ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

 
Calculer M², M³; En déduire une conjecture sur l'expression de Mⁿ. Vérifier par récurrence 

 On calcule facilement A² et A³ :

et on conjecture que Aⁿ est de la forme :

Ce que l'on vérifie par récurrence en calculant Aⁿ⁺¹ = Aⁿ x A en effectuant le produit :

On pose B = A - I où I désigne la matrice unité d'ordre 3. Calculer B² et B³; en déduire Aⁿ

 On constate que tous les éléments de B² sont nuls à l'exception du 1er élément de la colonne 3 et B³ = 0, matrice nulle. On a A = B + I et B commute avec I, matrice unité; par suite, on peut appliquer la formule du binôme au calcul de Aⁿ = (B + I)ⁿ :

Aⁿ = Bⁿ + C_n¹B^n-1 + C_n²B^n-2 + ... + C_n^n-3B³ + C_n^n-2B² + C_n^n-1B + I

Mais toutes les puissances de B sont nulles dès la troisième; il reste donc :

Aⁿ = C_n^n-2B² + C_n^n-1B + I = ½n(n - 1)B² + nB + I

    f et g désignant deux endomorphismes, montrer que toute valeur propre non nulle de f o g est aussi valeur propre de g o f

Notons x un vecteur propre de f o g associé à la valeur propre non nulle λ. On a (f o g)(x) = f(g(x) = λx. D'où (g o f)(g(x) = g(f(g(x)) = g(λx) = λg(x). Le vecteur g(x) est non nul : sinon (f o g)(x) = λx = f(g(x)) = f(0) = 0, ce qui impliquerait λ = 0 puisque x est on nul en tant que vecteur propre de f o g. Par conséquent, λ est valeur propre de g o f, de vecteur propre associé g(x).
 

   Montrer que la fonction f(x) = (sin x)⁶ admet x⁶ - x⁸ comme développement limité d'ordre 8 au voisinage de 0

 On sait que, pour tout x, sin x = x - x³/3! +x⁵/5! - x⁷/7! + ... On peut donc écrire sin x = x - x³/6 + o(x³). Ainsi (sin x)⁶ = (x - x³/6 + o(x³)]⁶. On applique la formule du binôme au calcul de (x - x³/6)⁶ en tronquant le calcul à l'ordre 8.     notation o(xⁿ)

On a limité (!) le développement limité de sin x à l'ordre 3 car au-delà, les produits de la formule du binôme fourniront au moins du degré 10.

(x - x³/6)⁶ = x⁶ - C₆¹x⁵x³/6 - C₆²x⁴(x³)² + ... : le 3ème terme est (déjà) de degré 10. Par suite :

(x - x³/6)⁶ = x⁶ - C₆¹x⁵x³/6 + o(x⁸), soit :

(sin x)⁶ = x⁶ - x⁸ + o(x⁸)
 

  Montrer que la fonction g(x) = ln(cos x) admet -x²/2 - x⁴/12 comme développement limité d'ordre 4 au voisinage de 0

On a :

• g(0) = ln(cos 0) = ln(1) = 0

• g'(x) = - tan x; g'(0) = 0

• g"(x) = -1 - tan²x; g"(0) = - 1

• g'''(x) = -2tan x - 2tan³x; g'''(0) = 0

• g⁽⁴⁾(x) = -2 - 2tan²x - 6tan⁴x; g⁽⁴⁾(0) = -6

• g⁽⁵⁾(x) = -16tan x(1 + tan²x) - 24tan³x(1 + tan²x); g⁽⁵⁾(0) = 0

g est infiniment dérivable en 0; les conditions d'application de la formule de Taylor sont vérifiées et on peut alors écrire :

ln(cos x) = -x²/2 - x⁴/12 + o(x⁴)              notation o(xⁿ)
 

  Prouver par récurrence la formule ci-dessus : 1³ + 2³ + ... + n³ = (1 + 2 + ... + n)²

On a :

• n = 1 : 1³ = 1²

• n = 2 : 1³ + 2³ = 1 + 8 = 9 = (1 + 2)²

• n = 3 : 1³ + 2³ + 3³ = 1 + 8 + 27 = 36 = (1 + 2 + 3)²

La formule semble bien fonctionner ! Procédons par récurrence en posant :

P(n) = « 1³ + 2³ + ... + n³ = (1 + 2 + ... + n)² »

et tentons d'établir P(n + 1) : « 1³ + 2³ + ... + n³ + (n + 1)³ = [1 + 2 + ... + n + (n +1)]² ».

