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Calcul des variations - Équation d'Euler-Lagrange         Lagrange

L'équation (ou condition) d'Euler, aussi appelée d'Euler-Lagrange, énonce, sous la forme d'une équation différentielle, une condition nécessaire d'extremum d'une fonctionnelle, fonction de fonctions, régissant le phénomène étudié :

Si le problème revient à étudier les variations d'une fonction y de la variable x sur un intervalle [a,b], on est généralement conduit à minimiser (ou maximiser selon le phénomène étudié) une intégrale, appelée fonctionnelle, de la forme :

et on montre qu'il y aura extremum si :

où, F'y et F'y' désignent ici respectivement les dérivées partielles de F par rapport à y et y' : F/y et F/y' (plus simples que l'usage des pour la mise en page). La dérivée, par rapport à x de F'y' est (dérivation d'une fonction composée de deux variables)

(F"y')x × 1 + (F"y')y × y' + (F"y')y' x y"

soit, plus simplement :

F'y - F''y'x - y'F''y'y - y"F''y'y' = 0

où F''y'x par exemple, désigne la dérivée partielle par rapport à x de F'y' : c'est l'équation d'Euler : équation différentielle du second ordre imposant à y et à F d'être au moins deux fois dérivables. Si F est de classe C2 (deux fois continûment dérivable), on sait, selon Schwarz que  F''y'x = F''xy' et F''y'y = F''yy'. Pour faire plus beau (ou plus rigoureux) mais pas plus pratique... :

Formule de Beltrami : 

Lorsque la fonctionnelle ne dépend pas directement de x, on a : F''y'x  = 0. La condition d'Euler à F'y - y'F''y'y - y"F''y'y' = 0 se simplifie notoirement. Dérivons, par rapport à x l'expression F - y'F'y' :

(F - y'F'y')' = F'y x y' + F'y' x y" - [y"F'y' + y' x (F"y'y × y' + F"y'y' × y")] = y'F'y - y'2F''y'y - y'y"F''y'y'

on met y' en facteur : (F - y'F'y')' = y' x (F'y - y'F''y'y - y"F''y'y'). Par suite, (F - y'F'y')' est une fonction constante et il existe une constante k telle que :

F - y'F'y' = k

Multiplicateur de Lagrange :

Dans ce type de problème, on rencontre couramment une contrainte se présentant sous la forme d'une intégrale devant rester constante. Dans ses calculs consacrés à l'astronomie, Lagrange fut confronté à cette difficulté et trouva la solution :

Il montre que si la contrainte s'exprime par une intégrale de la forme :

on doit substituer à F la fonctionnelle G =  F - λΦ, où λ, appelé de nos jours multiplicateur de Lagrange, sera calculé ultérieurement compte tenu des données et/ou conditions initiales du problème étudié.

Un exemple d'application, le problème de Didon :

Pourquoi faire simple quand on peut faire compliqué... :

Soit à chercher le plus court chemin entre deux points A et B d'un plan... Notons s l'abscisse curviligne d'un point de la trajectoire; on a ds2 = dx2 + dy2. Il s'agit de minimiser :

La racine carrée de 1+ y'2 joue ici le rôle de notre F(x,y,y'). On voit que F ne dépend directement que de y'. Selon la condition d'Euler-Lagrange, on a ici y" x F''y'y' = 0. Or F''y'y', dérivée seconde de F par rapport à y' n'est clairement pas identiquement nulle. Par suite, y" = 0. C'est dire que y' = a (constante) puis que y = ax + b (b constant) : on retrouve l'équation d'une droite. Sans trop d'étonnement...

D'accord, diront certains, mais qu'est-ce qui prouve que c'est bien le chemin minimum et pas le chemin maximum ? Il faut en effet, dans un problème d'extremum s'assurer qu'on a le bon ! on peut par exemple utiliser l'inégalité triangulaire afin de justifier que tout chemin passant par un point C intermédiaire entre A et B est plus long que le chemin rectiligne trouvé. Mais alors diront les autres, c'était pas la peine de se casser la tête...
 

Application : le célèbre brachistochrone qu'étudia Jacques et Jean Bernoulli :

Deux points A et B de hauteurs différentes étant donnés, non situés sur une même verticale, il s'agit de rechercher la trajectoire (c) permettant la descente la plus rapide de A à B d'un point M, de masse m, soumis à la seule pesanteur (sorte de toboggan). L'objectif est d'évaluer le temps de descente et de le minimiser : la solution est un arc de cycloïde.

 

En notant A(a,yo) et b l'abscisse de B, le temps à minimiser est donné par la fonctionnelle :

               

Étude du problème :

 Pour en savoir plus :


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