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Calcul des variations - Équation d'Euler-Lagrange      » Lagrange | Problème du brachistochrone | Problème de Didon

L'équation (ou condition) d'Euler (Calculi Variationum, 1744) aussi appelée d'Euler-Lagrange, énonce, sous la forme d'une équation différentielle, une condition nécessaire d'extremum d'une fonctionnelle, fonction de fonctions, régissant le phénomène étudié. Elle est à l'origine de ce qu'on appelle depuis le calcul des variations développé en Europe dans la seconde moitié du 18è siècle.

Dans le cas relativement simple où le problème revient à étudier les variations d'une fonction y de la variable x sur un intervalle [a,b], on est généralement conduit à minimiser (ou maximiser selon le phénomène étudié) une intégrale, appelée fonctionnelle, de la forme :

et on montre qu'il y aura extremum si :

où, F'_y et F'_y' désignent ici respectivement les dérivées partielles de F par rapport à y et y' : F/y et F/y' (plus simples que l'usage des pour la mise en page). La dérivée, par rapport à x de F'_y' est (dérivation d'une fonction composée de deux variables) : 

(F"_y')_x × 1 + (F"_y')_y × y' + (F"_y')_y' × y"

soit, plus simplement :

F'_y - F''_y'x - y'F''_y'y - y"F''_y'y' = 0

où F''_y'x par exemple, désigne la dérivée partielle par rapport à x de F'_y' : c'est l'équation d'Euler : équation différentielle du second ordre imposant à y et à F d'être au moins deux fois dérivables. Si F est de classe C² (deux fois continûment dérivable), on sait, selon Schwarz que  F''_y'x = F''_xy' et F''_y'y = F''_yy'. Pour faire plus beau (ou plus rigoureux) mais pas plus pratique... :

Lorsque la fonctionnelle ne dépend pas directement de x, on a : F''_y'x  = 0. La condition d'Euler à F'_y - y'F''_y'y - y"F''_y'y' = 0 se simplifie notoirement. Dérivons, par rapport à x l'expression F - y'F'_y' :

(F - y'F'_y')' = F'_y x y' + F'_y' x y" - [y"F'_y' + y' x (F"_y'y × y' + F"_y'y' × y")] = y'F'_y - y'²F''_y'y - y'y"F''_y'y'

on met y' en facteur : (F - y'F'_y')' = y' x (F'_y - y'F''_y'y - y"F''_y'y'). Par suite, (F - y'F'_y')' est une fonction constante et il existe une constante k telle que :

F - y'F'_y' = k

Dans ce type de problème, on rencontre couramment une contrainte se présentant sous la forme d'une intégrale devant rester constante. Dans ses calculs consacrés à l'astronomie, Lagrange fut confronté à cette difficulté et trouva la solution :

Il montre que si la contrainte s'exprime par une intégrale de la forme :

on doit substituer à F la fonctionnelle G =  F - λΦ, où λ, appelé de nos jours multiplicateur de Lagrange, sera calculé ultérieurement compte tenu des données et/ou conditions initiales du problème étudié.

Un exemple d'application, le problème de Didon : »

Soit à chercher le plus court chemin entre deux points A et B d'un plan... Notons s l'abscisse curviligne d'un point de la trajectoire; on a ds² = dx² + dy². Il s'agit de minimiser :

La racine carrée de 1+ y'2 joue ici le rôle de notre F(x,y,y'). On voit que F ne dépend directement que de y'. Selon la condition d'Euler-Lagrange, on a ici y" x F''_y'y' = 0. Or F''_y'y', dérivée seconde de F par rapport à y' n'est clairement pas identiquement nulle. Par suite, y" = 0. C'est dire que y' = a (constante) puis que y = ax + b (b constant) : on retrouve l'équation d'une droite. Sans trop d'étonnement...

 ➔  D'accord, diront certains, mais qu'est-ce qui prouve que c'est bien le chemin minimum et pas le chemin maximum ? Il faut en effet, dans un problème d'extremum s'assurer qu'on a le bon ! on peut par exemple utiliser l'inégalité triangulaire afin de justifier que tout chemin passant par un point C intermédiaire entre A et B est plus long que le chemin rectiligne trouvé. Mais alors diront les autres, c'était pas la peine de se casser la tête...
 

Deux points A et B de hauteurs différentes étant donnés, non situés sur une même verticale, il s'agit de rechercher la trajectoire (c) permettant la descente la plus rapide de A à B d'un point M, de masse m, soumis à la seule pesanteur (sorte de toboggan). L'objectif est d'évaluer le temps de descente et de le minimiser : la solution est un arc de cycloïde.

En notant A(a,y_o) et b l'abscisse de B, le temps à minimiser est donné par la fonctionnelle :

Étude du problème : »

 ➔   Pour en savoir plus :

• Ces notions sur le calcul des variations s'appuient sur le cours de M. Y. Zeldovitch dans :
  Éléments de Mathématiques Appliquées, Y. Zeldovitch & A. Mychkis, Éd. Mir - Moscou - 1974    
  » Yakov Borisovich Zeldovitch (1914-1987), fut un éminent physicien russe spécialiste en physique des particules

• Cours de calcul différentiel par Henri Cartan - Paris, 1967 (réédition).