ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Séries numériques, séries de fonctions, critères de convergence     » Convergence : absolue , uniforme , normale , conditions & critères | Séries de fonctions, séries entières | Séries de Fourier

Les notions de suite et de convergence d'une suite sont supposées connues. On pourra également consulter quelques définitions et résultats relatifs aux suites (progressions) arithmétiques et géométriques.

L'étude qui suit traite des séries à valeurs dans E = R ou C mais la plupart des résultats s'adaptent à des espaces métriques (resp. vectoriels normés R ou C) en remplaçant les valeurs absolues ou modules par les distances (resp. normes) correspondantes. Certains critères n'étant alors valables que si de tels espaces sont complets (espaces de Banach).

Soit (u_n) une suite à valeurs dans un espace F = R, C. On peut sommer, jusqu'à l'infini, les éléments de la suite (u_n) à partir d'un certain rang : on parle alors de série. L'élément u_n en sera le terme général. Une série est dite convergente si la suite (S_n) de ses sommes partielles, à savoir :

est convergente vers un point de F. La limite S de S_n est la somme de la série et on convient d'écrire :

 Vu que S_n - S_n-1 = u_n , si la série converge, alors S_n et S_n-1 ont même limite, donc u_n tend vers 0 :

Le terme général d'une série convergente tend nécessairement vers 0

Reste de rang n d'une série :    

Pour une série de terme général u_n, que nous noterons dans la suite Σu_n, posons :

R_n = u_n+1 + u_n+2 + u_n+3 + ...

 est appelé reste de rang n de la série Σu_n. On définit ainsi une suite. On prouvera aisément que :

Une série est convergente si et seulement si son reste R_n converge vers 0.

 ➔  Si la série converge vers S, alors R_n = S - S_n.

Série divergente :    

Une série non convergente est dite divergente. C'est dire que la suite de ses sommes partielles diverge (ne converge pas). La (célèbre) série harmonique 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ... , "somme" des inverses de tous les entiers non nuls, en est un exemple. En effet :

On trouvera la preuve de ce résultat dans le calcul de la constante d'Euler.

∗∗∗
Extrait Bac S, Antilles-Guyane, juin 2005 : »

∗∗∗
1. On considère la série de premier terme u₁ = 1, de terme général u_n = 11111...1 (n chiffres égaux à 1). Calculer S_n = u₁ + u₂ + ... + u_n
Indications : remarquer que 9S_n = (10 - 1) + (100 - 1) + ... (10ⁿ - 1) = ... Rép. : S_n = 10(10ⁿ - 1)/81 - n/9

  !   Dire qu'une série diverge ne signifie pas que les sommes partielles tendent vers l'infini :

• Par exemple, la série de terme général u_n = (-1⁾ⁿ est divergente. En effet, S_2n = 1 et S_2n+1 = -1, les sommes partielles reste finies mais ne convergent pas.

 ! Lorsqu'une série n'est pas à termes positifs, regrouper des termes ou modifier leur ordre est illicite  !
Cela peut modifier la nature de la série (convergente ou divergente) et sa somme éventuelle.

•  Exemple : la série 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + ... diverge. On peut s'en assurer en remarquant que son terme général (-1)ⁿ  valant 1 ou -1 suivant la parité de n ne tend pas vers 0. On remarque que ses sommes partielles sont alternativement  1 et 0 : la suite des sommes partielles ne converge pas. En regroupant les termes sous la forme (1 - 1) + (1 - 1) + (1 - 1) + (1 - 1) + (1 - 1) + ..., on pourrait croire que la somme existe et est nulle. En écrivant maintenant 1 + (- 1 + 1) + ( - 1 + 1) + ( - 1 + 1) +  (- 1 + 1) + ... , la somme serait 1 !!!

Grandi et la série 1 - 1 +1 - 1 + 1 - 1 + ... : »  

 ➔   Une condition suffisante pour autoriser un réarrangement des termes fut prouvé par Dirichlet en 1837, à savoir la convergence en valeur absolue :

 Série absolument convergente, série semi-convergente :    

Une série Σu_n sera dite absolument convergente si Σ|u_n| est convergente (valeur absolue dans le cas réel, module dans le plan complexe). Par opposition, la convergence de Σu_n est dite simple.

