ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

NEWTON Isaac, anglais, 1642-1727
     » Formule et série du binôme | Calcul différentiel  (fluxions) | Dév. en série | Méthodes de Newton Cotes | Méthode de Newton-Raphson

Né prématuré dans une famille d'exploitants agricoles,  Isaac Newton ne connut pas son père, décédé avant sa naissance. Sa mère se remaria, laissant son fils de santé fragile à la garde de sa grand-mère.  Avec l'aide de son oncle et de son maître d'école, il put entrer au Trinity College de l'université de Cambridge, voué à une carrière d'agriculteur.

Mais Newton s'intéresse à la mécanique céleste et grâce au soutien de son professeur à Cambridge, Isaac Barrow, auquel il succède à seulement 26 ans, il devient l'illustre physicien, philosophe et mathématicien, aujourd'hui universellement connu. Président de la Royal society (1703), il fut fait chevalier en 1705.

La fin du 17e siècle marque la fin de l'inquisition en Europe et il sut allier les progrès de la science aux idées théologiques de son temps. Affirmer la rotation de la Terre sur elle-même et autour du Soleil ne menait plus au bûcher... (» Galilée). à noter que les premières publications de Newton, dès 1669, furent des rédactions de résultats de son maître Isaac Barrow. Ce grand savant est inhumé à l'abbaye de Westminster.

L'inquisition en France  : »                 

Newton étudia les lois de la chaleur : on lui doit les lois de la thermodynamique. Il décomposa la lumière blanche (1669) et fut le constructeur (1671) du télescope à réflexion, inventé par Gregory 8 années plus tôt, et bien supérieur, en qualité d'observation, à la lunette astronomique de Galilée : le télescope utilise comme objectif un miroir parabolique (concave à l'époque de Newton) concentrant la lumière en son foyer et renvoyé dans l'œil de l'observateur par un petit miroir plan.

         

Miroir concave & miroir parabolique : » 

Newton, père de la gravitation universelle (1687) :

Dans ses Philosophiae Naturalis Principia Mathematica (Principes mathématiques de philosophie naturelle, 1687), Newton formule la célèbre loi selon laquelle les corps célestes s'attirent entre eux suivant une force d'intensité proportionnelle à leurs masses m et m' et inversement proportionnelle au carré de la distance d qui les sépare :

F = G × mm'/d2

Le coefficient G est la constante gravitationnelle (universelle) : G ≅ 6,6738 × 10-11 Nm2/kg2. Connue sous le nom de principe (ou théorie) de la gravitation universelle, cette hypothèse permet d'établir la seconde loi de Kepler.

Le newton N, unité de force  : »

Le lien entre la pesanteur (accélération de la-) notée g et la constante gravitationnelle G est régie par g = G × M/R2, où M est la masse de la Terre de rayon R (ou toute autre planète ou satellite assimilée à une sphère homogène dont la masse serait concentrée en son centre). Cela correspond à m' = 1, R = d. Le poids d'un objet est alors P = mg qui ne devrait pas s'exprimer en kilogrammes... :

Distinguo masse et de poids sur YouTube : »          La notion de potentiel  : »         

 ➔   Selon la légende, Newton aurait découvert la loi de la gravitation en observant tomber une pomme. Mais il faut savoir que le physicien et astronome anglais Robert Hooke (1635­1703) travailla sur le sujet et on lui attribue la paternité de cette loi qu'il ne sut étayer rigoureusement.

» Noter l'analogie : en physique, la loi de Hooke exprime que la déformation d’un solide élastique est proportionnel à la contrainte qu'il subit et dans le cas d'une barre de métal soumise à une force de traction, l'allongement a est inversement proportionnel à sa section, donc de la forme a = k/r2 (barre cylindrique de rayon r) ou a = k/c2 (barre de section carrée).

 i  C'est dans les Principia qu'apparaît pour la première fois la locution mécanique rationnelle pour désigner l'étude théorique des lois régissant le mouvement, se distinguant de la mécanique (tout court) en tant que technologie s'appliquant aux mécanismes des machines. Noter que mécanique provient du grec mêkhanikos = ensemble des pièces constituant une machine et mêkhanê = machine...