On peut écrire :

1³ + 2³ + ... + n³ + (n + 1)³ = [1³ + 2³ + ... + n³] + (n + 1)³ = (1 + 2 + ... + n)² + (n + 1)³

P(n + 1) sera établie si [1 + 2 + ... + n + (n +1)]² - (1 + 2 + ... + n)² = (n + 1)³. Le premier membre est une différence de carrés; or a² - b² = (a + b)(a - b). Par suite, sachant que 1 + 2 + ... + n = n(n + 1)/2 , notre différence est égale à :

[2(1 + 2 + ... + n) + (n + 1)](n + 1) = [n(n + 1) + (n + 1)](n + 1) = (n + 1)³

P(n + 1) est donc établie et la formule étant vérifiée pour n = 1, elle l'est donc pour tout n.
 

  Quelle est nécessairement la constante d'un carré magique normal ?

Le carré magique étant normal, tous les nombres de 1 à n² apparaissent exactement une fois; il y a n x n = n² cases; la somme des nombres utilisés est donc celle des n² premiers entiers naturels, soit :

1 + 2 + ... + n² =  n²(n² + 1)/2         Nicomaque

Chaque ligne (ou colonne doit avoir la même somme, constante du carré, cette dernière est donc  n(n² + 1)/2. Par exemple, le carré magique normal (il est même diabolique...) d'ordre 4 ci-dessous a pour constante 4 x (16 + 1)/2 = 34 :

  Le nombre de candidats à un concours de la fonction publique a évolué de la façon suivante :
 

a) Représenter le nuage de points M(x_i,y_i) où x_i est le rang de l'année (x_o = 0 pour 1997)
et y_i le nombre de candidats correspondant.
b) Ajuster linéairement le nuage par la méthode de Mayer
c) Quel est le nombre prévisible de candidats pour l'année 2004 ? Remarque ? 

On peut mettre le tableau statistique sous la forme :
 

a) et b) On regroupe les points en deux points moyens G₁ et G₂ : les 4 premiers en G₁ (1,5 ; 1078) et les 3 derniers en G₂ (5 ; 835). La droite de Mayer (G₁G₂) a alors pour équation y = -69,4x + 1182 (la valeur du coefficient directeur est une approximation à 0,1 près).

c) En admettant que l'ajustement par la droite de Mayer est acceptable, le nombre prévisible de candidats pour l'année 2004 (rang 8) devrait être théoriquement égal à y = -69,4 7 + 1182 = 696,2 : c'est à dire de l'ordre de 700 candidats.

Cependant, on constate que le dernier point (année 2003) est assez éloigné de la droite d'ajustement. Ce qui incite à penser que la linéarité décroissante des candidats s'est gravement accentuée en 2003 : c'est dire que l'ajustement n'est pas fiable (trop optimiste) et qu'une étude plus poussée devrait être entreprise par exemple un ajustement polynomial par la méthode des moindres carrés : un ajustement du second degré fournit une prévision de seulement 630 candidats (y = -4,58x² - 44,89x + 1168) . Le coefficient de corrélation linéaire reste cependant élevé : 0,984, ce qui n'est pas étonnant car seul le dernier point semble être l'intrus...

 Prouver que si (programme bis), dans le cas impair, on remplace : tripler et ajouter 1 par simplement ajouter 1, soit :
if (n%2 == 0) {n = n/2} else {n = n + 1} alors l'algorithme converge encore vers 1 en finissant également par 4 - 2 - 1.

Quel que soit le rang de l'itération de l'algorithme, on est en présence d'un entier de la forme n = 2k (cas pair) ou n = 2k - 1 (cas impair) avec k entier au moins égal à 1.

• Si n = 2k, l'entier suivant est k = n/2 < n;

• Si n = 2k - 1, l'entier suivant est 2k, donc le suivant est k = (n + 1)/2 < n.

Ainsi, partant d'un entier n, on est assuré, en 1 ou 3 itérations, de poursuivre avec un entier p au plus égal à (n + 1)/2 < n. La suite de ces entiers p est donc strictement décroissante et minorée par 1.

Par suite au bout d'un nombre fini d'itérations, on atteint 1. En effet, si la limite 1 n'est pas atteinte, alors elle vaut L > 1. L'entier L est pair ou impair. Si L est pair, on peut le diviser par 2 : contradiction, la limite n'est pas atteinte. Si L est impair, alors L + 1 est pair et (L + 1)/2 < L puisque L > 1 : contradiction encore, la limite n'est pas atteinte.

Ainsi, 1 est bien atteint. Mais ce 1 ne peut provenir d'une forme n + 1, donc il provient de n/2, donc de 2. Ce 2 ne peut pas non plus provenir d'une forme n + 1 (il proviendrait alors de 1), donc il provient d'une forme n/2, donc de 4 : la fin de l'algorithme est bien en 4 - 2 - 1.