En conséquence très utile dans la pratique, vu que pour tout n, | Σ_i=o,...,n u_n | ≤ Σ_i=o,...,n |u_n|, on peut énoncer :

Toute série absolument convergente est simplement convergente.

Une série simplement convergente mais non absolument convergente est dite semi-convergente.

Un cas fondamental de série semi-convergente non absolument convergente est la suite harmonique alternée évoquée pour la première fois par Leibniz :  1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + 1/5 - 1/6 + ... = ln 2.

La série harmonique (exemple de série divergente) : »        Séries asymptotiques : »

∗∗∗
2. Prouver, sans utiliser de théorèmes de convergence que la série 1/2 + 1/6 + 1/12 + 1/20 + 1/30 + 1/42 + 1/56 + ... dont on
déterminera sans peine le terme général (il n'y a pas de piège...) est convergente et préciser sa limite. Rép. : ☼

Série commutativement convergente :    

φ désignant une permutation de N (bijection de N sur N), une série numérique Σu_n est dite commutativement convergente pour signifier que Σu_φ(n) est également convergente.

Toute série Σu_n réelle ou complexe absolument convergente est commutativement convergente
et la série Σu_φ(n) l'est aussi et a même somme.

L'exemple de la série harmonique alternée par réarrangement des termes : »

On peut aussi énoncer :

i/  Dans un espace vectoriel normé complet (» Banach) toute série absolument convergente est commutativement convergente.

ii/  Si φ une permutation de N et Σu_n une série à termes positifs, alors Σu_n et Σu_φ(n) sont de même nature (toutes deux convergentes ou divergentes) et, si elles convergent, elles ont même somme.

Famille sommable : » 
 

Dans le cas d'une série à termes strictement positifs (tout au moins à partir d'un certain rang), des conditions suffisantes de convergence (théorèmes de comparaison) sont énoncées ci-dessous, mais rappelons tout d'abord un résultat intéressant, conséquence immédiate du théorème selon lequel toute suite croissante majorée de nombres réels est convergente :

Pour qu'une série numérique positive soit convergente il faut et il suffit que la suite S_n
de ses sommes partielles soit majorée.

∗∗∗
3. Appliquer ce dernier résultat à la série de Riemann de terme général 1/n² en montrant que la suite des sommes partielles 
est inférieure à 2.- 1/n. Indications : remarquer 1/n² < 1/n(n - 1) = 1/(n - 1) - 1/n   ☼  

1a/ Série majorée :

Si la série Σv_n est  convergente et si, à partir d'un certain rang p on a u_n ≤ v_n , alors Σu_n converge

• Par exemple : la série de terme général u_n = 1/n! (n ≥ 0) converge car à partir du rang n = 3, on a u_n < 1/2ⁿ. Or, la série de terme général 1/2ⁿ (n ≥ 0) est géométrique de raison 1/2 < 1. Elle converge vers 2. Par suite, la série des u_n converge et sa somme est inférieure à 3 (on ajoute u_o et u₁) et supérieure à 2 = u_o + u₁. C'est le nombre e.

Le nombre e selon Euler : »

 ➔   A contrario, si la série Σv_n est  divergente et si, à partir d'un certain rang p on a u_n ≥ v_n , alors Σu_n diverge.

• Par exemple : la série de terme général u_n = 1/ln(n)  (n ≥ 2) est divergente (ln = logarithme népérien) : comparer à la série harmonique.

2/ Séries de même nature :      

2a.  Si u_n et v_n sont proportionnels (il existe k non nul tel que u_n = kv_n) converge vers un réel non nul, alors les séries Σu_n et Σv_n sont de même nature (toutes deux convergentes ou divergentes).

2b.  Si la suite u_n /v_n converge vers un réel non nul, alors les séries Σu_n et Σv_n sont de même nature (toutes deux convergentes ou divergentes).

