ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges
 DARBOUX Jean Gaston,
français, 1842-1917 |
Après
des études secondaires à Nîmes et une prépa à Montpellier, Darboux est reçu
premier à l'ENS (École normale supérieure) et à Polytechnique. Désireux
d'enseigner, il choisit l'ENS. Normalien, il soutint une thèse de doctorat, Sur
les surfaces orthogonales (1866) dirigée par Chasles.
Professeur de mathématiques spéciales aux lycées
Saint-Louis et Louis-le-Grand (Paris).
Darboux fonda le Bulletin des sciences mathématiques et astronomiques (1870). Maître de conférences à l'ENS(1872), il suppléa Liouville à la Sorbonne dans l'enseignement de la Mécanique rationnelle et remplaça Chasles à la Sorbonne en 1880 (chaire de géométrie différentielle, dite à l'époque géométrie supérieure).
Darboux reçut le prix Poncelet (1875) et le grand prix de l'Académie des sciences (1876) pour son Mémoire sur les solutions singulières des équations aux dérivées partielles et fut élu en cette Académie en 1884 où il remplaça Puiseux. Il sera doyen de la faculté des sciences de Paris en 1889. Parmi ses nombreux étudiants, on compte Picard, Goursat, Borel, Élie Cartan et le hollandais Stieltjes qui étudia et enseigna en France.
| La théorie des surfaces : |
Ses Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal (1887), sont une synthèse et un approfondissement de tous les apports précédents sur le sujet, en particulier les travaux de Clairaut, Meusnier, Monge, Riemann, Gauss, Dupin, Frenet, Bonnet , Ribaucour.
| L'intégrale de Darboux pour les fonctions bornées (1875) : |
En théorie de l'intégration, 20 ans après les travaux de Riemann, Darboux cherche à élargir le champ des fonctions intégrables au sens du célèbre mathématicien allemand, l'intégrale définie par les sommes de Darboux basée sur celle de Cauchy, à savoir Σmk(xk - xk-1) où mk désigne la borne inférieure (ou supérieure) sur une subdivision [xk-1, xk] d'une fonction f bornée sur un intervalle [a,b], est équivalente à l'intégrale de Riemann, mais son approche permet de montrer que, outre les fonctions bornées, les fonctions à variation bornée (donc également les fonctions monotones) et les fonctions réglées (admettant en tout point une limite à droite et une limite à gauche) sont intégrables au sens de Riemann.
➔ C'est Darboux qui introduisit dans ses travaux la dénomination somme de Riemann.
Exemple (oral CAPES, 1975) : on considère la suite (sn) définie pour n non nul par : sn = 1/(n + 1) + 1/(n + 2) + ... + 1/2n. Calculer la limite de (sn) en la considérant comme une somme de Darboux.
On pose f : [0,1] → R, f(x) = 1/(1 + x). On peut écrire :
sn = 1/n × [ f(1/n) + f(2/n) + ... + f(n/n)]
xk - xk-1 = 1/n.
On en déduit que sn converge vers l'intégrale de 0 à n de f, à savoir
ln
2.
| Un lemme de Darboux : |
Ce résultat est parfois appelé théorème des valeurs intermédiaires mais il doit être distingué de celui de Cauchy :
si f est la dérivée sur [a,b] d'une fonction g, alors f prend sur [a,b] toute valeur comprise entre f(a) et f(b)
» Le cas d’une fonction continue est trivial : si f est continue sur [a,b], f admet une primitive g sur cet intervalle et g' = f; c'est dire que f est la dérivée de g : on retrouve le théorème des valeurs intermédiaires de Cauchy.
| Fonction de Darboux : |
On pose, pour tout x réel :
On peut montrer que f est continue en tout point, mais dérivable en aucun point.
➔ Pour en savoir plus :
Les fonctions continues sans dérivées, page d'André Brouty : http://www.brouty.fr/Maths/noderiv.html
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