ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Fonction exponentielle             fonctions exponentielles de base a , fonctions logarithmiques

y = ln x   x = ey

Calculs du nombre e dans ChronoMath :                 Différentes approches de la fonction exponentielle :

 

x -

x +

ex

0+

+

xex

0-

+

ex/x

0+

+

xe-x = x/ex

+

0+

  Appliquer une des limites ci-dessus afin de prouver que x100000/ex tend vers 0 pour x infini positif.
Indications : passer au log... voir aussi par ici...

On constate ci-dessous que si les courbes exponentielle et logarithmique sont tracées dans un même repère orthonormé, elles sont symétriques par rapport à la 1-ère bissectrice du repère d'équation y = x : c'est un résultat général pour deux courbes représentatives de deux fonctions réciproques l'une de l'autre.

Applications  :        

Elles sont extrêmement nombreuses, en symbiose avec la fonction logarithmique : eu égard à l'équivalence

y = ln x   x = ey ,

tout phénomène logarithmique est lié à la fonction exponentielle (et réciproquement...). Citons comme domaine privilégié de ces fonctions : l'électricité et l'électronique, la radioactivité, les statistiques et le calcul des probabilités (loi normale), la thermodynamique, les phénomènes vibratoires de type oscillatoire amorti d'équations de la forme a.e-ktcos(ωt + ), la cinétique des gaz, ...

Suites géométriques & lois exponentielles :
2. Étudier le sens de variation de la fonction f : x e2x - 2ex + 1.
Préciser l'unique valeur de x pour laquelle f(x) = 1.
On montrera que la courbe (c) représentative de f admet une asymptote horizontale (d) d'équation y = 1 au voisinage de -.
Calculer l'aire A du domaine plan compris entre (c) et la droite (d) sur l'intervalle [- , ln2]. La courbe (c) est représentée ci-dessous.
Rép : A = 2 unités d'aire.


L'aire A est coloriée en jaune. C'est la limite pour u tendant vers - de l'intégrale sur [u , ln2] de 1- f(x) = 2ex - e2x


Étude de la fonction  f(x) = e2x - 2ex + 1 , asymptote, calcul d'aire
Étude d'une fonction et de sa primitive  f(x) = ln(1 + ex)/ex  et développement limité d'ordre 3

Des approches concrètes (sciences physiques) de la fonction exponentielle.

Fonctions logarithmes et exponentielles de base a      a > 0, a distinct de 1

Lorsque le nombre a est positif, considérons les fonctions x ax pour x réel. Le cas trivial a = 1 est proscrit. Le nombre a est appelé base : il s'agit des fonctions exponentielles de base a. Si l'on parle de la fonction exponentielle (tout court), il s'agira de la fonction x ex, fonction exponentielle de base e.

Les logarithmes de base a, notés loga furent définis par Euler par :

y = ax logay = x

On peut utiliser le logarithme népérien et l'exponentielle de base e pour "réexprimer" une fonction exponentielle de base a :

y = ax ln y = x.ln   y = ex.ln a

Par suite, les études des fonctions exponentielle et logarithme de base a ( a > 0, a distinct de 1) peuvent se déduire facilement de celles de base e et on voit donc que les fonction les fonctions x ax sont strictement croissantes (resp. décroissantes) pour a > 1 (resp. a < 1).


Résoudre l'équation 2x+1 - 2x-1 = 32. Rép. : x = 3/2
Étude d'une fonction : y = x - 2x-1 

Neper, logarithmes de base a, logarithme décimal :


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