∗∗∗
 4. Un p'tit exo d'application ? : étude de la série de terme général 2n/(2n-1)^k

2c.  Si u_n et v_n sont des infiniment petits équivalents pour n tendant vers l'infini, alors les séries Σu_n et Σv_n sont de même nature (toutes deux convergentes ou divergentes).
Rappel : la condition u_n →0 est une condition nécessaire de convergence. Dans ces deux cas b et c, on parle de séries équivalentes.

2d. Soit Σu_n une série à termes positifs; si la suite (u_n) décroît à partir d'un certain rang, alors la série Σu_n est de même nature que celle de terme général où k désigne un entier naturel au moins égal à 2.

3/  Règles de d'Alembert :    

3a.  Si, à partir d'un certain rang, on a u_n+1 /u_n ≤ k < 1 alors Σu_n converge. Si, à partir d'un certain rang, u_n+1 /u_n ≥ 1, Σu_n diverge (c'est le cas si le rapport tend vers 1 par valeurs supérieures).

3b.  Si, à partir d'un certain rang, on a u_n+1/u_n ≤ v_n+1/v_n où Σv_n est une série convergente, alors Σu_n converge. Ce résultat conduit au critère de d'Alembert  rappelé ci-dessous :

3c. Soit Σu_n une série à termes strictement positifs pour laquelle le rapport u_n+1 / u_n à une limite L. Dans ces conditions :

• La série converge si L < 1;  » En particulier si le rapport tend vers 0, la série est convergente.
• La série diverge si L > 1;

• Le cas L = 1, est litigieux et demande une étude plus approfondie;

• le cas u_n+1 / u_n décroissant vers 1 est divergent.

La série auxiliaire a pour terme général v_n = kⁿe^{-(n.ln k)²}. Utilisons le critère de d'Alembert : le rapport v_n+1/v_n peut s'écrire k/e^{(ln k)²(2n + 1)} tendant vers 0 pour n infini. d'où la convergence de la série des v_n et celle des u_n.

Règle de Duhamel : »                  Règle de Kummer : »

4/ Règle n^αu_n :   
α désignant un réel positif, si la suite de terme général n^αu_n converge vers une limite finie non nulle, alors la série Σu_n converge si α > 1, diverge sinon.

∗∗∗ Exemple d'application de cette règle

 ➔    Ce résultat est une conséquence de cet important cas particulier :

Les séries, 1 + 1/2^p + 1/3^p + 1/4^p + 1/5^p + 1/n^p + ... dites séries de Riemann, converge pour p > 1, diverge sinon.

Preuve : on regroupe les termes par groupes de 2, 4, 8, 16, ... termes (puissances successives de 2) de la façon suivante :

1 + (1/2^p + 1/3^p) + (1/4^p + 1/5^p + 1/6^p  + 1/7^p ) + (1/8^p + 1/9^p + 1/10^p  + 1/11^p + 1/12^p + 1/13^p + 1/14^p  + 1/15^p ) + ...

La somme est alors inférieure à :

 1 + 2/2^p + 4/4^p + 8/8^p + 16/16^p + 32/32^p + ... = 1 + 2^p-1 + 1/4^p-1 + 1/8^p-1 + 1/16^p-1 + ...

On reconnaît la somme des termes de la progression géométrique (série géométrique) de 1er terme 1, de raison 1/2^p-1 qui converge si cette raison est strictement inférieure à 1, donc si p > 1. Remarquer que pour p = 1, on retrouve la série harmonique.

∗∗∗
5. Prouver que la série 1 + 1/3² + 1/5² + 1/7² + 1/9² + 1/11² + 1/13²  + 1/15² +... est convergente.

Séries de Riemann et fonction zêta : »        Cas des séries alternées (critère de Leibniz) : »

Critères de Cauchy pour les séries :       

5a/ La série numérique Σu_n est convergente si et seulement si pour tout k, k entier : S_n+k - S_n = u_n+1 + ... + u_n+k tend vers 0 lorsque n tend vers l'infini (S_n désigne la somme partielle de rang n).

