ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

PYTHAGORE de Samos, grec, -560?/-480?         exercices : série 1, série 2

Astronome, philosophe, musicologue, ce célèbre savant, disciple de Thalès, nous est connu par ses disciples et successeurs, les Pythagoriciens (également dits Pythagoréens ou Pythagoristes).

Son nom, Pythagoras, signifie prédit par la Pythie car son père qui avait interrogé la fameuse prêtresse de l'oracle d'Apollon à Delphes, la Pythie, censée prédire l'avenir, lui avait annoncé la naissance d'un fils plein de sagesse.

Aucun écrit de Pythagore ne nous est parvenu. Pour plus d'objectivité, on doit se fier principalement aux historiens de l'Antiquité tels Hérodote, Proclus, Diogène Laërce. Personnage mythique (il laisse se propager la rumeur selon laquelle il serait le fils d'Apollon), Pythagore créa son école à Crotone, laquelle devint rapidement une secte aux règles de vie très sévères. Devenant alors dérangeant, persona non grata, il mourra assassiné dans des conditions obscures, certains historiens avançant l'incendie de son école.

Pythagore à l'origine de LA mathématique... :     

On attribue à Pythagore, en son école, l'origine du terme mathématique au sens grec de mathematikos = celui qui veut apprendre (scientifiquement), forgé sur mathêma = ce qui est enseigné, la connaissance.

Pythagore est le premier théoricien de la technique des nombres, en un mot : l'arithmétique, sur laquelle il fonda sa philosophie : l'harmonie du Monde est régie par les nombres entiers, le pair, l'impair et la décade : la dizaine. Les Pythagoriciens annoncent là une rupture avec le système sexagésimal des Chaldéens dont l'usage se perpétuera cependant en astronomie.

Pythagore fut aussi le premier théoricien de la musique en constatant le lien entre la longueur d'une corde et le son qu'elle émet, ce son étant d'autant plus aigu qu'elle est tendue (la lyre, par exemple, était un instrument de l'époque à cordes pincées en boyaux de mouton).

Arithmétique de Pythagore :                   Notes et gamme musicale :

Cosmogonie :

Selon certains auteurs ( ci-après), Pythagore, ou plus certainement ses disciples de l'école de Crotone, auraient affirmé la sphéricité de la Terre tournant, ainsi que les autres astres (soleil compris), autour d'un feu central invisible (Hestia = le Foyer).

Pythagore et les Pythagoriciens (que sais-je n° 2732) de J.-F.- Mattei (1993) :
"Nous pouvons admirer cet étrange système de Philolaos qui eut peu de succès en son temps et dont les trois hardiesses prophétiques attendront 2000 ans avant de se réaliser : 1) la Terre et tous les astres sont sphériques 2) la Terre est un corps céleste de second plan 3) la Terre n'est pas en repos et n'occupe pas le centre du monde, comme ce sera le cas chez Platon et Aristote."

Nouveau Larousse illustré en 7 volumes (1906, sous la dir. de Paul Augé), vol. 1, au titre Astronomie :

"Pythagore enseignait les deux mouvements de la Terre sur elle-même et autour du Soleil; il avait des vues élevées sur les systèmes planétaires mais elles manquaient de preuve, et leur vérité  fut complètement méconnue."

Dictionnaire Hachette encyclopédique (1997) :
"il entrevit le mouvement de la Terre sur elle-même et enseigna qu'elle était sphérique".

Astronomie moderne de R. Tocquet, préface de Louis Leprince-Ringuet (1965) :
"(...) il est difficile de préciser parmi les doctrines pythagoriciennes, celles qui appartiennent en propre au  Maître? Quoi qu'il en soit, les Pythagoriciens enseignaient que la Terre et le Soleil sont sphériques, que le Soleil décrit sur la sphère céleste un grand cercle, l'écliptique, dont le plan est incliné sur celui de l'équateur et il y a tout lieu de penser qu'ils enseignaient également que les planètes et les comètes tournent autour du Soleil."

