ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Séries numériques, séries de fonctions, critères de convergence
     
Critères de convergence | Séries de fonctions, séries entières | Séries de Fourier | Convergence : absolue , uniforme , normale

 Les notions de suite et de convergence d'une suite sont ici supposées connues :

Notion de suite numérique, suite de fonctions, convergence, divergence :            suite et série selon d'Alembert

L'étude qui suit traite des suites à valeurs dans E = R ou C mais la plupart des résultats s'adaptent à des espaces métriques (resp. vectoriels normés R ou C) en remplaçant les valeurs absolues ou modules par les distances (resp. normes) correspondantes. Certains critères n'étant alors valables que si de tels espaces sont complets (espaces de Banach).

Soit (un) une suite à valeurs dans un espace F = R, C. On peut sommer, jusqu'à l'infini, les éléments de la suite (un) à partir d'un certain rang : on parle alors de série. L'élément un en sera le terme général. Une série est dite convergente si la suite (Sn) de ses sommes partielles, à savoir :

                       considérations sur la notion de limite d'une suite

est convergente vers un point de F. La limite S de Sn est la somme de la série et on convient d'écrire :

 Vu que Sn - Sn-1 = un , si la série converge, alors Sn et Sn-1 ont même limite, donc un tend vers 0 :

Le terme général d'une série convergente tend nécessairement vers 0

Reste de rang n d'une série :    

Pour une série de terme général un, que nous noterons dans la suite Σun, posons :

Rn = un+1 + un+2 + un+3 + ...

 est appelé reste de rang n de la série Σun. On définit ainsi une suite. On prouvera aisément que :

Une série est convergente si et seulement si son reste Rn converge vers 0.

Si la série converge vers S, alors Rn = S - Sn.

Série divergente :    

Une série non convergente est dite divergente. C'est dire que la suite de ses sommes partielles diverge (ne converge pas). La (célèbre) série harmonique 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ... en est un exemple. En effet :

On trouvera la preuve de ce résultat dans le calcul de la constante d'Euler.


On considère la série de premier terme u1 = 1, de terme général un = 11111...1 (n chiffres égaux à 1).
Calculer Sn = u1 + u2 + ... + un
Indication et réponse : calculer 9Sn = (10 - 1) + (100 - 1) + ... (10n - 1) = 10(1 + 10 + 102 + ... + 10n-1) - n.
Sn = 10(10n - 1)/81 - n/9

  Dire qu'une série diverge ne signifie pas que les sommes partielles tendent vers l'infini :

Lorsqu'une série n'est pas à termes positifs, regrouper des termes ou modifier leur ordre est illicite. Cela peut modifier la nature de la série (convergente ou divergente) et sa somme éventuelle.

  La série 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + ... diverge car son terme général valant 1 ou -1 suivant la parité de n ne tend pas vers 0. Ses sommes partielles sont  alternativement  1 et 0 : la suite des sommes partielle ne converge pas. En regroupant les termes sous la forme (1 - 1) + (1 - 1) + (1 - 1) + (1 - 1) + (1 - 1) + ..., on pourrait croire que la somme existe est nulle. En écrivant maintenant 1 + (- 1 + 1) + ( - 1 + 1) + ( - 1 + 1) +  (- 1 + 1) + ... la somme serait 1 !!!

Grandi et la série 1 - 1 +1 - 1 + 1 - 1 + ... :  

  Une condition suffisante pour autoriser un réarrangement des termes fut prouvé par Dirichlet en 1837, à savoir la convergence en valeur absolue de la série :

 Série absolument convergente et série commutativement convergente:    

Une série Σun sera dite absolument convergente si Σ|un| est convergente (valeur absolue dans le cas réel, module dans le plan complexe). Par opposition, la convergence de Σun est dite simple.

En conséquence très utile dans la pratique, vu que pour tout n, | un | |un|, on peut énoncer :

Toute série absolument convergente est simplement convergente.

Une série simplement convergente mais non absolument convergente est dite semi-convergente.

Un cas fondamental de série semi-convergente non absolument convergente est la suite harmonique alternée évoquée pour la première fois par Leibniz :  1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + 1/5 - 1/6 + ... = ln 2.