Un 4 peut provenir de 8 (n/2) ou de 3 (n + 1), etc. : on peut remonter l'arbre, très vaste, des possibilités...

  Quelle est la probabilité p d'obtenir un nombre (de 2 chiffres) qui ne soit pas divisible par 3 ?

Passons par l'événement contraire; le nombre obtenu est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est multiple de 3 : donc 3, 6, 9 ou 12.

Les couples "favorables sont  : (1,2), (2,1), (1,5), (5,1), (2,4), (4,2), (3,3), (6,3), (3,6), (5,4), (4,5), (6,6). La probabilité d'obtenir un nombre divisible par 3 est donc 12/36 = 1/3 et la probabilité cherchée est 1 - 1/3 = 2/3.

  Quelle est la probabilité p de rencontrer dans une classe de 24 élèves, au moins deux bambins nés le même jour, en admettant l'équiprobabilité des naissances chaque jour de l'année et ce quelle que soit l'année (365 jours) ?

Passons par l'événement contraire : les élèves sont nés à des jours différents. On peut considérer la classe comme une liste classée arbitrairement :

Le nombre de cas possibles de la situation est 365365365...365 = 365²⁴ : chacun peut naître un jour quelconque de l'année.

Nombre de cas "favorables" : 365 jours s'offrent au 1er de la liste, 364 pour le second, ce qui fait donc déjà 365364 cas. On poursuit jusqu'au 24è élève. Ce qui nous fera alors 365364363...342 cas.

 Vu l'équiprobabilité des éventualités, la probabilité de l'événement contraire est alors 365364363...342 divisé par 365²⁴. On peut calculer ce nombre avec une calculatrice ou un tableur, ce qui fournit sensiblement 0,46. On pourra aussi remarquer  que 365364363...342 s'interprète comme un arrangement de 365 objets pris 24 à 24 et utiliser le programme en ligne à la page Pascal fournissant A(365,24) = 1,443268...10⁶¹.

On a donc :

p = 1 - 365364363...342 / 365²⁴ 1 - 0,46 = 0,54

  On suppose que les probabilités de naissance d'une fille ou d'un garçon sont les mêmes (en fait, un peu plus de garçons : 52%) et qu'il y a indépendance des sexes d'une naissance à l'autre. Dans une famille de quatre enfants, quelle est la probabilité qu'il y ait deux filles et deux garçons ?

La réponse n'est pas 1/2 comme on pourrait le penser un peu rapidement. La mise au monde des quatre enfants suit une loi binomiale de paramètre n = 4 et p = 1/2. En effet, pour ne pas tomber dans le piège sexiste, nous appellerons ici succès l'événement « naissance d'une fille » en s'intéressant à son nombre B d'occurrences.

Il s'agit alors d'une répétition de n = 4 épreuves indépendantes dont la probabilité de réalisation est p = 1/2. On sait que : Pr{B = k} = C_n^k x p^k x (1 - p)^{n - k}. La probabilité cherchée est Pr{B = 2} : C₄² x (1/2)²(1/2)² = 6/16 = 3/8

  Prouver que la transformée de Laplace de t tⁿ est p n!/pⁿ⁺¹. Préciser la convergence

On procède par récurrence et intégration par parties. Si n = 1 :

La convergence a lieu si et seulement si p > 0 : dans ce cas, dans le crochet, te^-pt = t/e^pt tend vers 0. La dernière intégrale converge vers 1/p et finalement :

Pour n = 2, une double intégration par parties conduit (avec p > 0) à :

Pour n au moins égal à 1, Supposons vraie la formule :

On a :

C.Q.F.D.

   Prouver que la transformée de Laplace de t e^at est  p 1/(p - a). Préciser la convergence. (on supposer ici a et p complexes)

Il s'agit de calculer l'intégrale de e^ate^-pt (a et p réels ou complexes) sur [0,+[, c'est à dire celle de e^{(a - p)t}, c'est à dire :

Si z est complexe et z = x + iy, e^z = e^x x e^iy. Le nombre e^iy = cosy + i.siny est borné : son module est 1. Dans notre cas, si a - p est complexe, on voit que l'intégrale sera convergente si et seulement si Re(a - p) < 0 (partie réelle de a - p). La transformée de Laplace sera alors p 1/(p - a).
 

Poser et intégrer par parties :

On a F(0) = 0 et, si p (resp. la partie réelle de p dans le cas complexe) est positif (resp. positive), alors le terme tout intégré est nul et L_F(p) = L_f(p)/p. Le domaine de convergence est celui de L_f.
 

 Prouver que la transformée de Laplace de t f(at) (a > 0) est p L_f(p/a)/a

Poser u = at. On a :

D'où L(t f(at)) = L_f(p/a)/a. La convergence est assurée lorsque p/a est élément du domaine de convergence de L_f.

