ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

VIETE François, français, 1540-1603

Natif de Fontenay le Comte (Vendée), François Viète étudia le droit à l'université de Poitiers. C'est ainsi qu'il fut un avocat renommé auprès de cours princières européennes, puis conseiller, dès 1571, au parlement de Paris (cour de justice) sous Henri III et Henri IV.

Viète, de par sa passion pour l'astronomie, découvre les mathématiques. C'est ainsi qu'il développera la trigonométrie plane et sphérique en usant du système décimal. Selon certains historiens, il aurait perçu avant Kepler la nature elliptique des orbites planétaires dans son Harmonicon Coeleste, écrit vers 1597, mais ce traité est hélas perdu.

Son traité d'algèbre (In Artem Analyticam Isagoge, 1591) est d'une remarquable modernité. En tant que conseiller, sa notoriété s'accrut par ses capacités à déchiffrer les codes secrets des puissances étrangères, en particulier lors de la guerre entre la France et l'Espagne. Notoriété qui lui valut des accusations de sorcellerie... En géométrie, on lui doit de nombreuses publications relatives aux coniques, aux problèmes de construction hérités de l'antiquité comme celui de la trisection de l'angle, de la quadrature du cercle et principalement ceux d'Apollonius (Apollonius Gallus, 1600), dont le problème des trois cercles, disponibles (en latin) sur le site Gallica de la BnF :

Ces problèmes de construction sont fort intéressants et certains, quitte à choisir des cas particuliers, sont accessibles au niveau collège et lycée. On trouvera à la page Apollonius de Perge, le descriptif de ces problèmes et des renvois en pages d'exercices corrigés.

L'apport du système décimal positionnel :

Dans un important ouvrage, Canon mathematicus, seu ad triangula cum appendicibus, publié à Paris en 1579 et commencé en 1571, Viète développe la trigonométrie plane et sphérique, et, dans un addendum, tend à imposer le calcul décimal au détriment du système sexagésimal (base 60) en usage depuis l'Antiquité :

"En mathématiques les soixantièmes et les soixantaines (c'est à dire la base 60 qu'utilisèrent les mathématiciens babyloniens puis grecs) doivent être d’un usage rare ou nul. Au contraire les millièmes et les mille, les centièmes et les centaines, les dixièmes et les dizaines doivent être d’un usage fréquent ou constant".     Source : Mathématiques et mathématiciens, J. Itaard & P. Dedron, 1972.

Canon Mathematicus sur Gallica (en latin) :                   Les systèmes de numération :

L'écriture actuelle n,dcm... d'un nombre décimal, préconisée par Viète, distinguant les parties entière et décimale (d=dixièmes, c=centièmes, m=millièmes,...) est sans doute antérieure et due à l'astronome hollandais Snellius. Viète utilisa une écriture proche en collant la partie fractionnaire à la partie entière comme dans :

L'œuvre principale de Viète sera In Artem Analyticam Isagoge (1591), publié à Tours, premier grand traité d'algèbre symbolique. Viète est considéré, en France, comme étant à l'origine du calcul algébrique "moderne". Il écrit encore en latin, à la façon de Bombelli, mais en utilisant les signes opératoires actuels + et - pour la somme et la différence, hérités de l'allemand Widmann, ce qui allège sensiblement la lecture.

Dans une équation, les consonnes (resp. les voyelles) sont les paramètres connus (resp. les inconnues). Il utilisa le terme actuel de coefficient dans une équation. Un demi-siècle plus tard, Descartes adoptera cet usage qui se répandra dans toute l'Europe.

Notations d'Al Qalasadi :

Précision :

On note généralement D l'ensemble des nombres décimaux, c'est à dire l'ensemble des nombres admettant un représentant de la forme x = a10n avec (a,n)Z2. C'est dire que l'écriture de x est limité : ses décimales sont nulles à partir d'un certain rang

Stifel

Pour qu'une fraction irréductible a/b non nulle soit le représentant d'un nombre décimal, il faut et il suffit que les seuls diviseurs premiers de b soient 2 ou 5 (le "ou" n'étant pas exclusif).

On remarquera que (D,+,x) est un anneau unitaire intègre, sous anneau de (Q, +, x). Ce n'est pas un corps : 3 est décimal mais non pas son inverse 1/3.

Les équations ax2 + bx = c   et   x3+ ax = b

Viète résolut complètement l'équation du second degré ax2 + bx = c. Il affirma pouvoir ramener les problèmes de son époque à la résolution d'équations et émet, à juste titre, la conjecture selon laquelle la trisection de l'angle est liée à l'équation du 3è degré qu'il résolut dans sa forme x3 + ax = b lorsque a et b sont des nombres positifs.

Équation du 3ème degré selon Viète :           Abu Kamil :

Les racines négatives d'une équation sont considérées comme fausses et il évite toute discussion sur le sujet ! Mais les racines imaginaires sont déjà "inventées" grâce au génie de Bombelli et Viète sera aussi l'un des premiers à pressentir, suivi par Girard et Descartes, le théorème fondamental de l'algèbre que d'Alembert puis Gauss démontreront.

Relations (ou fonctions) symétriques des racines :

Viète remarque, tout comme Harriot, les relations, dites parfois aujourd'hui de Viète, existant entre les solutions et les coefficients d'une équation algébrique : en ramenant à 1 le coefficient du terme de plus haut degré, notons x1, x2, ..., xn les solutions (éventuellement multiples). On a :

Les racines peuvent être éventuellement multiples et sont ici considérées réelles ou complexes.

Ces relations seront étudiées par Girard et Descartes, puis Lagrange et Cauchy, lesquels perçoivent leur rôle dans la résolution générale des équations algébriques. Mais ce sera Galois qui montrera au 19è siècle, au moyen de la théorie (naissante) des groupes finis, que les équations de degré supérieur à 4 ne sont généralement pas résolubles par radicaux (i.e. les solutions ne peuvent s'exprimer au moyen de combinaisons de racines carrées, cubiques, ..., n-èmes des coefficients).


1°/ En application de ces formules, montrer que deux équations algébriques de même degré ont les mêmes racines si et seulement si leurs
coefficients sont proportionnels (l'un étant nul, l'autre devra aussi l'être).
2°/ Pour quelles valeurs de m l'équation x4 - 6x3 + mx2 - 11x + 6 = 0  a-t-elle deux racines de somme 2 ?

La trigonométrie et le calcul de π :

Viète précise et développe la trigonométrie de Regiomontanus et donne, ce qui est tout à fait impressionnant pour l'époque (1593), une expression de π sous la forme d'un produit infini d'irrationnels simples :

Programmation JavaScript :


On note un le terme général  de ce produit infini contenant n radicaux. En particulier u1 = 2/2 = 2. Exprimer un en fonction de un-1.
Justifier que cette suite est croissante, majorée par 2. En déduire sa convergence et calculer sa limite.
prolongement : exercice niveau sup/spé

Suite croissante majorée ou décroissante minorée :

Formule de Viète ou théorème de Pythagore généralisé ou encore théorème d'Al Kashi :

Viète étudia aussi la résolution des triangles et la formule, dite de Viète, généralisant le théorème de Pythagore pour un triangle ABC dont les côtés mesurent a, b et c, remonte en fait à des temps plus anciens. On la doit en effet au mathématicien arabe Al Kashi :

a2 = b 2 + c 2 - 2bc.cos^BAC

 Notons cependant que sous une forme purement géométrique, avec l'introduction d'une hauteur convenable, ce résultat était déjà présent au livre II des Éléments d'Euclide :

Propositions 12 & 13 du livre II des Éléments d'Euclide :


Clavius    Stevin
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