La série harmonique (exemple de série divergente) :                Séries asymptotiques :

φ désignant une permutation de N (bijection de N sur N), une série numérique Σun est dite commutativement convergente pour signifier que Σuφ(n) est également convergente.

Toute série Σun réelle ou complexe absolument convergente est commutativement convergente
et
Σuφ(n) l'est aussi et a même somme.

L'exemple de la série harmonique alternée par réarrangement des termes :

On peut aussi énoncer :

i/  Dans un espace vectoriel normé complet ( Banach) toute série absolument convergente est commutativement convergente.

ii/  Si φ une permutation de N et Σun une série à termes positifs, alors Σun et Σuφ(n) sont de même nature (toutes deux convergentes ou divergentes) et, si elles convergent, elles ont même somme.

Famille sommable : 

Conditions de convergence & critères : 

Dans le cas d'une série à termes strictement positifs (tout au moins à partir d'un certain rang), des conditions suffisantes de convergence (théorèmes de comparaison) sont énoncées ci-dessous, mais rappelons tout d'abord un résultat intéressant, conséquence immédiate du théorème selon lequel toute suite croissante majorée de nombres réels est convergente :

Pour qu'une série numérique positive soit convergente il faut et il suffit que la suite Sn de ses sommes partielles soit majorée.


Appliquer ce dernier résultat à la série de Riemann de terme général 1/n2 en montrant que la suite des sommes partielles 
est inférieure à 2.- 1/n.
Indications : remarquer 1/n2 < 1/n(n - 1) = 1/(n - 1) - 1/n    

1a/ Série majorée :

Si la série Σvn est  convergente et si, à partir d'un certain rang p on a un vn , alors Σun converge

Le nombre e selon Euler :

A contrario, si la série Σvn est  divergente et si, à partir d'un certain rang p on a un vn , alors Σun diverge.

2/ Séries de même nature :    

2a.  Si un et vn sont proportionnels (il existe k non nul tel que un = kvn) converge vers un réel non nul, alors les séries Σun et Σvn sont de même nature (toutes deux convergentes ou divergentes).

2b.  Si la suite un /vn converge vers un réel non nul, alors les séries Σun et Σvn sont de même nature (toutes deux convergentes ou divergentes).


 Un p'tit exo d'application ? : étude de la série de terme général 2n/(2n-1)k

2c.  Si un et vn sont des infiniment petits équivalents pour n tendant vers l'infini, alors les séries Σun et Σvn sont de même nature (toutes deux convergentes ou divergentes).
Rappel : la condition un 0 est une condition nécessaire de convergence. Dans ces deux cas b et c, on parle de séries équivalentes.

3/  Règles de d'Alembert :  

3a.  Si, à partir d'un certain rang, on a un+1 /un k < 1 alors Σun converge. Si, à partir d'un certain rang, un+1 /un 1, Σun diverge (c'est le cas si le rapport tend vers 1 par valeurs supérieures).

3b.  Si, à partir d'un certain rang, on a un+1/un vn+1/vn où Σvn est une série convergente, alors Σun converge. Ce résultat conduit au critère de d'Alembert  rappelé ci-dessous :

3c. Soit Σun une série à termes strictement positifs pour laquelle le rapport un+1 / un à une limite L. Dans ces conditions :


La série auxiliaire a pour terme général vn = kne-(n.ln k)². Utilisons le critère de d'Alembert : le rapport vn+1/vn
 peut s'écrire k/e(ln k)²(2n + 1) tendant vers 0 pour n infini. d'où la convergence de la série des vn et celle des un.

Règle de Duhamel :                     Règle de Kummer :

4/ Règle nαun :
α
désignant un réel positif, si la suite de terme général nαun converge verts une limite finie non nulle k, alors la série Σun converge si α > 1, diverge sinon.

Exemple d'application

  Ce résultat est une conséquence de cet important cas particulier :

la série, 1 + 1/2p + 1/3p + 1/4p + 1/5p + 1/np + ... dite série de Riemann, converge pour p > 1, diverge sinon. Remarquer que pour p = 1, on retrouve la série harmonique.

Preuve : on regroupe les termes de rang 2 à 3 = 4 - 1, 4 à 7 = 8 - 1, 8 à 15 = 16 - 1, etc. La somme est alors inférieure à :

 1 + 2/2p + 4/4p + 8/8p + 16/16p + ... = 1 + 2p-1 + 1/4p-1 + 1/8p-1 + 1/16p-1 + ...

