ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Solutions d'exercices divers #1           #2 | #3

Vous trouverez ici les solutions d'une grande partie des exercices rencontrés dans l'ensemble des pages de ChronoMath repérés par le petit logo indiquant un exercice d'application d'un résultat ou d'une définition. Des exercices ou problèmes plus élaborés peuvent être consultés à partir de la page d'accueil du site, rubrique EXOS CLG/LYC/SUP.

 
Calculer M2, M3; En déduire une conjecture sur l'expression de Mn. Vérifier par récurrence 

 On calcule facilement A2 et A3 :

et on conjecture que An est de la forme :

Ce que l'on vérifie par récurrence en calculant An+1 = AnA en effectuant le produit :


 


 

On pose B = A - I où I désigne la matrice unité d'ordre 3. Calculer B2 et B3; en déduire An

 On constate que tous les éléments de B2 sont nuls à l'exception du 1er élément de la colonne 3 et B3 = 0, matrice nulle. On a A = B + I et B commute avec I, matrice unité; par suite, on peut appliquer la formule du binôme au calcul de An = (B + I)n :

An = Bn + Cn1Bn-1 + Cn2Bn-2 + ... + Cnn-3B3 + Cnn-2B2 + Cnn-1B + I

Mais toutes les puissances de B sont nulles dès la troisième; il reste donc :

An = Cnn-2B2 + Cnn-1B + I = ½n(n - 1)B2 + nB + I


 


    f et g désignant deux endomorphismes, montrer que toute valeur propre non nulle de f o g est aussi valeur propre de g o f

Notons x un vecteur propre de f o g associé à la valeur propre non nulle λ. On a (f o g)(x) = f(g(x) = λx.
D'où (g
o f)(g(x) = g(f(g(x)) = g(λx) = λg(x). Le vecteur g(x) est non nul : sinon (f o g)(x) = λx = f(g(x)) = f(0) = 0, ce qui impliquerait λ = 0 puisque x est on nul en tant que vecteur propre de f o g. Par conséquent, λ est valeur propre de g o f, de vecteur propre associé g(x).
 


   Montrer que la fonction f(x) = (sin x)6 admet x6 - x8 comme développement limité d'ordre 8 au voisinage de 0

 On sait que, pour tout x, sin x = x - x3/3! +x5/5! - x7/7! + ... On peut donc écrire sin x = x - x3/6 + o(x3).
Ainsi (sin x)6 = (x - x3/6 + o(x3)]6. On applique la formule du binôme au calcul de (x - x3/6)6 en tronquant le calcul à l'ordre 8.     notation o(x
n)

On a limité (!) le développement limité de sin x à l'ordre 3 car au-delà, les produits de la formule du binôme fourniront au moins du degré 10.

(x - x3/6)6 = x6 - C61x5x3/6 - C62x4(x3)2 + ... : le 3ème terme est (déjà) de degré 10. Par suite :

(x - x3/6)6 = x6 - C61x5x3/6 + o(x8), soit :

(sin x)6 = x6 - x8 + o(x8)
 


  Montrer que la fonction g(x) = ln(cos x) admet -x2/2 - x4/12 comme développement limité d'ordre 4 au voisinage de 0

On a :

g est infiniment dérivable en 0; les conditions d'application de la formule de Taylor sont vérifiées et on peut alors écrire :

ln(cos x) = -x2/2 - x4/12 + o(x4)              notation o(xn)
 


  Prouver par récurrence la formule ci-dessus : 13 + 23 + ... + n3 = (1 + 2 + ... + n)2

On a :

La formule semble bien fonctionner ! Procédons par récurrence en posant :

P(n) = « 13 + 23 + ... + n3 = (1 + 2 + ... + n)2 »

et tentons d'établir P(n + 1) : « 13 + 23 + ... + n3 + (n + 1)3 = [1 + 2 + ... + n + (n +1)]2 ».

On peut écrire :

13 + 23 + ... + n3 + (n + 1)3 = [13 + 23 + ... + n3] + (n + 1)3 = (1 + 2 + ... + n)2 + (n + 1)3

P(n + 1) sera établie si [1 + 2 + ... + n + (n +1)]2 - (1 + 2 + ... + n)2 = (n + 1)3. Le premier membre est une différence de carrés; or a2 - b2 = (a + b)(a - b). Par suite, sachant que 1 + 2 + ... + n = n(n + 1)/2 , notre différence est égale à :

[2(1 + 2 + ... + n) + (n + 1)](n + 1) = [n(n + 1) + (n + 1)](n + 1) = (n + 1)3

P(n + 1) est donc établie et la formule étant vérifiée pour n = 1, elle l'est donc pour tout n.
 


 
Quelle est nécessairement la constante d'un carré magique normal ?

Le carré magique étant normal, tous les nombres de 1 à n2 apparaissent exactement une fois; il y a n x n = n2 cases; la somme des nombres utilisés est donc celle des n2 premiers entiers naturels, soit :

1 + 2 + ... + n2 =  n2(n2 + 1)/2         Nicomaque

Chaque ligne (ou colonne doit avoir la même somme, constante du carré, cette dernière est donc  n(n2 + 1)/2. Par exemple, le carré magique normal (il est même diabolique...) d'ordre 4 ci-dessous a pour constante 4 x (16 + 1)/2 = 34 :


 


  Le nombre de candidats à un concours de la fonction publique a évolué de la façon suivante :
 

Année

1997

1998

1999

2000

2001

2002

2003

Nombre de candidats

1170

1139

1023

980

942

847

716


a) Représenter le nuage de points M(xi,yi) où xi est le rang de l'année (xo = 0 pour 1997)
et yi le nombre de candidats correspondant.
b) Ajuster linéairement le nuage par la méthode de Mayer
c) Quel est le nombre prévisible de candidats pour l'année 2004 ? Remarque ? 