Pythagore et les Pythagoriciens (que sais-je n° 2732) de J.-F.- Mattei (1993) :
"Pythagore enseignait la sphéricité de la Terre et du Monde non pour des raisons empiriques (comme les contours de l'ombre durant les éclipses) mais pour des raisons théoriques d'ordre harmonique, le plus beau des solides étant la sphère." : Pythagore parlait de la musique des sphères (les astres) que nous n'entendions pas car notre oreille, trop habituée, ne parvenait pas à les discerner...

Cette vision pyrocentrique de l'univers fut en fait introduite par Philolaos de Crotone, philosophe et disciple direct de Pythagore, et annonce la théorie héliocentrique (le Soleil est au centre de notre système planétaire) hélas mise à l'écart par Eudoxe et Aristote.

Bien que défendue par le grand astronome Aristarque un siècle et demi plus tard, le non moins célèbre Ptolémée prôna le géocentrisme (la Terre est au centre de l'Univers, le Soleil tourne autour) et plongea le monde dans l'erreur pendant 2000 ans jusqu'à l'entrée en scène de Galilée et de Copernic.

Le célèbre théorème de Pythagore et les relations métriques dans le triangle rectangle :

Il affirme que dans un triangle ABC rectangle en A, le carré du côté qui sous-tend l'angle droit (autrement dit l'hypoténuse, BC sur la figure) est égal à la somme des carrés des deux autres côtés : 

       

hypoténuse provient du grec hupo = au-dessous et teinein = tendre :

Collégiens : un seul h à hypoténuse! Ne pas confondre avec hypothèse qui a deux h... : du grec hypothesis avec un sens étymologique proche, il est vrai :

Ce résultat, que Pythagore ne semble pas avoir prouvé, est en fait antérieur au célèbre philosophe : on le retrouve 2000 ans avant J.-C. dans une tablette babylonienne cunéiforme (Plimpton 322, Université Columbia, New York, USA).

Réciproquement :        

Si, dans un triangle, le carré d'un côté est égal à la somme des carrés des deux autres,
alors ce triangle est rectangle
en le sommet opposé au plus grand côté (qui est alors son hypoténuse).

Les démonstrations du célèbre théorème, et de sa réciproque, sont présentes dans les Eléments d'Euclide et font l'objet des deux dernières propositions 47 et 48, du livre I. Selon certains auteurs, Pythagore aurait sacrifié, pour fêter sa découverte, entre 1 boeuf et tout un troupeau de 100 bœufs (soit une hécatombe, du grec hékaton = cent et boûs = boeuf) selon une tradition festive et religieuse de l'époque. Curieux cependant pour une secte végétarienne dont Pythagore était le gourou...

Une preuve élémentaire utilisant les aires et le calcul algébrique se comprend aisément par la figure ci-dessous : on considère un carré de côté a + b; on prouve facilement que le quadrilatère intérieur (en vert) est un carré de côté noté c. Dans ces conditions :

4 ab/2 + c2 = (a + b)2 = (a + b)(a + b) = a2 + b2 + 2ab. Soit : c2 = a2 + b2

             

Cette preuve n'est pas sans rappeler celle du mathématicien indien Bhaskara :

Théorème de Pythagore :        selon  Bhaskara :        selon Euclide :


1. Le triangle ABC est rectangle en C. AB = 20 et BC = 10. Calculer AC.  Rép : 103

2. Le triangle isocèle en A vérifiant AB = 9,99 et BC = 14,14 est-il rectangle ?
Rép : non.
  on ne dira pas qu'il est presque rectangle ou qu'il est rectangle à 0,01 près !!! Il n'est pas rectangle. Point !..

3. Le triangle ABC vérifie BC = 7 cm, AC = 6 cm et ACB = 31°. Construire avec soin ce triangle. Est-il rectangle ?
Rép :
non car si ABC est rectangle, on doit avoir cos31° = 6/7, or...

