°. Calculer f '' et vérifier que f ''(x) = 0 0,8x3 = 3x2 - 2x - 1. En remarquant que 3x2 - 2x - 1 = (x - 1)(3x + 1), justifier brièvement par un graphique approximatif au voisinage de l'intervalle [-1,0] que f '' admet un zéro simple négatif sur cet intervalle dont l'image par f est un point d'inflexion de la courbe (C).

6°. Justifier, au vu des variations, de f que l'équation f(x) = 0 ne possède que 3 solutions réelles. Donner une approximation de la solution strictement positive à 0,005 près.

Si vous séchez après avoir bien cherché :


© Serge Mehl - www.chronomath.com

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Solution

1° & 2°. En tant que polynôme, f est continue dérivable sur R tout entier et f '(x) = 60x4 - 300x3 + 300x2 + 300x - 360. On a effectivement f '(1) = f '(-1) = 0, on peut donc mettre (x - 1)(x + 1) = x2 - 1 en facteur dans f '(x) :

f '(x) = (x2 - 1)(ax2 + bx + c)

Par identification : on obtient des x4 en multipliant x2 par ax2 : donc a = 60. On obtient des x3 en multipliant x2 par bx, donc b = -300 et on obtient des constantes en multipliant -1 par c, donc c = 360. On vérifie en identifiant les x : -1 fois b doit égaler 300 : c'est juste.

On peut aussi procéder par division :

Ainsi : f '(x) = (x2 - 1)(60x2 - 300x + 360) = 60(x2 - 1)(x2 - 5x + 6). On cherche les zéros de x2 - 5x + 6; le discriminant est 1; les racines sont 2 et 3. Finalement :

f '(x) = 60(x2 - 1)(x - 2)(x - 3)

3°. Le signe de f '(x) est celui de (x2 - 1)(x - 2)(x - 3). On utilise la règle du signe du trinôme. Le monôme de plus haut degré de f est impair, par conséquent ses limites à l'infini sont celles de 12x5, c'est à dire l'infini avec le signe de x. La tangente à la courbe est parallèle à l'axe (x'x) en x = -1 (maximum local de valeur 323), en x = -1 (minimum local de valeur -173), x = 2 (maximum local de valeur -136) et en x = 3 (minimum local de valeur -189).

4°. On choisit 2 cm pour 1 unité en abscisse et 2cm pour 100 unités en y. Le graphique a l'allure suivante :


 

5°. f ''(x) = 240x3 - 900x2 + 600x + 300. Par conséquent f ''(x) = 0 0,8x3 = 3x2 - 2x - 1. au voisinage de -0,5, la cubique x0,8x3 croit strictement et rencontre la parabole x3x2 - 2x - 1 strictement décroissante et s'annulant en -1/3. Le zéro de f '' est donc unique et ce polynôme change donc de signe en s'annulant : cela correspond alors à un point d'inflexion de (C) dont on peut donner l'abscisse : proche de -1/3.

6°. Sur l'intervalle [3,4], f est continue et strictement croissante. f(3) < 0 et f(4) > 0, par conséquent, en vertu du théorème des valeurs intermédiaires, f s'annule une seule fois entre x = 3 et x = 4. Soit z le zéro cherché, on procède ici par dichotomie, la fonction étant programmée sur une calculatrice :  si a < z < b, on calcule f(c), c = (a + b)/2 en se limitant à 3 décimales, à 0,005 près :

f(3,5) = -87,06 < 0
f(3,75) = 100,19 > 0           
f(3,625) = -9,72 < 0           
f(3,685) = 38,53 > 0
f(3,655) = 13,42 >0
f(3,640) = 1,60 >0
f(3,630) = -5,99 < 0 
 
3,5 < z < 3,75
3,625 < z < 3,750
3,625 < z < 3,685
3,625 < z <3,655
3,625 < z < 3,640
3,630 < z < 3,640

f(3,63) = -5,99 < 0
f(3,64) = 1,6089 > 0

 

On peut affirmer que z = 3,635 est une valeur approchée à 0,005 près de la solution strictement positive de l'équation f(x) = 0.

La méthode dichotomique a des vertus certaines au niveau d'une programmation logique sur ordinateur ou calculatrice programmable mais peut paraître assez pénible "à la main". On peut cependant gagner du temps en remarquant que f(3,625) est "proche" de zéro relativement aux autres valeurs essayées. On calcule alors f(3,63) = -5,99 < 0 puis f(3,64) = 1,6 > 0 : z est donc compris entre 3,63 et 3,64. L'erreur maximale est inférieure à 0,01, d'où z = 3,635 à 0,005 près. Cette approche est la méthode par pas décimaux.


© Serge Mehl - www.chronomath.com