On peut mettre le tableau statistique sous la forme :
 

Année 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003
Rang de l'année xi 0 1 2 3 4 5 6
Nombre de candidats yi 1170 1139 1023 980 942 847 716

a) et b) On regroupe les points en deux points moyens G1 et G2 : les 4 premiers en G1 (1,5 ; 1078) et les 3 derniers en G2 (5 ; 835). La droite de Mayer (G1G2) a alors pour équation y = -69,4x + 1182 (la valeur du coefficient directeur est une approximation à 0,1 près).

c) En admettant que l'ajustement par la droite de Mayer est acceptable, le nombre prévisible de candidats pour l'année 2004 (rang 8) devrait être théoriquement égal à y = -69,4 7 + 1182 = 696,2 : c'est à dire de l'ordre de 700 candidats.

Cependant, on constate que le dernier point (année 2003) est assez éloigné de la droite d'ajustement. Ce qui incite à penser que la linéarité décroissante des candidats s'est gravement accentuée en 2003 : c'est dire que l'ajustement n'est pas fiable (trop optimiste) et qu'une étude plus poussée devrait être entreprise par exemple un ajustement polynomial par la méthode des moindres carrés : un ajustement du second degré fournit une prévision de seulement 630 candidats (y = -4,58x2 - 44,89x + 1168) . Le coefficient de corrélation linéaire reste cependant élevé : 0,984, ce qui n'est pas étonnant car seul le dernier point semble être l'intrus...


 Prouver que si (programme bis), dans le cas impair, on remplace : tripler et ajouter 1 par simplement ajouter 1, soit :
        if (n%2 == 0) {n = n/2} else {n = n + 1} alors l'algorithme converge encore vers 1 en finissant également par 4 - 2 - 1.

Quel que soit le rang de l'itération de l'algorithme, on est en présence d'un entier de la forme n = 2k (cas pair) ou n = 2k - 1 (cas impair) avec k entier au moins égal à 1.

Ainsi, partant d'un entier n, on est assuré, en 1 ou 3 itérations, de poursuivre avec un entier p au plus égal à (n + 1)/2 < n.
La suite de ces entiers p est donc strictement décroissante et minorée par 1.

Par suite au bout d'un nombre fini d'itérations, on atteint 1. En effet, si la limite 1 n'est pas atteinte, alors elle vaut L > 1. L'entier L est pair ou impair. Si L est pair, on peut le diviser par 2 : contradiction, la limite n'est pas atteinte. Si L est impair, alors L + 1 est pair et (L + 1)/2 < L puisque L > 1 : contradiction encore, la limite n'est pas atteinte.

Ainsi, 1 est bien atteint. Mais ce 1 ne peut provenir d'une forme n + 1, donc il provient de n/2, donc de 2. Ce 2 ne peut pas non plus provenir d'une forme n + 1 (il proviendrait alors de 1), donc il provient d'une forme n/2, donc de 4 : la fin de l'algorithme est bien en 4 - 2 - 1.

Un 4 peut provenir de 8 (n/2) ou de 3 (n + 1), etc. : on peut remonter l'arbre, très vaste, des possibilités...
 


  On lance deux dés non truqués (faces numérotées de 1 à 6). Quelle est la probabilité p d'obtenir un nombre (de 2 chiffres) qui ne soit pas divisible par 3 ?

Passons par l'événement contraire; le nombre obtenu est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est multiple de 3 : donc 3, 6, 9 ou 12.

Les couples "favorables sont  : (1,2), (2,1), (1,5), (5,1), (2,4), (4,2), (3,3), (6,3), (3,6), (5,4), (4,5), (6,6). La probabilité d'obtenir un nombre divisible par 3 est donc 12/36 = 1/3 et la probabilité cherchée est 1 - 1/3 = 2/3.


  Quelle est la probabilité p de rencontrer dans une classe de 24 élèves, au moins deux bambins nés le même jour, en admettant l'équiprobabilité des naissances chaque jour de l'année et ce quelle que soit l'année (365 jours) ?

Passons par l'événement contraire : les élèves sont nés à des jours différents. On peut considérer la classe comme une liste classée arbitrairement :

Le nombre de cas possibles de la situation est 365365365...365 = 36524 : chacun peut naître un jour quelconque de l'année.

Nombre de cas "favorables" : 365 jours s'offrent au 1er de la liste, 364 pour le second, ce qui fait donc déjà 365364 cas. On poursuit jusqu'au 24è élève. Ce qui nous fera alors 365364363...342 cas.

 Vu l'équiprobabilité des éventualités, la probabilité de l'événement contraire est alors 365364363...342 divisé par 36524. On peut calculer ce nombre avec une calculatrice ou un tableur, ce qui fournit sensiblement 0,46. On pourra aussi remarquer  que 365364363...342 s'interprète comme un arrangement de 365 objets pris 24 à 24 et utiliser le programme en ligne à la page Pascal fournissant A(365,24) = 1,443268...1061.