 !   Dans le cas plus général d'une série à valeurs dans un espace métrique ou vectoriel normé F, le critère se réduit à une condition nécessaire de convergence. La condition devient suffisante si F est complet (F = R ou C ou tout espace vectoriel normé de dimension finie) : » espace métrique , espace de Banach.

» Cas des séries de fonctions | cas des suites : suites de Cauchy

5b/  Un second critère fort utile (enseigné par Cauchy à l'École polytechnique) lorsque le terme général s'apparente à une puissance n-ème dans le cas réel ou complexe :

Soit r_n  = |u_n| (module dans le cas complexe); si lim (r_n)^1/n = λ < 1, alors la série Σu_n converge. Si lim (r_n)^1/n = λ > 1,
alors la série Σu_n diverge. Le cas λ = 1 est litigieux (on ne peut rien conclure).

 ➔  Dans le cas d'une série à termes strictement positifs, si lim u_n+1/u_n (» règle de d'Alembert) existe finie ou non, c'est aussi la limite de (u_n)^1/n, la réciproque étant fausse (» suites numériques & exemple). Voici un contre-exemple :

•  soit (u_n) définie par u_n = 2 + (-1)ⁿ. On a u_n = 3 si n pair et u_n = 1 si n impair. Suivant que n est pair ou impair, u_n+1/u_n prend alors les valeurs 1/3 et 3 : pas de limite. Mais (u_n)^1/n vaut 1 si n est impair et 3^1/n si n pair et on conclura aisément que (u_n)^1/n converge vers 1.

∗∗∗
6. Vérifier au moyen de ce critère que les séries de terme général u_n = e^1-n et w_n = e^-vn avec v_n = (n²+1)/(n+1) sont convergentes.
Rép : on a u_n > 0 et (u_n)^1/n = (e^1-n)^1/n = e^(1-n)/n tendant vers e^-1 = 1/e < 1 : la série Σu_n converge. De même w_n > 0 et (w_n)^1/n = e^-vn/n;
v_n/n =  (n²+1)/(n²+n) converge vers 1. D'où  (w_n)^1/n converge là aussi vers 1/e < 1 : la série Σw_n converge.

6/ Comparaison à une intégrale (critère intégral de Cauchy) :

L'intégrale au sens de Riemann, basée sur la notion de fonction en escalier, conduit à ce résultat fort pratique :

Si u_n = f(n) est une fonction positive et décroissante de n, alors la série Σu_n est de même nature que l'intégrale de f sur [0,+∞]. Même résultat si u_n = f(a + n) et l'intégrale de f sur [a,+∞], a >0.

C'est ainsi que l'on peut prouver la convergence de la série de Riemann de terme général 1/n^p dont il est fait état ci-dessus.

∗∗∗
7. Utiliser le critère intégral afin de prouver que la série de terme général u_n = 1/ln(nⁿ)  (n ≥ 2) est divergente.
Autres exemples d'étude : Σn!/nⁿ , Σ2n/(2n - 1)^k , développement en série de atn x , autres...

  Critère de Dirichlet : »          Critère d'Abel : »          Autres critères : »         Séries de Bertrand : »

Considérons deux séries Σu_n et Σv_n et leurs sommes partielles U_n = u_o + u₁ + u₂ + ... + u_n  et  V_n = v_o + v₁ + v₂ + ... + v_n. Faire le produit des deux séries consiste à sommer tous les produits du type u_iv_j, mais pas n'importe comment car cela peut changer la somme ou la nature de la série (» Dirichlet). Écrivons-les sous forme d'un tableau :

On décide de sommer suivant les diagonales "nord-est → sud-ouest" : elle s'écrit donc :

u_ov_o  + (u_ov₁ + u₁v_o) + (u_ov₂ + u₁v₁ + u₂v_o) + (u_ov₃ + u₁v₂ + u₂v₁ + u₃v_o) + ...