La relation est vérifiée pour n = 2. Supposons la formule vraie pour un entier n au moins égal à 2. En remarquant que (n + 1)! = (n + 1) x n!, on fera intervenir la formule à l'ordre n notée ici S_1,n.

Il reste alors à prouver que 1 + n + nS_1,n = n x n! pour obtenir S_1,n+1. Mais ceci est évident en remplaçant S_1,n par n! - 1.

   Trouver un système d'inéquations minimal (le moins d'inéquations possibles) faisant usage de la valeur absolue et dont les solutions sont les points intérieurs à l'octogone ci-dessous :

Ces 4 inéquations caractérisent l'octogone : | x | < 2 , | y | < 2 , | x - y | < 3 , | x + y | < 3.
 

   Traduire en notations modernes cet extrait de l'Ars Magna :

Réponse : 32x² + 16 + x⁴ = 48     et     1x⁴ + 32x² + 256 = 48x + 240.
 

Selon une légende (parmi d'autres), l'inventeur du jeu d'échecs aurait demandé comme récompense à son souverain, enchanté par ce jeu, de lui offrir autant de grains de blé que l'on compte sur un échiquier en en mettant 1 sur la première case, 2 sur la seconde, 4 sur la troisième, et ainsi de suite en doublant. Tous les greniers du royaume furent vidés sans pour autant satisfaire notre inventeur. Combien de tonnes de blé seraient nécessaires en admettant un PMG (Poids de Mille Grains) de 45 g ?

Le nombre de grains est 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + ... = 2⁰ + 2¹ + 2² + 2³ +2⁴ + ... + 2⁶³ = 1 x (2⁶⁴ - 1)/(2 - 1) = 2⁶⁴ - 1. C'est un nombre énorme : 18 446 744 073 709 551 615. Nous l'arrondissons à 1,845 x 10¹⁹.

Cet arrondi se retrouverait en calculant le logarithme décimal de 264, soit 19,26592 = 19 + 0,26592 et cette mantisse correspond à 1,84467, d'où le résultat. Divisons par 1000 et multiplions par 45 (poids en grammes) et convertissons ensuite en millions de tonnes (1 Mt = 10¹² grammes), soit 830 250 000 Mt. : c'est effarant, la production mondiale de blé étant (seulement) de l'ordre de 600 Mt en 2004 !
 

 Quelle est la table de vérité de A B ?
 

  Définir l'inclusion des ensembles au moyen de l'ensemble vide et de la différence d'ensembles :

AB A - B =
 

   Montrer que (A | A) | (A | A) et  (A A) (A A) sont équivalentes à A.

• (A | A) | (A | A) s'écrit non[(A | A) et (A | A)], soit selon de Morgan : non(A | A) ou non(A | A), c'est à dire A ou A, soit A.

• (AA) (A A) s'écrit non[(A A) ou (A A)], soit selon de Morgan : non(A A) et non(A A), c'est à dire A et A, soit A.

Comment s'écrit A et B au moyen de NOR ?         

• A et B s'écrit (A | A) | (A | B)  ou (AA) (B B), forme dite duale du ou.

A B s'écrit A | (A | B). Et avec ?...

• AB peut s'écrire non[non(nonA ou B)], soit non(nonA B) qui s'écrit (nonA B) (nonA B). Mais nonA c'est A A. Donc AB peut s'écrire :

 [(A A) B)] [(A A) B)]

Si P(x) est un prédicat énoncé sur x, la négation de « x, P(x) » que l'on peut lire : « quel que soit x, P(x)  est vrai » est l'assertion « x , nonP(x) » que l'on peut lire : « il existe au moins un x pour lequel P(x) est faux ».
 

   a) Vérifier que la transformée de Fourier de x f(kx) est w 1/| k |F(w/k). On distinguera k > 0 et k < 0.
b) Calculer la transformée de Fourier de la fonction x e^-|x|. 
c) En déduire celle de x e^-k|x|, k > 0. Vérifier par un calcul direct.

a) En négligeant ici le rapport 1/2p, la TF de  x f(kx) est l'intégrale sur R de f(kt)e^-iwt.
On pose alors u = kt.

• Si k > 0, on obtient l'intégrale sur [-,+] de 1/kf(u)e^-iwu/k, soit 1/kF(w/k).