On a donc :

p = 1 - 365364363...342 / 36524 1 - 0,46 = 0,54


Soit ω un entier naturel non nul. On pose Ω = [1, 2, 3, ..., ω, ω+1, ..., ω!] N, ω! désignant la factorielle de ω. Soit d un entier premier, d ω et nΩ. Calculer la probabilité de l'événement « d divise n ».

d divise n si n est un multiple de d. L'entier d étant premier, ces multiples sont d, 2d, 3d, ..., kd où k est le plus grand entier tel que kd ω! Mais d ω, donc d divise ω! finalement k = ω!/d et la probabilité cherchée est p = Card{d, 2d, 3d, ..., kd}/CardΩ = k/ω! = 1/d.


  On suppose que les probabilités de naissance d'une fille ou d'un garçon sont les mêmes (en fait, un peu plus de garçons : 52%) et qu'il y a indépendance des sexes d'une naissance à l'autre. Dans une famille de quatre enfants, quelle est la probabilité qu'il y ait deux filles et deux garçons ?

La réponse n'est pas 1/2 comme on pourrait le penser un peu rapidement. La mise au monde des quatre enfants suit une loi binomiale de paramètre n = 4 et p = 1/2. En effet, pour ne pas tomber dans le piège sexiste, nous appellerons ici succès l'événement « naissance d'une fille » en s'intéressant à son nombre B d'occurrences.

Il s'agit alors d'une répétition de n = 4 épreuves indépendantes dont la probabilité de réalisation est p = 1/2. On sait que : Pr{B = k} = Cnk x pk x (1 - p)n - k. La probabilité cherchée est Pr{B = 2} : C42 x (1/2)2(1/2)2 = 6/16 = 3/8


  Prouver que la transformée de Laplace de t tn est p n!/pn+1. Préciser la convergence

On procède par récurrence et intégration par parties. Si n = 1 :

La convergence a lieu si et seulement si p > 0 : dans ce cas, dans le crochet, te-pt = t/ept tend vers 0. La dernière intégrale converge vers 1/p et finalement :

Pour n = 2, une double intégration par parties conduit (avec p > 0) à :

Pour n au moins égal à 1, Supposons vraie la formule :

On a :

C.Q.F.D.


   Prouver que la transformée de Laplace de t eat est  p 1/(p - a). Préciser la convergence. (on supposer ici a et p complexes)

Il s'agit de calculer l'intégrale de eate-pt (a et p réels ou complexes) sur [0,+[, c'est à dire celle de e(a - p)t, c'est à dire :

Si z est complexe et z = x + iy, ez = ex x eiy. Le nombre eiy = cosy + i.siny est borné : son module est 1.
Dans notre cas, si a - p est complexe, on voit que l'intégrale sera convergente si et seulement si
Re(a - p) < 0 (partie réelle de a - p). La transformée de Laplace sera alors p 1/(p - a).
 


 

Poser et intégrer par parties :

On a F(0) = 0 et, si p (resp. la partie réelle de p dans le cas complexe) est positif (resp. positive), alors le terme tout intégré est nul et LF(p) = Lf(p)/p. Le domaine de convergence est celui de Lf.
 


 Prouver que la transformée de Laplace de t f(at) (a > 0) est p Lf(p/a)/a

Poser u = at. On a :

D'où L(t f(at)) = Lf(p/a)/a. La convergence est assurée lorsque p/a est élément du domaine de convergence de Lf.
 


  On note R1[x], l'ensemble des polynômes unitaires (le coefficient du monôme de plus haute degré est 1) d'une variable x à coefficients réels.
On dit que a divise b, s'il existe q dans R1[x] tels que pour tout x, b(x) = a(x)q(x).
Montrer que l'on définit ainsi un ordre partiel dans R1[x].

Réflexivité : a R1[x], a non nul, a|a car q(x) = 1 x est élément de R1[x].

Antisymétrie : si a|b et b|a, il existe q et q' dans R1[x] tels que b = aq et a = bq', par suite qq'(x) = 1 x et, dans R1[x], cette égalité implique d°qq' = d°qd°q' = 0 (polynôme constant), donc q et q' sont constants et étant unitaires, il s'agit de q(x) = q'(x) = 1 x, donc a = b.

Transitivité : si a|b et b|c, il existe q et q' dans R1[x] tels que b = aq et c = bq', par suite c = aqq' avec qq'R1[x], donc a|c.


 

La relation est vérifiée pour n = 2. Supposons la formule vraie pour un entier n au moins égal à 2. En remarquant que (n + 1)! = (n + 1)n!, on fera intervenir la formule à l'ordre n notée ici Σ1,n.

Il reste alors à prouver que 1 + n + nΣ1,n = nn! pour obtenir Σ1,n+1. Mais ceci est évident en remplaçant Σ1,n par n! - 1.

 


   Trouver un système d'inéquations minimal (le moins d'inéquations possibles) faisant usage de la valeur absolue et dont les solutions sont les points intérieurs à l'octogone ci-dessous :

    
 

Ces 4 inéquations caractérisent l'octogone : | x | < 2 , | y | < 2 , | x - y | < 3 , | x + y | < 3.
 