On reconnaît la somme des termes de la progression géométrique (série géométrique) de 1er terme 1, de raison 1/2p-1 qui converge si cette raison est strictement inférieure à 1, donc si p > 1.


Prouver que la série 1 + 1/32 + 1/52 + 1/72 + 1/92 + 1/112 + 1/132  + 1/152 +... est convergente.

Séries de Riemann et fonction zêta :               Cas des séries alternées (critère de Leibniz)  :

Critères de Cauchy pour les séries :       

5a/ La série numérique Σun est convergente si et seulement si pour tout k, k entier : Sn+k - Sn = un+1 + ... + un+k tend vers 0 lorsque n tend vers l'infini (Sn désigne la somme partielle de rang n).

Dans le cas plus général d'une série à valeurs dans un espace métrique ou vectoriel normé F, le critère se réduit à une condition nécessaire de convergence. La condition devient suffisante si F est complet (F = R ou C ou tout espace vectoriel normé de dimension finie) : espace métrique , espace de Banach.

  Cas des séries de fonctions | cas des suites : suites de Cauchy

Un second critère fort utile lorsque s'apparente à une puissance n-ème dans le cas réel ou complexe : donné dans son cours à l'École polytechnique (1821). Une série de terme général un est comparé à une suite géométrique de terme positif. On est alors amené au résultat suivant :

5b Soit rn  = |un| (module dans le cas complexe); si lim (rn)1/n = λ < 1, alors la série Σun converge. Si lim (rn)1/n = λ > 1, alors la série Σun diverge. Le cas λ = 1 est litigieux (on ne peut rien conclure).

 

Dans le cas d'une série à termes strictement positifs, lorsque  lim un+1/un ( règle de d'Alembert) existe finie ou non, on peut démontrer que c'est aussi la limite de  (un)1/n, la réciproque étant fausse. Voici un exemple :

Considérer la suite (un) définie par un = 2 + (-1)n. On a un = 3 si n pair et un = 1 si n impair. Suivant que n est pair ou impair, un+1/un prend alors les valeurs 1/3 et 3 : pas de limite. Mais (un)1/n vaut 1 si n est impair et 31/n si n pair. Or 31/n tend vers 3o = 1 pour n infini puisque son log tend vers 0. Ce qui montre que (un)1/n converge vers 1.


1.  Vérifier au moyen de ce critère que la série de terme général un = e1-n est convergente.
Rép : on a ici un > 0 et (un)1/n = (e1-n)1/n = e(1-n)/n tendant vers e-1 = 1/e < 1 : la série converge.

6/ Comparaison à une intégrale (critère intégral de Cauchy) :

L'intégrale au sens de Riemann, basée sur la notion de fonction en escalier, conduit à ce résultat fort pratique :

Si un = f(n) est une fonction positive et décroissante de n, alors la série Σun est de même nature que l'intégrale de f sur [0,+]. Même résultat si un = f(a + n) et l'intégrale de f sur [a,+], a >0.

C'est ainsi que l'on peut prouver la convergence de la série de Riemann de terme général 1/np dont il est fait état ci-dessus.


Utiliser le critère intégral afin de prouver que la série de terme général un = 1/ln(nn)  (n 2) est divergente.
Autres exemples d'étude :
Σn!/nn , Σ2n/(2n - 1)k , développement en série de atn x , autres...

  Critère de Dirichlet :          Critère d'Abel :          Autres critères :         Séries de Bertrand :

Série produit selon Cauchy ou "produit de Cauchy" : 

Considérons deux séries Σun et Σvn et leurs sommes partielles Un = uo + u1 + u2 + ... + uet  Vn = vo + v1 + v2 + ... + vn. Faire le produit des deux séries consiste à sommer tous les produits du type uivj. Mais pas n'importe comment car cela peut changer la somme ou la nature de la série :   Dirichlet

Écrivons-les sous forme d'un tableau :

On décide de sommer suivant les diagonales "nord-est sud-ouest" : elle s'écrit donc :

uovo  + (uov1 + u1vo) + (uov2 + u1v1 + u2vo) + (uov3 + u1v2 + u2v1 + u3vo) + ...

