ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges
La structure de groupe
Sous-groupe , Groupes finis , Groupe
quotient, groupe résoluble
Autres structures
Exemples et exercices tout au long de la page et
ici |
Un groupe G est un ensemble muni d'une opération (loi de composition interne), notée ici T, qui à tout couple (x,y) de G associe un élément, noté xTy, de G pour laquelle les axiomes suivants sont vérifiés :
g1/ la loi T est associative : (xTy)Tz = xT(yTz) pour tout x, y et z de G
g2/ la loi T possède un élément neutre n : xTn = nTx = x pour tout x de G
g3/ tout élément x de G possède un symétrique x' pour la loi T : xTx' = x'Tx = n
Le groupe G muni de sa loi T est souvent noté (G,T).
L'appellation groupe est de
Galois,
la structure est de Cauchy,
l'axiomatisation de Cayley. Le terme fut
sans doute choisi pour signifier un ensemble dont les éléments sont
unis par des propriétés opératoires
remarquables.
2 - (3 - 5); en effet : - 6
4.
On parle dans ce cas de magma : structure algébrique rudimentaire.
Opposé et inverse : au collège (et au lycée...), on
confond souvent inverse et opposé : l'opposé est le symétrique pour
l'addition, l'inverse est le symétrique pour
la multiplication. l'opposé de 4 est -4 car 4 + (-4) = 0; l'inverse de 4 est
0,25 car 4 x 0,25 = 1.
L'inverse de n (non nul) pour la multiplication n'est autre que 1/n; l'inverse de 4 c'est 1/4 = 1÷ 4 = 0,25. L'inverse de n a même signe que n. L'inverse de -12/0,6 est -0,05; en effet -12/0,6 = -120/6 = -20; l'inverse est donc -1/20 = -0,05.
Dans un
groupe (G,T) tout élément x est régulier (simplifiable) : x T a = x Tb
a = b
(simplification à gauche) et x T a = x Tb
a = b
(simplification à droite).
preuve
Groupe abélien :
Un groupe est dit abélien (du nom de Abel) ou commutatif si sa loi de composition est commutative : xTy = yTx pour tout x et tout y de G.
5
- 2.
2 ÷ (3 ÷ 4) = 8/3, ni commutative : 5 ÷ 4 = 1,254 ÷ 5 = 0,8.
Loi de composition interne & magma :
Homomorphisme
:
Un groupe dont la loi de composition possède des caractéristiques semblables à celle de l'addition (resp. la multiplication) dans Z (resp. dans R-{0}) est dit additif (resp. multiplicatif).
Si
(R)
désigne l'ensemble des fonctions affines bijectives de
R sur R : fonctions de la forme
x 
ax
+ b avec a non nul, ((R),
o) est un groupe non commutatif (o : loi de composition des applications). Si f désigne
x 2x
- 1 et si g désigne x
3x
, on a : f o g : x
6x
- 1 et g o f : x
6x
- 3.
Si
o(R)
est le sous-ensemble de
(R)
constitué des fonctions
x ax
(b = 0), alors (o(R),
o) est un groupe commutatif,
sous-groupe de
(R).
2(R)
désigne l'ensemble des matrices carrées
réelles d'ordre 2 de déterminant non nul,
(2(R),
)
est un groupe multiplicatif non abélien.
Dans un plan P,
considérons un carré ABCD de centre O. Notons
So
la symétrie centrale par rapport à O,
S1
la symétrie d'axe d1 passant par les milieux des
côtés [AD] et [BC],
S2
la symétrie d'axe d2 passant par les milieux des
côtés [AB] et [CD] et i l'application
identique de P.
Montrer que muni de la loi
de composition des applications,
l'ensemble : E = {i,So,S1,S2}
est un groupe
commutatif dont on dressera la table de Pythagore.
Démontrer que si (E,*) est un groupe d'élément neutre e, dans lequel tout élément est involutif
(c.à.d. x*x = e) alors ce groupe est commutatif.
| Sous-groupe : |
On nomme ainsi une partie S d'un groupe (G,*) qui, muni de la loi * de G, est aussi un groupe. Pour qu'il en soit ainsi, il faut et il suffit que :
a/ le composé x*y de deux éléments de S soit élément de S
(on dit que S est stable pour la loi *)
b/ le symétrique
x', dans G, de tout élément x de S soit aussi élément de S.