   Traduire en notations modernes cet extrait de l'Ars Magna :

             

Réponse : 32x2 + 16 + x4 = 48     et     1x4 + 32x2 + 256 = 48x + 240.
 


Selon une légende (parmi d'autres), l'inventeur du jeu d'échecs aurait demandé comme récompense à son souverain, enchanté par ce jeu, de lui offrir autant de grains de blé que l'on compte sur un échiquier en en mettant 1 sur la première case, 2 sur la seconde, 4 sur la troisième, et ainsi de suite en doublant. Tous les greniers du royaume furent vidés sans pour autant satisfaire notre inventeur. Combien de tonnes de blé seraient nécessaires en admettant un PMG (Poids de Mille Grains) de 45 g ?

Le nombre de grains est 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + ... = 20 + 21 + 22 + 23 +24 + ... + 263 = 1 x (264 - 1)/(2 - 1) = 264 - 1. C'est un nombre énorme : 18 446 744 073 709 551 615. Nous l'arrondissons à 1,845 x 1019.

Cet arrondi se retrouverait en calculant le logarithme décimal de 264, soit 19,26592 = 19 + 0,26592 et cette mantisse correspond à 1,84467, d'où le résultat. Divisons par 1000 et multiplions par 45 (poids en grammes) et convertissons ensuite en millions de tonnes (1 Mt = 1012 grammes), soit 830 250 000 Mt. : c'est effarant, la production mondiale de blé étant (seulement) de l'ordre de 600 Mt en 2004 !
 


 Quelle est la table de vérité de A B ?
 

A

B

AB

BA

A B = (AB et BA)

V

V

V

V

V

V

F

F

V

F

F

V

V

F

F

F

F

V

V

V


  Définir l'inclusion des ensembles au moyen de l'ensemble vide et de la différence d'ensembles :

AB A - B = Ø


Montrer que si B = {b1, b2, ..., bn} A, alors A - B = [A - {bk}], intersection des A - {bk}, k = 1, 2, ..., n .

Vu que B est inclus dans A, pour tout k = 1, 2, ..., n, on a A - {bk} = A{bk}. Selon les lois de Morgan, l'intersection des complémentaires des {bk} dans A est le complémentaire de la réunion des {bk} dans A, c'est à dire le complémentaire de B dans A, c'est à dire A - B.
 


   Montrer que (A | A) | (A | A) et  (A A) (A A) sont équivalentes à A.

Comment s'écrit A et B au moyen de NOR ?         

A B s'écrit A | (A | B). Et avec ?...

 [(A A) B)] [(A A) B)]


 

  1. L'assertion "Tout X est Y" est noté X)Y, au sens des ensembles c'est XY
  2. L'assertion "Aucun X n'est Y" est noté X.Y, au sens des ensembles c'est XY.
  3. L'assertion "Certains X sont Y" est noté XY.     Ne serait-ce pas là le contraire de ...?
  4. L'assertion "Certains X ne sont pas Y" est noté X:Y.   Ne serait-ce pas là le contraire de ...?

Si P(x) est un prédicat énoncé sur x, la négation de « x, P(x) » que l'on peut lire : « quel que soit x, P(x)  est vrai » est l'assertion « x , nonP(x) » que l'on peut lire : « il existe au moins un x pour lequel P(x) est faux ».
 

expressions

ensemble

  1. "Tout X est Y" s'écrit aujourd'hui : xX , xY
  2. "Aucun X n'est Y" s'écrit : xX , xY ou encore xX , xY
  3. "Certains X sont Y" s'écrit : xX , xY
  4. L'assertion "Certains X ne sont pas Y" s'écrit : xX , xY
  1. XY
  2. XY
  3. XY Ø
  4. XY Ø

La négation de 1 est donc 4 et la négation de 2 est 3.

  Un théorème de point fixe : si f est une fonction numérique croissante d'un intervalle [a,b] dans lui-même, alors il existe un réel c de [a,b] tel que f(c) = c.

Si f(a) = a, le résultat est démontré... Sinon, f étant croissante, on a f(a) > a. Notons E l'ensemble des x de [a,b] tels que f(x) > x. L'ensemble E est borné et non vide, il admet donc une borne supérieure m.

Montrons que f(m) = m. Si l'on suppose m < f(m), soit x réel, m < x < f(m). L'application f étant croissante, on a f(m) ≤ f(x) et par suite x < f(x). donc x est élément de E et m < x : incompatible avec m borne supérieure de E. Si l'on suppose maintenant m > f(m), soit x réel, f(m) < x < m. On applique f, ce qui conduit cette fois à f(x) < x. Par suite x n'est pas élément de E : il n'existe aucun élément de E entre f(m) et m. Or, pour tout x de E, on x ≤ m, donc x ≤ f(m) : m n'est pas le plus petit des majorants de E ! En conclusion m = f(m) : l'application f admet c = m comme point fixe.


   Quelle est la négation de :  ε > 0, pN,nN , n > p 1/n < ε  ?

La négation de « ε > 0, pN, nN , n > p 1/n < ε » est :

« ε > 0, pN, nN , n > p, 1/n ε »

Cette négation est fausse : si on choisit p entier tel que 1/p < ε, alors n > p 1/n < ε car 1/n < 1/p (transitivité de la relation d'ordre).
 