» Galilée , Einstein

L'aube du calcul différentiel et intégral, le calcul des fluxions :

En mathématiques, Newton étudia les travaux de Wallis relatifs aux courbes planes et à leurs tangentes. Il étudiera en particulier les courbes algébriques du 3ème ordre et étudiera leur classification.

Poursuivant ainsi les travaux de son maître Barrow, Newton est considéré, avec Leibniz, comme le cofondateur du calcul infinitésimal (calcul différentiel et intégral) qu'il expose dans son traité intitulé Methodus fluxionum et serierum infinitarum soit Méthode des fluxions et des séries infinies en 1671 (séries devient suites dans la traduction française !?...).

 ➔   Cette paternité est à l'origine de graves différends entre les deux grands mathématiciens. L'histoire semble prouver que Newton, qui accusa Leibniz de plagiat, semble avoir été de très mauvaise foi. Dans le document ci-contre, de la BnF, vous pourrez zapper la préface en cliquant sur ce lien.

» Cavalieri , Riemann

Cependant, les notions de "limite" et de "dérivée" d'une fonction (qualifiée de fluente) ne sont pas encore explicitées. Par le biais de la mécanique, on s'intéresse au comportement local des courbes planes par l'étude de leurs tangentes et de leur pente : la fluxion.

Certes voisin de la notion actuelle de dérivée, le concept de fluxion est une approche mécanique et géométrique, non analytique. Newton notait (y pointé) ce nombre équivalent au dy/dx introduit par Leibniz avec la géniale notion de différentielle. Efficace dans l'étude des courbes planes, les fluxions s'avérèrent peu commode dans ce qui deviendra "sur le continent" le calcul différentiel développé en particulier par les Bernoulli, d'Alembert, puis Euler.

Ce n'est qu'au 19è siècle, avec l'écossais James Ivory (1769-1842) puis, principalement l'anglais Robert Woodhouse (1773-1827) soutenu en particulier par Peacock, Babbage et John Herschel à l'université de Cambridge, que les fluxions sont définitivement abandonnées (vers 1820) au profit de notre calcul différentiel actuel imaginé par Leibniz, et les notations pratiques de Lagrange, comme f(x) et f'(x), s'imposeront alors au fil des années.

Fluxion selon d'Alembert : »              Avis de d'Alembert sur la paternité du calcul différentiel  : »
 
Formules de Newton d'interpolation par différences finies, dite aussi de Gregory-Newton :

En cette aube du calcul différentiel, branche du calcul de l'infiniment petit, baptisé calcul infinitésimal, regroupant le calcul intégral et le calcul des variations, les mathématiciens, souvent brillants physiciens, cherchèrent à le mettre en œuvre dans la résolution de problèmes concrets conduisant à des équations différentielles dont les solutions ne s'obtenaient pas par quadrature (résultat d'un calcul intégral).

Les quantités finies s'opposent alors aux quantités infinitésimales infiniment petites. Par différence finie, on entend alors la différence de deux quantités finies. Écrire :

pour h "petit" (mais non infiniment petit...), fournit une approximation de la dérivée première d'une fonction f par différences finies, rapport Δf/Δx de l'accroissement de f pour un petit accroissement Δx = (x + h) - x de la variable.

La précision de l'approximation dépend du bon choix de h : trop grand, l'approximation sera très grossière, trop petit,  l'approximation sera difficilement calculable eu égard à la forme 0/0 (de nos jours : erreurs d'arrondi de la calculatrice ou de l'ordinateur).

Calcul approché d'un nombre dérivé : »

Les différences finies de Newton s'utilisent encore de nos jours pour calculer, sur ordinateur, des nombres dérivés f(n)(xo) : pour i entier et de "petites" valeurs de h, on pose :

Lorsque h devient infiniment petit, il apparaît que la limite du rapport Δkfo/k!hk n'est autre que f(k)(xo), nombre dérivé k-ème de f au point xo.