C'est ainsi que la série de terme général

wn = Σukvn-k    (0 k n)

soit :

wn =  uovn  + u1vn-1  + u2vn-2  + ... + un-1v1  + unvo

est appelée série produit au sens de Cauchy.

Théorème de Cauchy (1821) :         

Lorsque les séries sont absolument convergentes, la série-produit l'est aussi et sa somme est le produit des sommes de Σun et Σvn.

Autrement dit :

                    Théorème de Mertens

 Contre exemple de Cauchy
Considérer la série de terme général 1 -1/2 + 1/3 - 1/4 + 1/5 - ... et la série produit par elle-même.
a)  Montrer que son terme terme général s'écrit :

b)  En utilisant que la moyenne arithmétique (a+b)/2 de deux nombres positifs  a et b est supérieure à leur moyenne géométrique (ab), montrer que la série produit diverge.           moyennes arith. et géom.

L'usage des séries produits se rencontre couramment dans le cas des séries de fonctions étudié au paragraphe suivant. Voici, en avant-première..., une application  à la fonction exponentielle lorsqu'elle est définie par :

Cette série est clairement absolument convergente (utiliser le critère de d'Alembert) pour tout réel x. Étudions le produit ex x ey : c'est la série-produit de terme général :

Or n! = k!(n - k)! x Cnk , donc un = (x + y)n/n! :  c'est dire que ex x ey = ex + y.

Fonction exponentielle complexe :                     Transformation d'Abel :

Séries de fonctions, séries entières, convergence simple et uniforme :      cas des suites , convergence normale

Un exemple fondamental de séries de fonctions est donné par la série de puissances, de terme général xn, dite série géométrique de raison x. Cette série converge pour tout x réel ou complexe de module | x |. En effet, eu égard à la formule que l'on établit facilement par multiplication ou par récurrence :

 

La somme est ici 1/(1 - x) car xn+1 a pour limite 0 et il est licite d'écrire :

On parle de série de fonctions car le terme général  peut s'écrire fn(x) = xn , image de x par la fonction fn : xxn. En posant f(x) = 1/(1 - x), tout comme dans le cas des suites, nous dirons que la série de terme général (fn) converge simplement vers la fonction f pour tout x de l'intervalle ]-1,1[, ou encore que f est la limite simple de la série Σfn sur cet intervalle.

  Cette série de puissances est un cas particulier de série entière, c'est à dire dont le terme général est de la forme anzn, z et an réels ou complexes.

Rayon de convergence et résultats d'Abel sur les séries entières :            Fonctions entières (analyse complexe) :

Dans le cas général, lorsque x est élément d'une partie J de R ou C, on dira que la série Σfn admet la fonction f comme limite sur J si la suite des sommes partielles de terme général Sn(x) = fo(x) + f1(x) + f2(x) + ... + fn(x) converge vers f(x) pour tout x de J.

Le reste d'ordre n de la série est le nombre Rn(x) = fn+1(x) + fn+2(x) + fn+3(x) + ... La série Σfn est convergente de somme  f sur J, si la suite des Rn(x) converge vers 0 pour tout x de J.

Convergence uniforme :     

La convergence d'une série signifie la convergence de la suite de ses sommes partielles Sn(x). On dit alors que la série Σfn converge uniformément sur J, ou que la convergence de la série est uniforme sur J, pour exprimer que la suite Sn(x) = fo(x) + f1(x) + f2(x) + ... + fn(x)  converge uniformément. Si f est la somme de la série (limite des Sn), cela revient à exprimer que la suite des restes Rn(x) = f(x) - Sn(x) converge uniformément vers 0 :

ε > 0, NεN / x J , n > Nε | Rn(x) | < ε

Par conséquent :

Σfn converge uniformément vers f sur J   ssi   la suite Supx∈J | Rn(x)| converge vers 0

  • Contre-exemple : La suite de fonctions définie sur [0,1] par fn(x) = nx/(1 + nx) converge vers 0 si x = 0 et vers 1 pour tout x non nul. Cette convergence n'est pas uniforme : pour x non nul, le reste est Rn(x) = 1/(1 + nx). Il est clair que Rn(x) tend vers 0 mais pour toute valeur de n aussi grande que l'on voudra, on peut choisir un x suffisamment petit de sorte que nx soit encore très petit : Rn(x) serait alors proche de 1 et il faudra donc choisir, pour ce x là, un N "vraiment grand" pour arranger les choses...