• Si k < 0, on obtient l'intégrale sur [+,-] de 1/kf(u)e^-iwu/k, soit l'intégrale sur [-,+] de
  -1/kf(u)e^-iwu/k = 1/| k |f(u)e^-iwu/k. D'où le résultat annoncé.

b) Le calcul est très simple et conduit, en sommant les intégrales sur [-,o] et [o,+], à 2/(w² + 1), en négligeant là encore le 1/2p.

c) en négligeant toujours 1/2p, un calcul direct conduit facilement à (k > 0) : 1/(k - iw) + 1/(k + iw) = 2k/(k² + w²) = 1/kF(w/k).

  Au lancer d'un dé (dont les faces sont numérotées de 1 à 6), on mise 1 euro et il est associé un gain de 1 euro si le 1 ou le 2 apparaît, 5 euros si le 6 apparaît,  un gain nul si le 5 sort et une perte de 1 euro pour les autres cas. La mise n'est pas récupérée. Quelle est l'espérance mathématique de gain ? 

Aux gains bruts, on doit retirer 1 euro. On a alors en gains nets :

• 2 chances sur 6 de gagner 1 euro : gain = + 1 - 1 = 0,  probabilité 1/3;

• 1 chance sur 6 de ne rien gagner : gain = 0 - 1 = -1, probabilité 1/6;

• 2 chances sur 6 de perdre 1 euro : gain = -1 - 1 = -2, probabilité 1/3;

• 1 chance sur 6 de gagner 6 euros : gain = + 5 - 1 = +4, probabilité = 1/6.

Remarquer l'aspect mathématique d'un gain : il peut être négatif et est alors synonyme de perte. On a finalement une espérance de gain :

E = 01/3 - 11/6 - 21/3 + 41/6 = -1/6. L'espérance de gain est négative, de l'ordre de 17 centimes. Cela ne signifie que, en moyenne mathématique théorique, en jouant un grand nombre de fois, votre perte sera de l'ordre de 17 centimes. Mais on peut fort bien gagner plusieurs fois de suite et quitter la table...

   On suppose f positive et décroissante sur I = [a,+[ avec lim f = 0 pour x infini; g est une fonction intégrable et bornée sur tout intervalle fini K de I et vérifiant |g(x)| ≤ M, où M désigne un réel positif indépendant de K. Montrer que dans ces conditions l'intégrale ci-dessous est convergente :

Soit K = [x,x'] un intervalle fermé quelconque de J. Selon la seconde formule de la moyenne applicable ici au vu des hypothèses, il existe u entre x et x' tel que :

soit e > 0 arbitraire, si x est suffisamment grand, on aura f(x) < e/M et le membre de gauche peut être rendu inférieur à e : c'est la condition de Cauchy pour la convergence de l'intégrale généralisée étudiée.

   Concernant l'équation de Kepler : Vérifier que tan j = (1 - e²)^½cos e/(cos e- e)

On passe de P à P' par affinité de rapport a/b. On a a² + b² = c² et e = c/a (excentricité). On en déduit alors que b²/a² = 1 - e², puis :

tanj = tan^(FA,FP) = - tan^(FH,FP) = - HP/HF = - (HP'b/a)/(OF - OH) = (asineb/a)/(acose- ea)
        = (b/a).sine/(cose - e) = (1 - e²)^½sine/(cose - e).

   Formule de Gibbs : u (v w) = (uw).v - (uv).w 
         Prouver ce résultat en construisant une base orthonormée judicieuse 

Le résultat est trivial si un des vecteurs est nul et très facilement vérifiable si l'un est combinaison linéaire des deux autres.

Lorsque les trois vecteurs sont linéairement indépendants (ils forment une base de l'espace), posons i = u/||u||. Dans le plan vectoriel (u,v), choisissons j normé orthogonal à i et soit k tel que (i,j,k) soit orthonormée directe. On peut écrire v = ai + bj et w = a'i + b'j + c'k. Un petit calcul, utilisant les produits scalaires et vectoriels des vecteurs de base, montre maintenant facilement que u (v w) et (u . w) v) - (u . v) w) sont tous deux égaux à ||u||(a'b - ab')j - ||u||ac'k.

Rappel ( produit vectoriel , produit scalaire) :

• i i = j j = k k = 0, i j = k , j k = i, k i = j.
  Par anticommutativité : j i = -k , k j = -i, i k = -j

• i  . j =  j . k = i, k . i = 0, i . i = j . j = k . k = 1.

  Il n'y a que 3 treillis distributifs pour un ensemble de 5 éléments. Quel est le 3ème ???

On n'a pas vraiment le choix... :

  Prouver que l'ensemble A des automorphismes intérieurs d'un groupe G est un groupe isomorphe au groupe quotient G/C où C désigne le centre de G.        centre d'un magma

Soit * la loi de groupe de G et e son élément neutre. Munissons A de la loi de composition des applications. A est l'ensemble des I_g : x g*x*g^-1, g G. Notons f l'application qui à tout g de G associe I_g dans A : f(g) = I_g. On a f(g*g') = I_g*g'.