∗∗∗
Pour s'en convaincre : calculer Δ2fo/2h2 et comparer au calcul approché de f "(x).

 ➔   On remarquera que si f est une fonction dérivables de deux variables, une approximation de la dérivée partielle ∂f/∂x en un point (xo,yo) peut être obtenue par :

Avec ses fluxions, son interpolation par différences finies et sa méthode d'intégration terme à terme (interprétée en tant que aire sous la courbe), Newton annonce la très prochaine formule de Taylor (1715).

 Méthode d'Euler pour la résolution des équations différentielles y' = f(x,y) et y" = f(x,y,y') : »

Formule du binôme de Newton et identités remarquables, série du binôme :

où les Cnp désignent le nombre de combinaisons distinctes de p objets parmi n dont la formule de calcul s'exprime par :

 ➔  Cette très célèbre formule du binôme est issue de temps plus anciens. Tout comme le triangle arithmétique attribué à Pascal, on en trouve l'usage en Chine et dans le monde Arabe dès le 11è siècle.

La formule permet un développement rapide des puissances n-èmes d'une expression du type a + b. elle conduit aux fameuses identités remarquables apprises dès le collège. Au delà de n = 3, on utilise le triangle de Pascal afin d'obtenir rapidement la séquence des combinaisons présentes dans le développement.

Par exemple :

En particulier :

(1 + 1)n = Cn0 + Cn1 + Cn2 + ... Cnn-1 + Cnn  = 2n

Pascal et l'analyse combinatoire : »            Exercices sur les identités remarquables (niveau 3ème) : »

♦ Une belle identité due à Diophante d'Alexandrie :

 (a2 + b2)(c2 + d2) = (ad + bc)2 + (ac - bd)2

∗∗∗
On suppose x est positif et (x + 1/x)2 = 5. Sans chercher à calculer x, calculer la valeur numérique de la somme x3 + 1/x3.
Rép. : x3 + 1/x3 = 2√5. Même question lorsque (x + 1/x)2 = 3. Bizarre. Où est l'erreur ?

Cas matriciel : On suppose que M et N sont des matrices carrées qui commutent : M × N = N × M. On considère alors le produit Mp × Nq , p et q entiers de N. Ce produit peut s'écrire M × M × ... × M × N × N × ... × N. Par associativité du produit matriciel et vu que M et N commutent, on peut, dans ce produit, déplacer les matrices N de droite à gauche autant que nécessaire :

M × M × ... × M × N × N × ... × N = M × M × ... × (M × N) × N × ... × N
= M × M × ... × (N × M) × N × ... × N = M × M × ... × N × M × N × ... × N
= ... = N × M × M × ... × M × N × ... × N

afin d'obtenir finalement :

 N × N × ... × N × M × M × ... × M = Nq × Mp

 ➔  C'est dire que si M et N sont des matrices carrées qui commutent, alors leurs puissances commutent également. L'addition et la multiplication des matrices étant associatives, on en déduit que la formule du binôme de Newton est valable pour toute paire de matrices qui commutent :

         ∗∗∗  voir exos_lin, exercice 10

La série du binôme :    

Poursuivant des travaux de Wallis, Newton établit la série dite du binôme pour des exposants m fractionnaires, Euler en prouva la convergences pour tout x vérifiant | x | < 1 :

 ➔  m étant fractionnaire (nombre rationnel), la somme s'étend jusqu'à l'infini et on remarquera que la formule est vraie pour m entier et prend fin dès que k = m + 1; on retrouve alors la formule du binôme énoncée plus haut.

soit :

Le développement en série des fonctions usuelles, trigonométriques en particulier :

Après les premiers résultats obtenus par Gregory et Gerhard Mercator concernant les fonctions x → ln(1 + x), logarithme népérien de  1 + x et Atanx (Arc tangente), Newton obtient les premiers développements en série des fonctions trigonométriques et de la fonction exponentielle exp(x), réciproque de ln(x) que Euler notera ex usant du nombre e = 2,7182818284590452353... :

     (arc sinus) , | x | < 1

      (arc cosinus) , | x | < 1

Les travaux de Newton sur ces développements en série débutent vers 1660, mais ses résultats seront édités beaucoup plus tard, certains même en 1736, après sa mort. Les conditions de convergence ne sont toutefois pas précisées. Leibniz, son "rival" du continent, obtiendra indépendamment les mêmes résultats.