Triangle égyptien :        

Le plus beau triangle de l'histoire des mathématiques est, sans conteste, le triangle de côtés 3, 4 et 5 : il est rectangle puisque 32 + 42 = 52 et est souvent qualifié d'égyptien car connu depuis l'antiquité égyptienne. On parle ou parfois de triangle d'or mais cette dernière appellation est plutôt réservée à ceci...

  Le triangle égyptien                   Voûte égyptienne :

Autres relations métriques dans le triangle rectangle :

De cette relation fondamentale découle d'autres égalités fort utiles, dites relations métriques dans le triangle rectangle comme (H désignant le pied de la hauteur issue de l'angle droit) :

  • AB2 = BH × BC

  • AC2 = CH × CB

  • AH × BC = AB × AC ,  AH2 = HB × HC  ,  1/AH2 = 1/AB2 + 1/AC2

Preuves : la première relation (donc aussi la seconde) peut être exprimée au moyen de la propriété de Thalès en remarquant que les triangles rectangles ABC et ABH sont semblables (mêmes mesures d'angles), donc quitte à modifier la figure en remplaçant ABH par AB'A' (ci-dessus) afin d'obtenir une configuration de Thalès avec AB' = BH et (B'A')//(BC), on a :

AB'/AB = B'A'/BC, soit BH/AB = AB/BC, soit AB2 = BH × BC.

La troisième relation indiquée AH × BC = AB × AC, est évidente si on la considère en tant qu'égalité d'aires : ABC est un triangle d'aire (AH × BC)/2  mais aussi la "moitié d'un rectangle d'aire (AB × AC)/2.

La quatrième relation s'obtient en élevant au carré la 3ème et en utilisant la 1ère et la seconde pour remplacer AB2 et AB2. La dernière est conséquence de AH × BC = AB × AC : réduire au même dénominateur le membre de droite, utiliser ensuite que AB2 + AC2 = BC2...

Théorème de la médiane dû à Apollonius de Perge :

 

Rue Jeanne et Darc   aire élémentaire, théorème de Pythagore

Calcul d'aire par différence   cercles tangents, losange, théorème de Pythagore

Cinq cercles inscrits dans un carrés  facile
Pyramide de disques  assez facile
Pyramide de boules   plus subtil..
Cube inscrit   mesure du côté du cube inscrit dans une sphère
Ligne d'horizon  théorème de Pythagore
Le triangle égyptien unique triangle rectangle de mesures consécutives

Relations métriques dans le triangle rectangle en conséquence de la propriété de Thalès

Entiers naturels, divisibilité et premiers résultats sur les nombres premiers :

Pour Pythagore, tout est nombre ! Il sous-entend là les nombres entiers 1, 2, 3, ... qui seront baptisés entiers naturels pour les distinguer, des entiers relatifs, entiers signés comme -2, -1, nombres dits négatifs s'opposant aux nombres positifs comme +2, assimilés à 2, qu'introduiront les mathématiciens indiens avec l'apparition du zéro au 6ème siècle : une révolution en arithmétique, à l'origine du développement de l'algèbre arabe.

  Brahamagupta , les mathématiques indiennes , les mathématiques de l'Islam

Outre une claire distinction entre le pair (forme 2n) et l'impair (forme 2n+1), on doit aux Pythagoriciens d'importants résultats d'arithmétique sur :

  • les nombres premiers (n'ayant pas de diviseurs autres que 1 et eux-mêmes) qu'Euclide étudiera tout particulièrement dans ses Éléments;

  • les critères de divisibilité;

  • la notion de nombre parfait : entier égal à la somme de ses diviseurs autres que lui-même. Ces nombres sont "rares" et intriguent encore de nos jours les mathématiciens. En deçà de 10000, il n'y en a que 4 :

6 , 28 , 496 , 8128

On ne sait toujours pas aujourd'hui s'il existe des nombres parfaits impairs. Euclide établit que ces nombres sont de la forme 2n-1(2n - 1) avec la condition 2n - 1 est premier : nombre de Mersenne.

