ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

TAYLOR Brook, anglais, 1685-1731        notion de série , cas de plusieurs variables
          Jean Sébastien Bach (1685-1750), génial compositeur allemand

Savant éclectique, Brook Taylor s'adonna à la musique, à la peinture et à la philosophie. Il fut formé aux mathématiques  par John Machin et compléta ses études à l'université de Cambridge.

Admirateur de Newton, dont il adopta les idées et perfectionna sa méthode des fluxions, Taylor fut membre de la Royal Society de Londres (l'équivalent de notre Académie des sciences) dès 1712 (il n'a que 27 ans). Il en fut le secrétaire en 1714.

En dehors de certains travaux en géométrie axés sur la perspective qui servira de base à la photogrammétrie, on lui doit principalement la publication (1715-1717) de son traité sur le développement en série des fonctions : Methodus incrementorum directa et inversa, qui engendra injustement des disputes de paternité car il fut le premier à établir de tels développements dans le cas général et non pour une fonction particulière.

La photogrammétrie (IGN, Belgique) :

Formule de Taylor :           cas complexe , cas de plusieurs variables

La célèbre formule est en fait l'aboutissement de travaux entamés auparavant par Gregory, Newton, Leibniz et Jacques Bernoulli. Selon CDSB, en 1712, dans une lettre à son ancien maître, John Machin, Taylor écrit que sa formule est née du problème de Kepler concernant le calcul de l'anomalie excentrique d'une planète :

Si f est une fonction de classe Cn dans un voisinage V du réel a (i.e. admettant des dérivées continues jusqu'à l'ordre n) et si f(n) est dérivable sur V (existence de la dérivée n+1-ème de f sur V) alors :

  , c'est à dire :

Le calcul (ou la majoration) du reste rn n'est pas étudié rigoureusement par Taylor. Un exemple de développement de Taylor convergent, mais non vers la fonction initiale, fut d'ailleurs donné par Cauchy au moyen de la fonction :

C'est pourquoi, suite à des travaux ultérieurs, sa formule est partiellement rebaptisée : formule de Taylor-Lagrange, Taylor-Young, Taylor-Laplace :

Un exemple classique : le développement en série de la fonction exponentielle ex au voisinage de zéro avec reste de Lagrange :

La fonction factorielle (n!) l'emporte sur la puissance : c'est dire que le reste rn(x) tend vers 0 pour tout x et par conséquent :

            Calculs de e :

où e est une fonction définie dans un voisinage de a et vérifiant lim xo e(x) = o.

Formule de Taylor & développement limité :

Les formules de Taylor et de Maclaurin sont les outils privilégiés pour obtenir le développement limité d'une fonction sur un intervalle. Rappelons que f est dite posséder un développement limité à l'ordre n dans un voisinage V de zéro, si pour tout x de V, on peut écrire :

f(x) = ao + a1x + a2x2 + ... + anxn + xn.e(x)
avec lim e(x) = 0 lorsque x tend vers 0

Ce ne sont pas les seuls moyens comme le montre l'exemple suivant : on sait que,

(1 + x + x2 + ... + xn)(1 - x) = 1 - xn+1

Par suite :

Par conséquent, 1 + x + x2 + ... + xn est le développement limité à l'ordre n de la fonction

au voisinage de 0.

Au moyen des notations de Landau, on écrit aussi plus simplement o(xn) au lieu de xn.e(x) pour signifier un reste dont le quotient par xn tend vers 0. Par exemple, dans le développement ci-dessus, au voisinage de x = 0, on peut écrire :

1/(1 - x) = 1 + x + x2 + x3 + o(x3)

car on est assuré que le reste x4 + x5 + ... admet x3 en facteur d'une quantité dont la limite en 0 est nulle.

   Développements "usuels"

Fourier et ses séries :
Cas de plusieurs variables :

Sans être insoluble, le problème est un peu plus compliqué... Le cas de 2 variables étudié ici se généralise cependant : en posant x = a + h, y = b + k, h et k "petits", il s'agit de développer f(a + h, b + k). Posons pour cela x = a + ht, y = b + kt :

g(t) = f(x,y) = f(a + ht, b + kt), t désignant un paramètre indépendant de x et de y

On remarque que g(0) = f(a,b)  et on peut appliquer à g(1) = f(a + h, b + k) la formule de Maclaurin :

On exprime les dérivées d'ordre p, dpg/dtp, en utilisant la formule de différenciation d'ordre p de la fonction de 2 variables g(t) = f(a + ht, b + kt) en remarquant que dx = h.dt et dy = k.dt :

dpg(t)/dtp =  (/xdx + /ydy)(p) f /dtp  =  (h./x + k./y)(p) f /dtp

Donc :

D'où la formule de Taylor pour deux variables :

  Condition d'extremum :  

Si on pose Δf = f(a + h, b + k) - f(a,b), pour h et k suffisamment petits, Δf sera du signe  du 1er terme du développement (de degré 1 en h et k). C'est dire que si ce premier terme n'est pas identiquement nul, la fonction f ne peut admettre au point (a,b) un maximum ou un minimum. Plus généralement, on peut énoncer :

f désignant une fonction numérique définie sur un ouvert U de Rn admettant au moins des dérivées continues d'ordre 1, une condition nécessaire d'extremum en un point a = (a1, a2, ... , an) est f/x1 = f/x2 = ... = f/xn = 0 au point a.

Un tel point a est appelé point critique de f.

Dans le cas de deux variables, en considérant la surface z = f(x,y), f/x = f/x =0 signifie que le plan tangent en a est horizontal. f admet un maximum (resp. minimum) signifie alors que les points de la surface se situent en dessous (resp. au-dessus) de ce plan tangent, Δf ayant au voisinage de a le signe du terme du second ordre dans le développement de Taylor : Δf > 0 en cas de minimum, Δf > 0 en cas de maximum.

Lorsque Δf ne conserve pas un signe constant au voisinage de a, les points de la surface se situent de part et d'autre du plan tangent : on parle de col ou de point selle :

Fonction de plusieurs variables, extrema et déterminant de Hesse :              Indicatrice de Dupin :

Un petit exemple de développement :

Développement de f(x,y) = x3y2 - x2y + 2x + 1 au point (a,b) = (1,1), à l'ordre 2.

On a :

f(1 + h,1 + k) = 3 + 3h + k + (4h2 + 8hk + 2k2)/2! + [6h3(1 +qk)2 + 36h2k(1 +qh)(1 +qk) - 6h2k + 18hk2(1 +qh)2]/3!

On pourra finalement écrire :

f(1 + h,1 + k) = 3 + 3h + k + 4hk + 2h2 + k2 + R(h,k)

avec R(h,k) = hk(5h + 3k)+ h3 + o(h3) + o(k2).

Prenons un exemple numérique, h = k = 1/100 :

f(1.01 , 1.01) = 3 + 0,04 + 0, 0004 + 0, 0003 + R(1/00, 1/100) = 3,0407 + R(1/00, 1/100). Une bonne approximation puisque la valeur exacte est de 3,04070905.

Pour en savoir plus :

Cotes  Bernoulli Nicolas Ier
© Serge Mehl - www.chronomath.com