C'est ainsi que la série de terme général

w_n = Σu_kv_n-k    (0 ≤ k ≤ n)

soit :

w_n =  u_ov_n  + u₁v_n-1  + u₂v_n-2  + ... + u_n-1v₁  + u_nv_o

est appelée série produit au sens de Cauchy.

Théorème de Cauchy (1821) :         

Lorsque les séries sont absolument convergentes, la série-produit l'est aussi et sa somme est le produit des sommes de Σu_n et Σv_n.

Autrement dit :

                  »  Théorème de Mertens

∗∗∗  Contre exemple de Cauchy
8. Considérer la série de terme général 1 -1/√2 + 1/√3 - 1/√4 + 1/√5 - ... et la série produit par elle-même.
a)  Montrer que son terme terme général s'écrit :

b)  En utilisant que la moyenne arithmétique (a+b)/2 de deux nombres positifs  a et b est supérieure à leur moyenne géométrique √(ab),
montrer que la série produit diverge.  » moyennes arith. et géom.

 ➔  L'usage des séries produits se rencontre couramment dans le cas des séries de fonctions étudié au paragraphe suivant. Voici, en avant-première..., une application  à la fonction exponentielle lorsqu'elle est définie par :

Cette série est clairement absolument convergente (utiliser le critère de d'Alembert) pour tout réel x. Étudions le produit e^x x e^y : c'est la série-produit de terme général :

Or n! = k!(n - k)! x C_n^k , donc u_n = (x + y)ⁿ/n! :  c'est dire que e^x x e^y = e^{x + y}.

Fonction exponentielle complexe : »          Transformation d'Abel : »
 

Un exemple fondamental de séries de fonctions est donné par la série de puissances, de terme général xⁿ, dite série géométrique de raison x. Cette série converge pour tout x réel ou complexe de module | x | < 1. En effet, eu égard à la formule que l'on établit facilement par multiplication ou par récurrence, on a :

et si x ∈ ]-1,1[, la somme est1/(1 - x) car xⁿ⁺¹ a pour limite 0. Il est licite d'écrire et de retenir :

Par conséquent :

Σf_n converge uniformément vers f sur J   ssi   la suite Sup_x∈J | R_n(x)| converge vers 0

• Exemple : La série définie sur [0,a], 0 < a < 1, par f_n(x) = xⁿ est uniformément convergente, de somme 1/(1 - x). En effet, dans ce cas très simple, on a S_n(x) = 1 + x + ... + xⁿ = (1 - xⁿ⁺¹)/(1 - x) et par conséquent | R_n(x) | = xⁿ⁺¹/(1 - x) et, sur [0,a], on a  | R_n(x) | < aⁿ⁺¹/(1 - a) du fait de la croissance de x → xⁿ⁺¹/(1 - x) pour tout entier n et vu que 0 < a < 1, la convergence vers 0 de R_n(x) est uniforme.

• Remarquer que si [0,1[ remplace [0,a], la série Σf_n converge simplement mais ne converge plus uniformément

La formulation du critère de Cauchy pour les séries numériques s'adapte aux séries de fonctions à valeurs dans R ou C :

• La série de terme général f_n(x) = xⁿ/n!, de somme partielle S_n = 1 + x/1! + x²/2! + x³/3! + ... + xⁿ/n!, est uniformément convergente sur tout intervalle J =  [a,b] car |f_n(x)| ≤ |b|ⁿ/n! pour tout x de J et la série de terme général positif u_n = |b|ⁿ/n! est convergente; on s'en convaincra en appliquant le critère de d'Alembert : u_n+1/u_n = b/(n + 1) < 1 dès que n ≥ b. On a reconnu là le développement en série de la fonction exponentielle x → e^x.

» Weierstrass

Convergence uniforme et continuité :       

Si f_n(x) est le terme général d'une série uniformément convergente sur J et si (toutes) les f_n sont continues en un point x_o de J (resp. sur J), alors la somme f de la série est continue en x_o (resp. sur J).

