ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

DIRICHLET (LEJEUNE-) Peter Gustav, allemand, 1805-1859

Après des études secondaires au collège des jésuites de Bonn puis de Cologne, où il reçut, en physique, l'enseignement de Georg Ohm, Dirichlet préféra poursuivre (1822) ses études supérieures à Paris où, pour y subvenir, il fut commensal (serviteur) et précepteur dans la famille du général Foy.

Il revint en Allemagne en 1826 et sera l'élève de Gauss à Göttingen. Recommandé par Fourier, dont il avait fait la connaissance à Paris, il obtiendra, avec l'appui de von Humboldt un premier poste à Breslau (1827).

Après avoir enseigné à l'École militaire de Berlin, il sera nommé à l'université de cette ville (1839), où il lia d'amitié avec Jacobi, puis à Göttingen où il succéda à Gauss (1855). On lui doit d'importants résultats sur la théorie des groupes infinis, les séries de Fourier  les fonctions harmoniques (équations aux dérivées partielles), la théorie des nombres.

Ce grand mathématicien s'intéressera ainsi à la physique mathématique (théorie du potentiel) et énoncera un principe fondamental qui porte son nom :

L'énergie potentielle d'un système en équilibre est minimale.

Poisson et la notion de potentiel :

 

Problème de Dirichlet (1837) :

Dirichlet étudia les fonctions harmoniques, c'est à dire des fonctions deux fois continûment dérivables et satisfaisant à l'équation de Laplace (que l'on peut généraliser à n variables), ce qui le mena, en théorie du potentiel, au problème suivant :

Étant donné une fonction complexe continue sur le cercle unité, f est-elle prolongeable en une fonction continue et harmonique (dont le laplacien  est nul) sur le disque unité ?

Plus généralement, et en dimension 3 :

Étant donné un ouvert borné O de bord Σ, existe-t-il  une fonction U continue sur O Σ, harmonique sur O et dont la restriction à son bord soit une fonction continue donnée ?

Dirichlet émet la conjecture selon laquelle la fonction U doit minimiser l'intégrale :

Dirichlet était persuadé de la solution positive de son problème. Raison pour laquelle on parle parfois de principe de Dirichlet plutôt que de problème. Toutefois, une assertion de Dirichlet, bien évidente, souvent rencontrée dans la littérature mathématique comme principe de Dirichlet, est étudiée au paragraphe suivant.

Green, Riemann, Schwarz et Hilbert (entre autres) s'attaqueront à ce difficile problème dont Schwarz apporta une solution positive en 1870.

Hilbert généralisa le problème à la recherche d'une fonction harmonique dans une aire donnée prenant des valeurs données sur son contour et proposa de l'étendre à des domaines encore plus généraux (20ème problème énoncé au congrès de 1900). à ce sujet, on pourra consulter, historiquement :

Un article d'Hadamard sur le site Numdam :              Un article de Brelot sur le site Numdam :

Principe des tiroirs ou principe du pigeonnier, souvent dit principe de Dirichlet (1834) :

Dans le cas de deux ensembles finis E et F, il est clair que si Card E (nombre d'éléments de E) surpasse Card F, il ne peut exister une injection f de E vers F : deux éléments au moins de E auront la même image. Si E est infini et F fini, la conclusion est inchangée.

Mais si E et F sont tous deux infinis, une difficulté apparaît relativement à la nature des cardinaux transfinis de ces ensembles. Si E = N (ensemble des entiers naturels) et F = R (ensemble des nombres réels), pas de souci majeur, R n'étant pas dénombrable. Mais le cas général est plus subtil et peut nécessiter l'axiome du choix.

Quoi qu'il en soit, le principe des tiroirs, énonce naïvement parlant, que

Si on a plus d'objets que de tiroirs, en cherchant à placer tous les objets dans les tiroirs, au moins un tiroir contiendra au moins deux objets.

Idem, si, dans un pigeonnier, il y a plus de pigeons que de niches...

Plus  mathématiquement... :

Soit A et B deux ensembles de cardinaux finis n et p et f une application de A vers B. Si n > p, alors il existe y dans B ayant au moins deux antécédents.

Ce résultat bien évident, permet cependant de résoudre des problèmes plus subtils... :

 Généralisation et application du principe des tiroirs (Université de Sherbrooke) :

Un important théorème de Dirichlet sur la convergence des séries de Fourier :

Dans un mémoire de 1829, (Sur la convergence des séries trigonométriques qui servent à représenter une fonction arbitraire entre des limites données, 1829), Dirichlet démontra des conditions suffisantes de convergence pour les séries de Fourier  :

Si f est T-périodique et de classe C1 par morceaux, alors la série de Fourier de f converge vers
[f(x + 0) + f(x - 0)]/2 pour tout x     

  f(x+0) et f(x-0) désignent les limites respectives à droite et à gauche de f au point x.

  De plus, si f est continue au point x, alors f(x + 0) = f(x - 0) = f(x). Cette notation f(x ± 0) pour désigner les limites à droite et à gauche de f sont d'ailleurs dues à Dirichlet.

  Série de Fourier et continuité

Calcul de z(2) :              Théorème de Du Bois-Reymond :

 

Séries de Dirichlet (1839) :

On appelle ainsi une série du type :

où z et les an sont complexes et (ln) une suite croissante non bornée de réels. Si z = i, on retrouve une série trigonométrique. Si an = 1 et  ln = ln n (logarithme népérien de n, le terme général se réduit à 1/nz et on retrouve les fonctions z (zéta) de Riemann. Legendre utilisa ces séries en théorie (analytique) des nombres.