Or I_g*g'(x) = (g*g')*x*(g*g')^-1 = g*(g'*x*g'^-1)*g^-1 = I_g[I_g'(x)]. Donc I_g*g' = I_g o I_g'. Par suite f(g*g') = f(g) o f(g') et on conclut que f est un homomorphisme de G dans A; par conséquent A est un groupe isomorphe à G/N où N est le noyau de f.

On a f(e) = I_e = id (application identique. Par suite, N = {gG / f(g) = id } = {gG / I_g = id }. Mais I_g = id g*x*g^-1 = x pour tout x de G. En composant par , on voit que N = {gG / g*x = x*g } pour tout x de G : c'est le centre de G.

  Vérifier que l'équation paramétrique x = cosu + v.sinu, y = sinu - v.cosu, z = v définit un hyperboloïde à une nappe en  tant que surface réglée pour u et v convenablement choisis. Préciser les génératrices. Trouver une seconde génération.

x = cosu + v.sinu, y = sinu - v.cosu, z = v. Lorsque v décrit R et u l'intervalle [0,2p], on peut écrire :

j(u,v) = f(u) + v.D(u) = (cosu, sinu, 0) + v.(sinu,-cosu,1)

Il s'agit bien d'une surface réglée s'appuyant sur la courbe u f(u) = (cosu, sinu, 0), cercle x² + y² = 1 dans le plan (xOy). Les génératrices sont, pour chaque valeur de u, les droites d'équation paramétrique x = v.sinu, y = -v.cosu, z = v.

En changeant 1 en - 1 dans D(u) on obtient un vecteur directeur (sinu,-cosu,-1) linéairement indépendant de (sinu,-cosu,1) mais la surface reste manifestement inchangée : elle possède une seconde famille génératrice.

Selon l'équation initiale, on a, en élevant au carré : x² + y² = 1 + v² = 1 + z². Donc x² + y² - z² = 1 : il s'agit bien de l'hyperboloïde à une nappe.
 

  Quelles sont les entiers relatifs qui, divisés par 5 et par 3 donnent respectivement les restes 1 et 2 ? 

I - De tels nombres x existent car 3 et 5 sont premiers entre eux. Selon les hypothèses, il existe des entiers relatifs p et q tels que x = 5p + 1 et 5p - 3q = 1. On est ramené à l'identité de Bezout. Mais on peut voir que p = 2 et q = 3 fournit une solution particulière x_o = 11. La solution générale est alors x = 11 + 15k où k décrit Z.
 

  Quels sont les entiers n tels que 4n² + 1 soient multiples de 5 ?

Le problème se ramène à rechercher n tel que 4n² + 1 0  [5], égalité équivalente à (2n + 1)² 4n  [5]; or Z/5Z est un corps et si, dans ce corps, a² = 4b, alors b est un carré, par suite n 0, 1 ou 4. n = 5k est manifestement à rejeter; les cas n = 5k ± 1 conviennent.

Déterminer les entiers naturels n tels que 5²ⁿ + 5ⁿ soit divisible par 13.

5² = 25 ≡ -1  [13], donc 5⁴ ≡ 1  [13]. On pourrait chercher n sous la forme 4p + r mais r étant compris entre 0 et 3, ce n'est pas le plus court chemin.

1. Supposons n pair, n = 2k : 5²ⁿ = 5^4k = (5⁴)^k ≡ 1  [13]  et  5ⁿ = 5^2k = (5²)^k ≡ (-1)^k  [13]. L'équation donnée est alors équivalente à 1 + (-1)^k ≡ 0  [13] qui est vérifiée si et seulement si k est impair. Donc k est de la forme 2p + 1, p entier, donc n = 4p + 2.

2. Supposons n impair, n = 2k+1 : 5²ⁿ = 5^4k+2 = (5⁴)^k5² ≡ 1(-1) ≡ -1 [13]  et  5ⁿ = 5^2k+1 = 5(5²)^k ≡ 5(-1)^k  [13]. L'équation donnée est alors équivalente à -1 + 5(-1)^k ≡ 0  [13], donc à  ±5 ≡ 1  [13], ce qui est clairement inacceptable.

La réponse est donc l'ensemble des entiers congrus à 2 modulo 4, multiples de 4 augmentés de 2. Noter que cet ensemble contient 2 car 0 est multiple de tout nombre (et diviseur d'aucun !).

  Une autre voie est de factoriser :   5²ⁿ + 5ⁿ = 5ⁿ(5ⁿ + 1). Remarquer que les nombres 5ⁿ et 5ⁿ + 1 étant consécutifs, ils sont premiers entre eux, donc 13 doit diviser 5ⁿ ou 5ⁿ + 1. On montre alors que 13 ne peut diviser 5ⁿ, donc 13 divise 5ⁿ + 1 et on est ramené aux calculs précédents de l'alinéa 2.