   Afin de justifier les insuffisances de la logique bivalente du tiers exclu, Brouwer donna plaisamment l'exemple du voyageur qui se retrouve prisonnier chez des cannibales d'un un pays éloigné. Ses tortionnaires lui proposent de réfléchir à son dernier vœu; cela devra être une phrase sensée et vérifiable par le chef de la tribu : si c'est un mensonge, il sera bouilli, si c'est une vérité, il sera rôti. Après réflexion, notre voyageur sauva sa peau et le chef fut banni car il prit sa place... Pourquoi ?

Le subtil voyageur a pu dire « je serai bouilli » ou « je ne serai pas rôti ».  En effet, s'il dit par exemple « je  serai bouilli », dans la logique du tiers exclu :


   Prouver que toute isométrie du plan admettant 2 points invariants (au moins) est soit l'identité ( id : M M M), soit une symétrie axiale.

Soit f l'isométrie en question, A et B deux points invariants par f, C un point du plan non situé sur [AB]. f étant affine, remarquons déjà que (AB) est une droite de points invariants. Si C est invariant, alors f laisse invariant un repère du plan : f est donc l'identité (application identique id). Supposons maintenant f(C) = D, D distinct de C. f étant une isométrie, on a AC = AD et BC = BD. Par suite, (AB) est la médiatrice de [SD] : f est la symétrie d'axe (AB).
 


  Un bibliothécaire qui classait des annuaires s'aperçut que certains se mentionnaient eux-mêmes et d'autres pas. Il se mit en tête de créer deux nouveaux annuaires : Ann1 qui se mentionnent eux-mêmes, Ann2 qui ne se mentionnent pas eux-mêmes. En feuilletant Ann2, il se demanda où cet annuaire devait se mentionner ?...


   a) Vérifier que la transformée de Fourier de x f(kx) est w 1/| k |F(w/k). On distinguera k > 0 et k < 0.
b) Calculer la transformée de Fourier de la fonction x e-|x|
c) En déduire celle de x e-k|x|, k > 0. Vérifier par un calcul direct.

a) En négligeant ici le rapport 1/2p, la TF de  x f(kx) est l'intégrale sur R de f(kt)e-iwt.
O
n pose alors u = kt.

b) Le calcul est très simple et conduit, en sommant les intégrales sur [-,o] et [o,+], à 2/(w2 + 1), en négligeant là encore le 1/2p.

c)
en négligeant toujours 1/2p, un calcul direct conduit facilement à (k > 0) : 1/(k - iw) + 1/(k + iw) = 2k/(k2 + w2) = 1/kF(w/k).


  Au lancer d'un dé (dont les faces sont numérotées de 1 à 6), on mise 1 euro et il est associé un gain de 1 euro si le 1 ou le 2 apparaît, 5 euros si le 6 apparaît,  un gain nul si le 5 sort et une perte de 1 euro pour les autres cas. La mise n'est pas récupérée. Quelle est l'espérance mathématique de gain ? 

Aux gains bruts, on doit retirer 1 euro. On a alors en gains nets :

Remarquer l'aspect mathématique d'un gain : il peut être négatif et est alors synonyme de perte. On a finalement une espérance de gain :

E = 01/3 - 11/6 - 21/3 + 41/6 = -1/6. L'espérance de gain est négative, de l'ordre de 17 centimes. Cela ne signifie que, en moyenne mathématique théorique, en jouant un grand nombre de fois, votre perte sera de l'ordre de 17 centimes. Mais on peut fort bien gagner plusieurs fois de suite et quitter la table...


  On suppose f positive et décroissante sur I = [a,+[ avec lim f = 0 pour x infini; g est une fonction intégrable et bornée sur tout intervalle fini K de I et vérifiant |g(x)| ≤ M, où M désigne un réel positif indépendant de K. Montrer que dans ces conditions l'intégrale ci-dessous est convergente :

Soit K = [x,x'] un intervalle fermé quelconque de J. Selon la seconde formule de la moyenne applicable ici au vu des hypothèses, il existe u entre x et x' tel que :

soit e > 0 arbitraire, si x est suffisamment grand, on aura f(x) < e/M et le membre de gauche peut être rendu inférieur à e : c'est la condition de Cauchy pour la convergence de l'intégrale généralisée étudiée.


  a/  L'équation ω = ydx + xdy - xydz est-elle exacte ?
b/  Montrer que l'équation ydx + xdy - xydz = 0 est intégrable et l'intégrer. Justifier l'existence d'un facteur intégrant et le calculer.

a/ On applique la CNS pour que la forme proposée soit la différentielle totale d'une fonction f(x,y,z).
On a ici P(x,y,z) = y, Q(x,y,z) = x et R(x,y,z) = -xy. ∂P/∂y = 1 = ∂Q/∂x, ∂Q/∂z = 0 ≠ ∂R/∂y = -x. ω n'est donc pas une forme différentielle exacte.

b/ On peut ici (forme homogène) considérer z comme fonction de x et y en écrivant dz = dx/x + dy/y. On a ∂z/∂x = -P/R = 1/x et ∂z/∂y = -Q/R = 1/y. La première équation fournit z = ln| x | + α(y) : la constante d'intégration dépend de y.
D'où ∂z/∂y = 1/y = α'(y). Par suite z = ln| x | + ln| y | + β(x). En redifférenciant par rapport à x, il vient β(x) = 0.
Finalement z = ln| xy | + C,  C
R.