Le développement de asn(x), Arc sinus, lui permet d'obtenir une jolie formule pour le calcul de π en choisissant x = 1/2 :

Amélioration des notations algébriques usuelles, exposants fractionnaires :

Concernant les exposants, Newton propose (1676), suite aux premiers usages commis par Wallis et Descartes, l'usage définitif des notations an , a-n (pour 1/an) , a1/2 pour √a la racine carrée (» Rudolff), a1/3 pour la racine cubique 3√a que l'on notait alors souvent à l'époque de l'illustre physicien et mathématicien, √3a ou bien encore, mais très ambigu, √ca.

 ➔  C'est au milieu du 18è siècle que la notation actuelle 3√ de la racine cubique, et plus généralement des racines n-èmes, deviendront courante (» Encyclopédie de d'Alembert). Cette notation semble apparaître pour la première fois dans un traité de Thomas Fantet de Lagny Analyse générale ou méthodes nouvelles pour résoudre les problèmes de tous les genres et de tous les degrés à l'infini (1733, » Google Livres) :


L'auteur utilise la formule de Cardan pour l'équation du 3ème degré x3 + ax = b, a = 6, b =88 :

 i  Thomas Fantet de Lagny (1660-1734), mathématicien français, professeur d'hydrographie à La Rochelle, membre de l'Académie des sciences (1696) et de la société royale de Londres. On lui doit d'intéressants mémoires relatifs à des méthodes de calcul approché des racines carrés ou cubiques et à la résolution approchée d'équations polynomiales.

Collégiens, lycéens :   

Vous connaissez déjà bien (en principe...) la racine carrée d'un nombre a notée √a : elle correspond à la mesure c du côté d'un carré dont l'aire est a : c2 = a. De manière analogue, la racine cubique d'un nombre a est le nombre dont le cube est égal à a et on note ce nombre 3√a. cette racine cubique correspond donc à la mesure du côté d'un cube dont le volume est a.

c est la racine carrée de a ⇔ c2 = a    |    c est la racine cubique de a ⇔ c3 = a

Contrairement à la racine carrée a nécessitant a ≥ 0 puisqu'égal au carré de sa racine, il n'y a pas de condition sur le signe de a dans le cas de la racine cubique. Il est tout à fait légal d'écrire :

         »  fonction racine cubique ,

La racine carrée de a peut se noter 2√a (racine deuxième) mais on évite de mentionner le "2" par souci de simplification.

 ➔   La généralisation à la racine n-ème d'un nombre n√a est définie semblablement par :

r est la racine n-ème de a  ⇔  rn = a     »  racine n-ème

Elle nécessite que a soit positif si n est pair :

Extraction de la racine carrée ou cubique selon Héron d'Alexandrie et Al-Banna : »

Méthodes de Newton-Cotes :

Cette méthode s'applique au calcul approché d'une intégrale par une interpolation polynomiale de la fonction à intégrer. Lorsque le polynôme est de degré 1 (resp. degré 2), la méthode prend le nom de méthode des trapèzes (resp. méthode de Simpson).

» Roger Cotes

Méthode de Newton, dite aussi de Newton-Raphson ou méthode des tangentes : 

Cette méthode porte sur la résolution approchée des équations numériques de la forme f(x) = 0 lorsque f s'avère dérivable au voisinage du zéro a cherché.

xn+1 = xn - f(xn)/f '(xn)

Méthode des tangentes : »            Autres méthodes : »           »  Rapshon

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