En savoir plus sur les nombres parfaits :                       Nicomaque et les nombres polygonaux :

Triplets pythagoriciens ou triades :

Les triplets (a,b,c) d'entiers naturels non nuls, tels que a2 + b2 = c2 , comme (3,4,5), furent étudiés par Euclide (encore lui !) et Diophante, lequel fut le premier grand spécialiste des équations en nombres entiers. Il en existe une infinité que l'on peut caractériser facilement ou calculer au moyen de l'ordinateur. Les Pythagoriciens trouvèrent ceux de la forme :

a = 2n + 1 , b = 2n2 + 2n , c = 2n2 + 2n + 1

Un triangle rectangle dont les côtés constituent un triplet pythagoricien est aussi qualifié de pythagorique et le triangle correspondant au cas a = 3, b = 4, c = 5 se rencontre parfois sous le nom de triangle d'or mais le qualificatif est plutôt réservé aux triangles de Penrose : on parle plutôt ici de triangle égyptien : les arpenteurs de l'Antiquité connaissaient bien la propriété d'une corde à nœuds de 12 éléments (3 + 4 + 5) pouvant jouer le rôle d'équerre.

Le rectangle de côtés 3 sur 4 est aussi appelé rectangle pythagoricien : ses côtés et ses diagonales sont des nombres entiers, ce qui n'est pas vraiment courant... : 

  Triangle égyptien                             Vitruve

Précisons, à la gloire des babyloniens, que la tablette Plimpton 322 dresse une liste de nombres écrits en base 60 qui s'avèrent de la forme

a = n2 - p2 , b = 2np , c = n2 + p2

vérifiant donc bien :

a2 + b2 = c2 car (n2 - p2)2 + (2np)2 = n4 - 2n2p2 + p4 + 4n2p2 = (n2 + p2)2 = c2

 Étude et recherche des triades (programmation) :

   Une autre forme pour ces triplets, que l'on pourra étudier à titre d'exercice, est la suivante :  a = 2n + p, b = 2n + q, c = 2n + p + q avec pq = 2n2. Et si p et q sont premiers entre eux, il en est de même de a, b et c.

Pour les petits curieux, si on remplace les carrés par des cubes, on pénètre dans le célèbre problème de Fermat : ne cherchez pas, il n'y a pas d'exemple ! Et si, au lieu d'une somme de deux termes, on en écrit 3, on a un joli cas de quadruplet cubique... : 33 + 43 +53 = 63.

Table de Pythagore :

On nomme ainsi un tableau à double entrée indiquant à l'intersection d'une ligne et d'une colonne le résultat d'un opération comme, à gauche, la table de multiplication des chiffres décimaux.

Attribuée à Pythagore (avec les chiffres et nombres de son époque), son procédé de formation est le suivant : on écrit les chiffres de 1 à 9 en 1ère ligne et les doubles en seconde ligne. Puis, pour chaque ligne suivante, la ligne du dessus augmentée de la 1ère : c'est une méthode additive.

On voit se former en 1ère colonne les chiffres de 1 à 9 et le résultat d'une multiplication comme 67 est lu à l'intersection de la ligne 6 et de la colonne 7 ou vice versa.

On trouve encore souvent ces tables, au dos des cahiers de brouillon des élèves de l'école primaire sous la forme ci-dessous. On les utilise aussi afin de visualiser les composés de deux éléments dans un groupe fini : c'est alors un carré latin.

 

Groupe symétrique :

Moyenne arithmétique, géométrique et harmonique :

Les Pythagoriciens améliorèrent les calculs fractionnaire et décimal, hérités des égyptiens, en s'appuyant sur les propriétés des proportions et des diverses notions de moyenne. Pour deux nombres, il s'agit des moyennes :

arithmétique : (a + b)/2, géométrique :   = (ab)1/2 , harmonique : (1/a + 1/b)/2

moyenne d'une série de nombres, moyenne pondérée, vitesse moyenne (niveau 6è/5è) :

  Pourquoi cette appellation géométrique ? si x est la racine carré de ab, alors x2 = ab ou x/a = y/b : on dit aussi que x est la moyenne proportionnelle de a et b. Géométriquement, on se ramène à une quadrature (aire d'un carré) chère aux grecs de l'Antiquité : x est le côté du carré qui aurait même aire que le rectangle de mesures a et b.