En dimension 3, l'existence d'un facteur intégrant (x,y,z)k(x,y,z) de ω est soumis à la condition :

Elle est clairement vérifiée : y(-x - 0) + x(0 + y) + xy(1 - 1) = 0. Dès lors k doit vérifier kP = ∂f/∂x,  kQ = ∂f/∂y,  kR = ∂f/∂z. Il apparait que k(x,y,z) = 1/xy et ω1 = kω = dx/x + dy/y - dz apparaît comme la différentielle totale de f(x,y,z) =  z - ln| xy |.


   Concernant l'équation de Kepler : Vérifier que tan j = (1 - e2)½cos e/(cos e- e)

On passe de P à P' par affinité de rapport a/b. On a a2 + b2 = c2 et e = c/a (excentricité). On en déduit alors que b2/a2 = 1 - e2, puis :

tanj = tan^(FA,FP) = - tan^(FH,FP) = - HP/HF = - (HP'b/a)/(OF - OH) = (asineb/a)/(acose- ea)
        = (b/a).sin
e/(cose - e) = (1 - e2)½sine/(cose - e).


 


   Formule de Gibbs : u (v w) = (uw).v - (uv).w 
         Prouver ce résultat en construisant une base orthonormée judicieuse 

Le résultat est trivial si un des vecteurs est nul et très facilement vérifiable si l'un est combinaison linéaire des deux autres.

Lorsque les trois vecteurs sont linéairement indépendants (ils forment une base de l'espace), posons i = u/||u||. Dans le plan vectoriel (u,v), choisissons j normé orthogonal à i et soit k tel que (i,j,k) soit orthonormée directe. On peut écrire v = ai + bj et w = a'i + b'j + c'k. Un petit calcul, utilisant les produits scalaires et vectoriels des vecteurs de base, montre maintenant facilement que u (v w) et (u . w) v) - (u . v) w) sont tous deux égaux à ||u||(a'b - ab')j - ||u||ac'k.

Rappel ( produit vectoriel , produit scalaire) :


  Il n'y a que 3 treillis distributifs pour un ensemble de 5 éléments. Mise à part la chaîne, Quel sont les deux autres?

On n'a guère le choix ! Voici le second :

 

Le troisième sera obtenu en renversant toutes les flèches.
 


  Dans un treillis de Boole, le complémenté est unique.

Si x admet deux complémentés y et z, on aura xy = xz = 0 et xy = xz = 1. On peut écrire y = y1 = y(xy). Par distributivité y = (yx)(yz). Mais yx = xy = 0. donc y = yz. En écrivant z = z(xz), on aurait de même z = zy = yz. Donc y = z.
 


  Prouver que l'ensemble A des automorphismes intérieurs d'un groupe G est un groupe isomorphe au groupe quotient G/C où C désigne le centre de G.        centre d'un magma

Soit * la loi de groupe de G et e son élément neutre. Munissons A de la loi de composition des applications. A est l'ensemble des Ig : x g*x*g-1, g G. Notons f l'application qui à tout g de G associe Ig dans A : f(g) = Ig. On a f(g*g') = Ig*g'.

Or I
g*g'(x) = (g*g')*x*(g*g')-1 = g*(g'*x*g'-1)*g-1 = Ig[Ig'(x)]. Donc Ig*g' = Ig o Ig'. Par suite f(g*g') = f(g) o f(g') et on conclut que f est un homomorphisme de G dans A; par conséquent A est un groupe isomorphe à G/N où N est le noyau de f.

On a f(e) = Ie = id (application identique. Par suite, N = {gG / f(g) = id } = {gG / Ig = id }.
Mais I
g = id g*x*g-1 = x pour tout x de G. En composant par , on voit que N = {gG / g*x = x*g } pour tout x de G : c'est le centre de G.
 


  Vérifier que l'équation paramétrique x = cosu + v.sinu, y = sinu - v.cosu, z = v définit un hyperboloïde à une nappe en  tant que surface réglée pour u et v convenablement choisis. Préciser les génératrices. Trouver une seconde génération.

x = cosu + v.sinu, y = sinu - v.cosu, z = v. Lorsque v décrit R et u l'intervalle [0,2p], on peut écrire :

j(u,v) = f(u) + v.D(u) = (cosu, sinu, 0) + v.(sinu,-cosu,1)

Il s'agit bien d'une surface réglée s'appuyant sur la courbe u f(u) = (cosu, sinu, 0), cercle x2 + y2 = 1 dans le plan (xOy). Les génératrices sont, pour chaque valeur de u, les droites d'équation paramétrique x = v.sinu, y = -v.cosu, z = v.

En changeant 1 en - 1 dans D(u) on obtient un vecteur directeur (sinu,-cosu,-1) linéairement indépendant de (sinu,-cosu,1) mais la surface reste manifestement inchangée : elle possède une seconde famille génératrice.

Selon l'équation initiale, on a, en élevant au carré : x2 + y2 = 1 + v2 = 1 + z2. Donc x2 + y2 - z2 = 1 : il s'agit bien de l'hyperboloïde à une nappe.
 


  Quelles sont les entiers relatifs qui, divisés par 5 et par 3 donnent respectivement les restes 1 et 2 ? 