  Déterminer les solutions du système nZ, n ≡ 13 [19] , n ≡ 6 [12].

On rencontre les solutions de cet exercice de bac faisant exclusivement intervenir les congruences au prix de complications inutiles imposées par le sujet. La résolution de systèmes de ce type est pourtant très élémentaire. Par hypothèse, il existe des entiers u et v tels que n = 19u + 13 = 12v + 6. Par différence, on a 12v - 19u = 7.

Or 19 et 12 étant premiers entre eux, on utilise l'identité de Bezout fournissant sans difficulté 128 - 195 = 1. Ce qui conduit à u = 35 - 12k et v = 56 - 19k et par suite n = 678 - 228k, ce qui peut s'écrire, puisque 678 = 222 + 2228 : n = 222 - 228k. Ou encore, quitte à changer k en - k :

(1)    n = 228k + 222, k décrivant Z

Mais on n'a pas procédé par équivalence : inversement si n = 228k +222 = 1912k + 222 = 228k +222 = 1912k + 1912 - 6. On a donc n -6 13 [19] et n -6 6 [12]. Les solutions sont donc effectivement les n tels que (1).
 

  Proposition XI, livre VII d'Euclide : Si le tout est au tout comme le nombre retranché est au nombre retranché, le nombre restant sera aussi au nombre restant comme le tout est au tout. Traduire en langage moderne sachant que a est à b ce que c est à d signifie a/b = c/d.

.     Exemple 6/9  = 4/6, donc 2/3 = 6/9.

  On considère les trois points A, B et C ci-dessous. Calculer les coordonnées du point D afin que, dans cet ordre, ABCD soit un parallélogramme. Calculer les coordonnées du point D' afin que, dans cet ordre, ABD'C soit un parallélogramme.

a/  On a A(1;1), B(4;3) et C(6;2). Dire que ABCD est un parallélogramme revient à écrire AB = DC. On a :

• AB (x_B - x_A;y_B - y_A), soit : AB(3;2)

• Posons D(x;y); on a DC(6 - x;2 - y)

On doit avoir :

6 - x = 3
2 - y = 2

Par conséquent : D(3;0)

b/  nous devons avoir ici AB = CD', ce qui conduit à D'(9;4)

  Dans un espace vectoriel de dimension 3 sur R, rapporté à la base B = (i, j, k), on considère l'application linéaire f qui à tout vecteur v(x, y, z) associe le vecteur v'(x - 2y + z, -x - y + 2z, -x + y). Donner la matrice de f dans la base B.

Dans la base B, on a i(1, 0, 0), j(0, 1, 0) et k(0, 0, 1). On calcule i' = f(i), j' = f(j) et k' = f(k) et on obtient respectivement i'(1, -2, 1) , j'(-1, -1, 2) et k'(-1, 1, 0). La matrice est alors :

  Dans le cadre de la géométrie "du caoutchouc", il est clair que le polyèdre troué de droite est homéomorphe au tore :

Après l'avoir décomposé en polygones ayant deux à deux une arête commune et une seule, dénombrer ses sommets S, ses arêtes A et faces F et montrer que dans ce cas S - A + F = 0 : c'est la caractéristique du tore.

La décomposition ci-dessous en polygones ayant en commun une arête et une seule fournit 16 sommets, 32 arêtes et 16 faces. On a donc S - A + F = 0.

  Exercice dans Z/6Z :Déterminer les entiers naturels n tels que n² + 2 soit divisible par 6

N étant inclus dans Z, on peut transposer le problème en termes de congruences en recherchant les entiers n tels que n² + 2 soit congru à 0 modulo 6. en passant dans Z/6Z, on constate que :

n² + 2 0 [6] n² 4 [6]

Établissons la table des carrés :

On déduit de ce tableau que les entiers n cherchés sont de la forme 6k +2 ou 6k + 4. 
Ce qui peut aussi se traduire par n = 6k ± 2.

  L'ensemble totalement ordonné (N,),  soit N = {..., 3, 2, 1, 0} n'est pas bien ordonné. On note w* son ordinal.
Montrer qu'une condition nécessaire et suffisante pour qu'un ensemble ordonné soit bien ordonné est qu'il ne contienne aucune partie d'ordinal w*.