Théorème
(S,*) est un sous-groupe de (G,*) d'élément
neutre e si et seulement si e
S
et pour tous x et y
de S, x*y'
S (on
écrirait x - yS
en notation additive).
Par exemple :
2. Soit nN
et nZ = {nx, xZ}.
Montrer que nZ est un sous-groupe additif de Z.
3. Dans le groupe (C,x)
des nombres complexes, l'ensemble des nombres de module 1 est un sous-groupe
de C.
4. Dans le groupe (F,+) des fonction
numériques, l'ensemble des fonctions linéaires x
ax est un sous-groupe de
F.
Par contre :
Dans (R*,
),
soit F = [½,2]. 1F
et F contient l'inverse de tout élément de F.
(F,)
est-il un ss groupe de (R*,)
?
Groupe monogène, groupe cyclique :
Dans un groupe (G,*) d'élément neutre e et non réduit à {e}, on considère un élément a distinct de e dont on note a' le symétrique. Posons :
H = {..., a'(n), ..., a'*a'*a', a'*a', a', e , a, a*a, a*a*a , ... , a(n), ...}
en désignant par a(n) le composé de n éléments égaux à a avec la convention a(o) = e, a(1) = a. Notation semblable concernant a'. Tout élément de H admet son symétrique dans H : [a(n)]' = a'(n) et [a'(n)]' = a(n).
(H,*) est un sous-groupe commutatif de (G,*) : on parle de groupe monogène. On dit aussi que H est engendré par a. Dans le cas multiplicatif, on note plus simplement an et dans le cas additif na.
Dans le groupe multiplicatif (R-{0},),
l'ensemble H = {10n, nZ}
des puissances de 10 est un groupe monogène.
Z}
des multiples de 2 est un groupe monogène.On qualifie de cyclique un groupe monogène fini (possédant un nombre fini d'éléments). Un groupe monogène sera cyclique, s'il existe un entier p non nul pour lequel a(p) = e et le plus petit entier non nul vérifiant cette égalité est alors l'ordre du groupe. C'est le cas, par exemple du groupe multiplicatif {1, i , -1 , -i} engendré par i, le célèbre nombre complexe tel que i2 = -1. Le nombre d'éléments d'un groupe fini est son ordre.
En savoir plus sur les groupes finis,
groupes Z/nZ, groupe symétrique Sn :
Sous-groupes conjugués : Sous-groupes distingués :
| Semi-groupe : |
On appelle ainsi un ensemble muni d'une loi de composition interne (magma) dont la loi est associative commutatif et unifère dans lequel tout élément est régulier. Une telle structure peut être symétrisée (d'où son appellation).
| Groupe quotient : |
Lorsque H est un sous-groupe de (G,*), la
relation définie dans G par x ~ y 
x * y' H, y'
désignant le symétrique de y, est une
relation d'équivalence ( vérifiez-le !). L'ensemble quotient (ensemble des
classes d'équivalence) G/H, muni de la loi induite par G, est un groupe
(commutatif si G l'est).
Dans l'étude d'un groupe abstrait, l'existence et l'étude d'un groupe quotient ayant (beaucoup) "moins" d'éléments permet d'étudier plus aisément le groupe G par le biais de H et G/H. Dans le cas arithmétique des classes résiduelles modulo n, on passe d'un infinité d'éléments à n éléments !
Le concept de groupe quotient permet la
construction du groupe (Z,+) des entiers relatifs par symétrisation ainsi
que celle du groupe multiplicatif (Q*,
)
des nombres rationnels (fractions) non nuls.
Étude et exemples de structures quotients :
 Groupe opérant
sur un ensemble : |
Lorsque K un
corps commutatif d'élément unité noté 1 et E un espace vectoriel sur K, la multiplication scalaire vérifie en particulier, pour tous a, b de K et x de E :a . (b . x) = ab . x
1 . x = x
On dit que K est un domaine d'opérateurs et les propriétés ci-dessus expriment que le groupe multiplicatif K-{0} des scalaires non nuls opère sur E.
Cas général :
Plus généralement, on dit qu'un groupe (G,
), d'élément
neutre e, opère sur l'ensemble non vide E pour exprimer qu'il existe une
application de GE
dans E, loi de composition externe dans E qui à tout a de G et tout x de E
associe l'élément de E noté a
x, et telle que pour tous a, b de G
et tout x de E :
a
(b
x)
=
(ab)
x
(1)
e
x = x
(2)
La condition (1) est dite d'associativité mixte.