I - De tels nombres x existent car 3 et 5 sont premiers entre eux. Selon les hypothèses, il existe des entiers relatifs p et q tels que x = 5p + 1 et 5p - 3q = 1. On est ramené à l'identité de Bezout. Mais on peut voir que p = 2 et q = 3 fournit une solution particulière xo = 11. La solution générale est alors x = 11 + 15k où k décrit Z.
 


  Quels sont les entiers n tels que 4n2 + 1 soient multiples de 5 ?

Le problème se ramène à rechercher n tel que 4n2 + 1 0  [5], égalité équivalente à (2n + 1)2 4n  [5]; or Z/5Z est un corps et si, dans ce corps, a2 = 4b, alors b est un carré, par suite n 0, 1 ou 4. n = 5k est manifestement à rejeter; les cas n = 5k ± 1 conviennent.


Déterminer les entiers naturels n tels que 52n + 5n soit divisible par 13.

52 = 25 ≡ -1  [13], donc 54 ≡ 1  [13]. On pourrait chercher n sous la forme 4p + r mais r étant compris entre 0 et 3, ce n'est pas le plus court chemin.

  1. Supposons n pair, n = 2k : 52n = 54k = (54)k ≡ 1  [13]  et  5n = 52k = (52)k ≡ (-1)k  [13]. L'équation donnée est alors équivalente à 1 + (-1)k ≡ 0  [13] qui est vérifiée si et seulement si k est impair. Donc k est de la forme 2p + 1, p entier, donc n = 4p + 2.

  2. Supposons n impair, n = 2k+1 : 52n = 54k+2 = (54)k52 ≡ 1(-1) ≡ -1 [13]  et  5n = 52k+1 = 5(52)k ≡ 5(-1)k  [13]. L'équation donnée est alors équivalente à -1 + 5(-1)k ≡ 0  [13], donc à  ±5 ≡ 1  [13], ce qui est clairement inacceptable.

La réponse est donc l'ensemble des entiers congrus à 2 modulo 4, multiples de 4 augmentés de 2. Noter que cet ensemble contient 2 car 0 est multiple de tout nombre (et diviseur d'aucun !).

  Une autre voie est de factoriser :   52n + 5n = 5n(5n + 1). Remarquer que les nombres 5n et 5n + 1 étant consécutifs, ils sont premiers entre eux, donc 13 doit diviser 5n ou 5n + 1. On montre alors que 13 ne peut diviser 5n, donc 13 divise 5n + 1 et on est ramené aux calculs précédents de l'alinéa 2.


  Déterminer les solutions du système nZ, n ≡ 13 [19] , n ≡ 6 [12].

On rencontre les solutions de cet exercice de bac faisant exclusivement intervenir les congruences au prix de complications inutiles imposées par le sujet. La résolution de systèmes de ce type est pourtant très élémentaire. Par hypothèse, il existe des entiers u et v tels que n = 19u + 13 = 12v + 6. Par différence, on a 12v - 19u = 7.

Or 19 et 12 étant premiers entre eux, on utilise l'identité de Bezout fournissant sans difficulté 128 - 195 = 1.
Ce qui conduit à u = 35 - 12k et v = 56 - 19k et par suite n = 678 - 228k, ce qui peut s'écrire n = 222 - 228k, puisque 678 = 222 + 2228 : . Ou encore, quitte à changer k en - k :

(1)    n = 228k + 222, k décrivant Z

Mais on n'a pas procédé par équivalence : inversement si n = 228k +222 = 1912k + 222 = 228k +222 = 1912k + 1912 - 6. On a donc n -6 13 [19] et n -6 6 [12]. Les solutions sont donc effectivement les n tels que (1).
 


  Proposition XI, livre VII d'Euclide : Si le tout est au tout comme le nombre retranché est au nombre retranché, le nombre restant sera aussi au nombre restant comme le tout est au tout.
Traduire en langage moderne sachant que
a est à b ce que c est à d signifie a/b = c/d.

.     Exemple 6/9  = 4/6, donc 2/3 = 6/9.


  On considère les trois points A, B et C ci-dessous. Calculer les coordonnées du point D afin que, dans cet ordre, ABCD soit un parallélogramme. Calculer les coordonnées du point D' afin que, dans cet ordre, ABD'C soit un parallélogramme.

a/  On a A(1;1), B(4;3) et C(6;2). Dire que ABCD est un parallélogramme revient à écrire AB = DC. On a :

On doit avoir :

6 - x = 3
2 - y = 2

Par conséquent : D(3;0)

b/  nous devons avoir ici AB = CD', ce qui conduit à D'(9;4)


  Dans un espace vectoriel de dimension 3 sur R, rapporté à la base B = (i, j, k), on considère l'application linéaire f qui à tout vecteur v(x, y, z) associe le vecteur v'(x - 2y + z, -x - y + 2z, -x + y). Donner la matrice de f dans la base B.

Dans la base B, on a i(1, 0, 0), j(0, 1, 0) et k(0, 0, 1). On calcule i' = f(i), j' = f(j) et k' = f(k) et on obtient respectivement i'(1, -2, 1) , j'(-1, -1, 2) et k'(-1, 1, 0). La matrice est alors :


  Dans le cadre de la géométrie "du caoutchouc", il est clair que le polyèdre troué de droite est homéomorphe au tore :

Après l'avoir décomposé en polygones ayant deux à deux une arête commune et une seule, dénombrer ses sommets S, ses arêtes A et faces F et montrer que dans ce cas S - A + F = 0 : c'est la caractéristique du tore.