Soit (E,)  un ensemble ordonné.

la condition est nécessaire : Si A est une partie de E d'ordinal w*, alors A n'a pas de 1er élément : c'est contraire à la définition d'un ensemble bien ordonné.

la condition est suffisante : nous devons montrer que si E ne contient aucune partie A d'ordinal w*, alors il est bien ordonné. Prouvons la proposition contraposée : Si E est ordonné mais non bien ordonné, alors E contient une partie d'ordinal w* :

Par hypothèse, E contient une partie A non vide n'ayant pas de plus petit élément. Donc si x1 est un élément de A, il existe un x2 de A, distinct de x1, tel que x2 x1. Mais x2 ne peut pas être le 1er élément de A. Donc, il existe un x3 de A, distinct de x2, tel que x3 x2. On construit ainsi une chaîne infinie  ... x3 x2 x1 dont les éléments constituent une partie de E d'ordinal w*.
 

Résoudre dans R les inéquations :  a)  | 2x + 3 | > 5            b)  | x + 3 |   | 2x - 3 | 

a) Rappelons que sur la droite numérique | A | (valeur absolue de A ) représente la distance de A à O. Par suite :

  | 2x + 3 | > 5  2x + 3 < -5 ou 2x + 3 > 5
                      2x < -8  ou 2x > 2

Les solutions sont par conséquent les nombres x de l'ensemble ]-, -4] ]1,+[.

b)  | x + 3 |   | 2x - 3 | :  l'inéquation | A(x) | | B(x) | peut se résoudre par encadrement ou au moyen d'un tableau. Voir par exemple ici un cas résolu. On donne ici la méthode par encadrement :

• Si 2x - 3 0, on a x 3/2 : -2x + 3 x + 3 2x - 3. La 1ère inégalité fournit x 0 et la seconde : x 6. On retient donc x 6.

• Si 2x - 3 0, on a x 3/2 : 2x - 3 x + 3 -2x + 3. La 1ère inégalité fournit x 6 et la seconde : x 0. On retient donc x 0.

Les solutions sont donc les nombres x de l'ensemble ]-, 0] ]6,+[.

 Résoudre dans R, l'inéquation 2x/|x + 1| < x - 1

On doit avoir ici x + 1 non nul puisque ce terme est en dénominateur. | x + 1| étant strictement positif, l'équation donnée est équivalente à 2x <  | x + 1| (x - 1) et il s'agit de distinguer 2 cas suivant que x + 1 est positif ou négatif.

a/ x + 1 > 0, soit : x > -1. On a alors | x + 1| = x + 1, l'inéquation devient 2x < x² - 1, c'est à dire x² - 2x - 1 > 0. On est ramené au signe du trinôme. Les racines de x² - 2x - 1 = 0 sont 1 ± 2, ce trinôme est strictement positif les intervalles ]-,1 - 2[ et  ]1 + 2, [. Mais nous avons la condition x > -1; on retiendra par conséquent x]- 1, 1 - 2[]1 + 2, [.

b/ x + 1 < 0, soit : x < -1. On a alors | x + 1| = - x - 1, l'inéquation devient cette fois x² + 2x - 1 < 0. Les racines de x² + 2x - 1 = 0 sont -1 ± 2, ce trinôme est strictement négatif sur l'intervalle ]-1 - 2, -1 + 2[. Mais nous avons la condition x < -1; on retiendra par conséquent x]-1 - 2, -1[.

Finalement, les solutions sont éléments de l'ensemble ]-1 - 2, -1[]- 1, 1 - 2[]1 + 2, [.

Résolution graphique approchée :          

L'ordinateur a tracé (en noir) la courbe (c) d'équation  y = 2x/| x + 1, en rose la droite d'équation y = x - 1 et, en rouge, la droite d'équation x = -1, asymptote verticale à (c).

L'ensemble des solutions correspond aux valeurs de x pour lesquelles la courbe (c) est "en-dessous" de la droite d'équation y = x - 1. On retrouve sensiblement -1 - 2 -2.4 , 1 - 2 -0.4 et 1 + 2 2.4

 Théorème d'Al-Kashi (règle du cosinus) : a² = b² + c² - 2bc.cosÂ

(CH) désignant la hauteur issue de C, dans le cas aigu on a CH = b.sin et dans le cas obtus, CH = b.sin(180° - Â) = b.sinÂ. Par application du théorème de Pythagore, on peut écrire : BC² = BH² + CH².

• dans le cas aigu : BC² = a² = (c - AH)² + CH² = (c - b.cosÂ)² + b².sin²Â. On développe et on remplace sin²Â par 1 - cos²Â, ce qui conduit au résultat cherché : a² = b² + c² - 2bc.cosÂ.
   

• dans le cas obtus : BC² = a² = (c + AH)² + CH² = [c + b.cos(180°-Â)]² + b².sin²Â. Mais cos(180°- = -cosÂ. Ce qui conduit au même résultat.