Théorème :
Soit (
,o)
le groupe des bijections de E muni de la loi de composition des applications. Le
groupe (G,), d'élément neutre e, opère E si et seulement s'il existe un
homomorphisme de G sur
, c'est à dire
une application Φ
de G sur tel
que Φ(ab)
= Φ(a) o Φ(b).
Preuve : i/ Si (G,),
d'élément neutre e, opère sur E au moyen de la loi
, soit g
G. Posons pour tout
x de E, φg(x) = g
x. On définit
ainsi une application φg de E dans E. Pour tous a et b de G, on a φa*b(x) =
(ab)
x et, par
distributivité mixte : φa*b(x) = a
(b
x) = a
φb(x)
= φa(φb(x)) = (φa o
φb)(x). Si on note
l'ensemble
des applications de E dans lui-même, l'application Φ : g
φg
vérifie donc φa*b = (φa o
φb) : homomorphisme de (G,)
dans (,o).
Montrons maintenant que les φg sont bijectives : pour tout g de
G, notons g' son inverse pour la loi de
G. Pour tout x de E, on a φg o
φg' (x) = φg'*g(x) = φe(x) =
g
x = x. Donc φg o
φg' = φg'*g(x) = idE. Selon
fonctions, théorème2, φg
est bijective et (φg)-1 = φg'
: φg est donc une bijection de E. Ce qu'il fallait démontrer.
ii/ Inversement, supposons qu'il existe un homomorphisme de G sur
, c'est à dire
une application Φ
de G sur tel
que Φ(ab)
= Φ(a) o Φ(b). Définissons la loi externe de E par
Φ(g)(x) = g
x. On a : a (b
x) =
Φ(a)(Φ(b)(x)) = (Φ(a) o
Φ(b))(x) = Φ(ab)
x = (ab)
x. Enfin,
e
x = Φ(e)(x) =
idE(x) = x car dans un homomorphisme de
groupe, l'image de l'élément neutre de départ est l'élément neutre du groupe
image.
Ce théorème permet de prouver l'important théorème suivant attribué à Cayley :
Théorème de Cayley :
Tout groupe fini d'ordre n est isomorphe à un sous-groupe du groupe symétrique Sn.
Preuve :
il suffit de choisir le cas particulier E = G. Dans ce cas, pour tout x de G, φg(x) = g
x = gx.
L'homomorphisme Φ : g
φg
est injectif, est donc bijectif de G sur le sous-groupe Φ(G). G étant de
cardinal fini, il en est de même de Φ(G) isomorphe à G. Les bijections φg
(appelées translations à gauche par identification aux translations g + x
du cas additif) sont des permutations de G. D'où le résultat.
Par exemple :
reprenons le cas de cet exercice. Posons F =
{1,2,3,4}. Il y a 4! = 24 permutations des éléments de F constituant S4. Identifions A, B, C, D
à 1, 2, 3, 4. On vérifiera que les 4 symétries i, So, S1 et S2 étudiées
s'identifient respectivement à id : (1,2,3,4)
(1,2,3,4), p1 : (1,2,3,4)
(3,4,1,2), p2 : (1,2,3,4)
(4,3,2,1), p3 :(1,2,3,4)
(2,1,4,3)
et que ces permutations involutives constituent un sous-groupe commutatif
d'ordre 4 de S4.
Les groupes finis et le groupe
symétrique Sn :
Pour
en savoir plus :
Groupe de Lie (groupe topologique) :
les exercices suivants sont indépendants
1.
Montrer que dans (Z,*) avec a * b = |a - b| , 0 est
neutre et tout élément est son propre et unique symétrique.
(Z,*) est-il un
groupe ?
2.
On considère sur l'intervalle réel J = [1,
[,
le magma
(J,*) défini par :
Montrer que 1 est neutre dans (J,*) et que tout élément
est son propre et unique symétrique. (J,*) est-il un groupe ?
3. Montrer que le magma (N,*) défini par :
est associatif et unifère. (N,*) est-il un groupe ?
4. Montrer qu'un magma associatif (J,*) admettant un élément neutre à droite (resp. à gauche) et dans lequel tout élément possède un symétrique à droite (resp. à gauche) est un groupe.
6.
Dans un groupe abélien
(G,T), appelons loi inverse de T, la loi notée
définie dans G par : a
b = aTb' où b' désigne le
symétrique de b dans (G,T).
a)
a
a
(a
a)
est associative.
est commutative.
coïncident.
classes
résiduelles
Pour
en savoir plus :