La décomposition ci-dessous en polygones ayant en commun une arête et une seule fournit 16 sommets, 32 arêtes et 16 faces. On a donc S - A + F = 0.


  Exercice dans Z/6Z :Déterminer les entiers naturels n tels que n2 + 2 soit divisible par 6

N étant inclus dans Z, on peut transposer le problème en termes de congruences en recherchant les entiers n tels que n2 + 2 soit congru à 0 modulo 6. en passant dans Z/6Z, on constate que :

n2 + 2 0 [6] n2 4 [6]

Établissons la table des carrés :

x

0

1

2

3

4

5

x2

0

1

4

3

4

1

On déduit de ce tableau que les entiers n cherchés sont de la forme 6k +2 ou 6k + 4. 
Ce qui peut aussi se traduire par n = 6k ± 2.


  L'ensemble totalement ordonné (N,),  soit N = {..., 3, 2, 1, 0} n'est pas bien ordonné. On note w* son ordinal.
Montrer qu'une condition nécessaire et suffisante pour qu'un ensemble ordonné soit bien ordonné est qu'il ne contienne aucune partie d'ordinal w*.

Soit (E,)  un ensemble ordonné.

la condition est nécessaire : Si A est une partie de E d'ordinal w*, alors A n'a pas de 1er élément : c'est contraire à la définition d'un ensemble bien ordonné.

la condition est suffisante : nous devons montrer que si E ne contient aucune partie A d'ordinal w*, alors il est bien ordonné. Prouvons la proposition contraposée : Si E est ordonné mais non bien ordonné, alors E contient une partie d'ordinal w* :

Par hypothèse, E contient une partie A non vide n'ayant pas de plus petit élément. Donc si x1 est un élément de A, il existe un x2 de A, distinct de x1, tel que x2 x1. Mais x2 ne peut pas être le 1er élément de A. Donc, il existe un x3 de A, distinct de x2, tel que x3 x2. On construit ainsi une chaîne infinie  ... x3 x2 x1 dont les éléments constituent une partie de E d'ordinal w*.
 


Résoudre dans R les inéquations :  a)  | 2x + 3 | > 5            b)  | x + 3 |   | 2x - 3 | 

a) Rappelons que sur la droite numérique | A | (valeur absolue de A ) représente la distance de A à O. Par suite :

  | 2x + 3 | > 5  2x + 3 < -5 ou 2x + 3 > 5
                      2x < -8  ou 2x > 2

Les solutions sont par conséquent les nombres x de l'ensemble ]-, -4] ]1,+[.

b)  | x + 3 |   | 2x - 3 | :  l'inéquation | A(x) | | B(x) | peut se résoudre par encadrement ou au moyen d'un tableau. Voir par exemple ici un cas résolu. On donne ici la méthode par encadrement :

Les solutions sont donc les nombres x de l'ensemble ]-, 0] ]6,+[.


 Résoudre dans R, l'inéquation 2x/|x + 1| < x - 1

On doit avoir ici x + 1 non nul puisque ce terme est en dénominateur. | x + 1| étant strictement positif, l'équation donnée est équivalente à 2x <  | x + 1| (x - 1) et il s'agit de distinguer 2 cas suivant que x + 1 est positif ou négatif.

a/ x + 1 > 0, soit : x > -1. On a alors | x + 1| = x + 1, l'inéquation devient 2x < x2 - 1, c'est à dire x2 - 2x - 1 > 0.
On est ramené au signe du trinôme. Les racines de x
2 - 2x - 1 = 0 sont 1 ± 2, ce trinôme est strictement positif les intervalles ]-,1 - 2[ et  ]1 + 2, [. Mais nous avons la condition x > -1; on retiendra par conséquent x]- 1, 1 - 2[]1 + 2, [.

b/ x + 1 < 0, soit : x < -1. On a alors | x + 1| = - x - 1, l'inéquation devient cette fois x2 + 2x - 1 < 0.
Les racines de x
2 + 2x - 1 = 0 sont -1 ± 2, ce trinôme est strictement négatif sur l'intervalle ]-1 - 2, -1 + 2[. Mais nous avons la condition x < -1; on retiendra par conséquent x]-1 - 2, -1[.

Finalement, les solutions sont éléments de l'ensemble ]-1 - 2, -1[]- 1, 1 - 2[]1 + 2, [.

Résolution graphique approchée :          

L'ordinateur a tracé (en noir) la courbe (c) d'équation  y = 2x/| x + 1, en rose la droite d'équation y = x - 1 et, en rouge, la droite d'équation x = -1, asymptote verticale à (c).

L'ensemble des solutions correspond aux valeurs de x pour lesquelles la courbe (c) est "en-dessous" de la droite d'équation y = x - 1. On retrouve sensiblement -1 - 2 -2.4 , 1 - 2 -0.4 et 1 + 2 2.4
 


 Théorème d'Al-Kashi (règle du cosinus) : a2 = b2 + c2 - 2bc.cosÂ

(CH) désignant la hauteur issue de C, dans le cas aigu on a CH = b.sin et dans le cas obtus, CH = b.sin(180° - Â) = b.sinÂ. Par application du théorème de Pythagore, on peut écrire : BC2 = BH2 + CH2.


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