Critère de Cauchy pour la convergence uniforme d'une série de fonctions :   

La formulation du critère de Cauchy pour les séries numériques s'adapte aux séries de fonctions à valeurs dans R ou C :

La série de fonctions Σfn converge uniformément vers f sur J si et seulement si pour tout k, k entier et tout x de J : |Sn+k(x) - Sn(x)| = |un+1(x) + ... + un+k(x)| tend vers 0 lorsque n tend vers l'infini.

Dans le cas plus général d'une série à valeurs dans un espace métrique ou vectoriel normé F, le critère se réduit à une condition nécessaire de convergence. La condition devient suffisante si F est complet (F = R ou C ou tout espace vectoriel normé de dimension finie) : espace métrique , espace de Banach.

Critère de Weierstrass pour la convergence uniforme d'une série de fonctions :   

Soit fn(x) le terme général d'une série de fonctions numériques et un le terme général d'une série numérique positive convergente :

Si, à partir d'un certain rang, on a |fn(x)| un pour tout x d'un intervalle fermé J,
alors la série des fn converge uniformément sur J.

Convergence uniforme et continuité :       

Si fn(x) est le terme général d'une série uniformément convergente sur J et si (toutes) les fn sont continues en un point xo de J (resp. sur J), alors la somme f de la série est continue en xo (resp. sur J).

Convergence uniforme et intégration "terme à terme" :    

Si fn(x) est le terme général d'une série numérique réelle uniformément convergente sur un intervalle [a,b] et si les fn sont continues sur [a,b], alors :

    (intégration terme à terme)

Autrement dit, en notant f est la somme de la série, l'intégrale de la somme est la somme des intégrales :

                      cas d'une fonction définie par une intégrale

Convergence uniforme et dérivation "terme à terme" :    

Les conditions sont plus subtiles

si Σfn(x) est une série de fonctions numériques continûment dérivables (les fn sont dérivables et les dérivées sont continues) sur un intervalle [a,b]; si la série Σfn converge en (au moins) un point xo de [a,b] et si la série Σn des dérivées est uniformément convergente sur [a,b], alors la série des fn est uniformément convergente sur [a,b] :

        (dérivation terme à terme)

En notant f ' la somme de la série des dérivées, on peut aussi exprimer que la dérivée de la somme est la somme des dérivées :

Calcul de 1/9801, une application de ce résultat à une division très spéciale :

Convergence normale d'une série de fonctions :                   convergence uniforme

Une convergence plus forte que la converge uniforme est la convergence normale :

Une série de fonctions réelles ou complexes Σfn est dite normalement convergente sur J, s'il existe une série Sun convergente à termes positifs pour laquelle on a pour tous n de N et z de J : |fn(z)| un.

Toute série de fonctions normalement convergentes réelles ou complexes et plus généralement à valeurs dans un espace vectoriel normé complet (espace de Banach) est uniformément convergente.

  Ce qui est normale relève d'une norme, alors pourquoi ce qualificatif de normale ? dans le cas où la série des fn(z) est à valeurs dans un espace vectoriel normé F, la norme || || remplace la valeur absolue (resp. le module) qui est norme usuelle de R (resp. C) considéré comme espace vectoriel sur lui-même. Restreignons-nous alors aux séries de fonctions bornées de J dans F. Pour de telles fonctions f, le nombre (( f )) = Supz∈J ||f(z)|| est fini et est une norme dans leur ensemble, dite norme de la convergence uniforme.

 Si la série des fn converge normalement, il existe une série Σun convergente à termes positifs telle que ||fn(z)|| un pour tout n et z. On a donc (( fn )) un et la série des (( fn )) converge donc en vertu du critère 1a. Inversement, si la série Σ(( fn )) converge, en posant un = (( fn )), on a ||fn(z)|| un pour tout n et z. La série des  fn converge donc normalement.

En conséquence : 

Dans l'ensemble des fonctions bornées de J vers F, la convergence normale d'une série de fonctions fn équivaut ici à la convergence de la série des normes (( fn )) généralement notées || fn ||.

Topologie et norme de la convergence uniforme :                 Convergence normale et calcul de π :


Pour en savoir plus :


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