Convergence uniforme et intégration "terme à terme" :    

Si f_n(x) est le terme général d'une série numérique réelle uniformément convergente sur un intervalle [a,b] et si les f_n sont continues sur [a,b], alors :

    (intégration terme à terme)

Autrement dit, en notant f est la somme de la série, l'intégrale de la somme est la somme des intégrales :

                      » cas d'une fonction définie par une intégrale

Convergence uniforme et dérivation "terme à terme" :    

Les conditions sont plus subtiles : 

si Σf_n(x) est une série de fonctions numériques continûment dérivables (les f_n sont dérivables et les dérivées sont continues) sur un intervalle [a,b]; si la série Σf_n converge en (au moins) un point x_o de [a,b] et si la série Σf '_n des dérivées est uniformément convergente sur [a,b], alors la série des f_n est uniformément convergente sur [a,b] et :

        (dérivation terme à terme)

» En notant f ' la somme de la série des dérivées, on peut aussi exprimer que la dérivée de la somme est la somme des dérivées :

Calcul de 1/9801, une application de ce résultat à une division très spéciale : »

Convergence normale d'une série de fonctions :                 » convergence uniforme

Une convergence plus forte que la converge uniforme est la convergence normale :

Une série de fonctions réelles ou complexes Σf_n est dite normalement convergente sur J, s'il existe une série Su_n convergente à termes positifs pour laquelle on a pour tous n de N et z de J : |f_n(z)| ≤ u_n.

Toute série de fonctions normalement convergentes réelles ou complexes et plus généralement à valeurs dans un espace vectoriel normé complet (espace de Banach) est uniformément convergente.

 ➔    Ce qui est normale relève d'une norme, alors pourquoi ce qualificatif de normale ? dans le cas où la série des f_n(z) est à valeurs dans un espace vectoriel normé F, la norme || || remplace la valeur absolue (resp. le module) qui est la norme usuelle de R (resp. C) considéré comme espace vectoriel sur lui-même. Restreignons-nous alors aux séries de fonctions bornées de J dans F. Pour de telles fonctions f, le nombre (( f )) = Sup_z∈J ||f(z)|| est fini et est une norme dans leur ensemble, dite norme de la convergence uniforme.

•  Si la série des f_n converge normalement, il existe une série Σu_n convergente à termes positifs telle que ||f_n(z)|| ≤ u_n pour tout n et z. On a donc (( f_n )) ≤ u_n et la série des (( f_n )) converge donc en vertu du critère 1a. Inversement, si la série Σ(( f_n )) converge, en posant u_n = (( f_n )), on a ||f_n(z)|| ≤ u_n pour tout n et z. La série des  f_n converge donc normalement.

En conséquence : 

Dans l'ensemble des fonctions bornées de J vers F, la convergence normale d'une série de fonctions f_n équivaut ici à la convergence de la série des normes (( f_n )) généralement notées || f_n ||_∞.

Topologie et norme de la convergence uniforme : »       Convergence normale et calcul de π : »

 ➔  Pour en savoir plus :

• Tout traité d'analyse niveau DEUG sciences. On peut citer :

• Mathématiques générales, algèbre-analyse, Ch. Pisot & M. Zamansky. Ed. dunod, Paris, 1956.

• Des MathÉmatiques pour les Sciences, par Caude Aslangul (univ. Paris 6). Concepts, méthodes et techniques pour
  la modélisation. Éd. De Boeck - Bruxelles, 2011.

• Cours de mathématiques, Tome 2, Jacqueline Lelong-Ferrand, Jean-Marie Arnaudiès
  Classes préparatoires, 1er cycle universitaire - Dunod Université - 1978 (4 volumes)

• Mathématiques L2 Cours complet avec 700 tests et exercices corrigés
  ouvrage collectif sous la direction de Jean-Pierre Marco. Éd. Pearson Education - Paris, 2007

• Leçons sur la théorie des fonctions, par Émile Borel (1898), univ. californie sur archive.org :
  https://archive.org/details/leconstheoriefon00borerich   » Sur la convergence de certaines séries réelles Ch. V, page 62