L'étude de la convergence de ces séries n'est pas un mince problème. Il est clair cependant que si la série converge pour un zo, elle converge pour tout z tel que Re(z) > Re(zo).

Prouver l'assertion ci-dessus !

Dans le cas convergent, si on note f(z) la somme, le problème fut de calculer les an en fonction de f(z) à la manière d'une série de Fourier. Le problème fut partiellement résolu par Hadamard, puis (en particulier) par Landau, Ostrowski, Polya et Mandelbrot.
 

Sommation d'une série et ordre des termes :

Concernant les séries, dont la somme dépend généralement de l'ordre de sommation, Dirichlet prouve (1837) que l'ordre ou l'arrangement des termes n'intervient pas si la série Sun est absolument convergente, c'est à dire si S|un| est convergente (valeur absolue dans le cas réel, module dans le plan complexe).

Séries absolument convergentes, séries normalement convergentes :

Il est clair que la convergence absolue entraîne la convergence simple. Certaines séries sont effectivement problématiques. Celle de terme général :

un = (-1)n

qu'étudia le mathématicien italien Grandi est problématique. Sa somme semble être 0 , 1 ou 1/2 suivant la façon d'arranger les termes...

[(+1) + (-1)] + [(+1) + (-1)] + ... + [(+1) + (-1)] + ...
= 0 + 0 + ... + 0 + ...
= 0

ou bien :

(+1) + [(-1) + (+1)] + [(-1) + (+1)] + ... + [(-1) + (+1)] + ...
= 1 + 0 + 0 + ... + 0 +...
= 1

Par définition, une série converge si la suite de ses sommes partielles, de terme général :

Sn = uo + u1 + ... + un

est convergente. Pour ce cas, nous devons considérer les sommes S2p et S2p+1.

Leurs limites respectives sont 1 et 0. Ainsi la suite (Sn) possède deux points d'accumulation (valeurs prises une infinité de fois par la suite), elle ne peut donc converger et la série est divergente.

 Plus simplement, depuis la mise en place rigoureuse des séries par Cauchy, on peut affirmer que la série en question ne peut converger, au sens mathématique, puisque son terme général ne tend pas vers 0 !

Suites & séries, Séries produits , convergence :           Séries de fonctions :

Critère de Dirichlet :

La série Sanbn où an et bn sont réels sera convergente si les sommes partielles de la série San sont bornées et si (bn) est une suite monotone convergent vers 0, alors la série Sanbn est convergente.

Il ne s'agit pas ici de la série dite série-produit des séries Sanet Sbn.

Critère d'Abel :                           Critère de Dedekind :

Intégrales de Dirichlet :

Outre l'intégrale triple, rencontrée dans le problème de Dirichlet et relative à la distribution de masses à potentiel donné :

ce vocable assez ambigu désigne :

où la fonction :

dite noyau de Dirichlet, dont le prolongement continu à R tout entier est et permet d'établir le théorème ci-dessus.

                         Calcul :
 

Définition formelle et caractéristique d'un ensemble infini E :

Selon Dirichlet un ensemble est infini s'il existe une application biunivoque (bijection) de E sur une de ses parties propres. C'est une très belle, car très simple définition. Ainsi, dans le paradoxe de Galilée, on peut affirmer qu'il y a "autant" de points dans un segment que sur sa "moitié"...

Fonction de Dirichlet, fonction caractéristique d'un ensemble :

Dite, de nos jours, fonction caractéristique (ou indicatrice) de Q dans R. Souvent notée 1Q, cette fonction vaut 1 sur Q et 0 sur R-Q (R privé de Q). C'est le premier exemple de fonction discontinue en chacun de ses points. R est ici l’ensemble des nombres "réels" au sens de Cauchy : non imaginaires, c’est à dire la réunion de l’ensemble des entiers, des rationnels (fractions) et des nombres irrationnels. Les nombres transcendants sont à l’état embryonnaire (ils seront mis en évidence par Liouville) ainsi que la construction analytique des nombres réels.

  1Q est intégrable au sens de Lebesgue et son intégrale est nulle; elle n'est pas intégrable au sens de Riemann. C'est en outre une fonction transcendante.

D'une façon générale, la fonction caractéristique 1A (également appelée fonction indicatrice) d'une partie A d'un ensemble E, notée également cA, est définie par :

          Borel

On trouvera sur cette page un usage intéressant de la partie entière pour définir la fonction caractéristique d'un sous-intervalle de [0,2p].

Importante contribution en théorie algébrique des nombres :
a, a + b, a + 2b, a + 3b, ...

a été étudiée et prouvée (1837) par Dirichlet si a et b sont premiers entre eux.

Pour tout x irrationnel, il existe une infinité de rationnels a/b tels que |x - a/b | ≤ 1/q2

Ce résultat fut avancé auparavant par Legendre.

  Hurwitz                       Développement d'un nombre en fraction continue :

 Pour en savoir plus sur les nombres premiers en progression arithmétique :

  Bombieri           Brun & nombres premiers jumeaux : Nombres premiers sexy :


Prouver qu'il existe un unique triplet de nombres premiers en progression arithmétique de raison 10. 

Jacobi  Hamilton
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