  Pourquoi cette appellation harmonique ? allusion à la musique, également chère au musicologue qu'était Pythagore : Il s'agit de la moyenne arithmétique des inverses, c'est à dire musicalement de la moyenne arithmétique des fréquences, inverses de la période.

Suites arithmétiques et géométriques :             Série harmonique :              Division harmonique :   

La découverte des nombres irrationnels, notion de racine carrée et distinguo rationnel, irrationnel :

Le théorème de Pythagore appliqué au triangle rectangle ABC construit dans un carré ABCD de côté a, conduit à écrire :

AC2 = a2 + a2 = 2a2

En écrivant AC2 = r2a2, la diagonale du carré apparaît donc comme le produit de a par un nombre r dont le carré est 2 : il s'agit de la  racine carrée de 2, notée 2 : 2 2  = (2)2 = 2. La diagonale [AC] mesure a2.

2 = 1,414213562...

La diagonale AE du cube s'obtient en utilisant le théorème de Pythagore dans le triangle AEF, rectangle en F : 

AE2 = FE2 + AF2 = (a2)2 + a2 = 3a2

Par suite AE = a3 : la racine carrée de 3 est le nombre dont le carré est 3.

                      3 = 1,732050808...

Rudolff et le signe : 


Un rectangle a exactement pour mesures 3 + 3 (longueur) et 3 - 3 (largeur).
Calculer les valeurs exactes de son périmètre p, de son aire a et de ses diagonales d.  Rép. : p = 12, a = 6, d = 24 = 26

racine carrée : auto-évaluation niveau 3ème

La philosophie de Pythagore, transmise par les Pythagoriciens (disciples de Pythagore qui propagèrent sa pensée dans tout l'empire grec) reposait sur l'explication harmonieuse de toute chose par les nombres entiers. Dans leur science des nombres, les Pythagoriciens incluaient les fractions : quotients non effectués de deux entiers.

Cette vision du Monde fut alors sérieusement ébranlée lorsqu'ils ne purent trouver d'entiers m et n tels que m2 = 2n2 afin d'évaluer rationnellement la diagonale du carré : l'incommensurabilité de la diagonale d'un carré (et d'un cube) à son côté, c'est à dire l'irrationalité de 2 sera prouvée par Aristote et donnera naissance aux nombres dits irrationnels, s'opposant à rationnel (étymologiquement que l'on ne peut pas compter, du latin ratio signifiant compte). Ainsi commence la longue construction des nombres réels.

Raisonnement par l'absurde et irrationalité de 2 :

  Les mathématiciens grecs et arabes ont dès lors cherché à mettre en œuvre des algorithmes de calcul approché d'une racine carrée. Parmi les plus connus, on peut citer Théon de Smyrne, Théon d'Alexandrie, Aryabhata, Al-Khwarizmi et, tout particulièrement car sa méthode basée sur le système décimal positionnel (notre système actuel) et l'identité (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 fut employée jusque dans les années 1950, Ibn al-Banna al Marraqshi (1256-1321) qui vécut à Marrakech (Maroc).

Algorithme d'extraction selon Al-Banna :             Racine carrée, cubique, n-ème dans ChronoMath :

Nombre rationnel :   

Rappelons qu'un nombre est dit rationnel s'il peut s'écrire sous la forme a/b (fraction) où a et b sont des nombres entiers relatifs (b positif non nul).

  • 2/3, -3/4 sont rationnels. 2/3 n'est pas décimal car il possède une infinité de décimales. 0,666 ou 0,6667 ne sont que des approximations décimales (et rationnelles 0,666 = 666/1000) de 2/3. -3/4 est décimal : on peut l'écrire -0,75.

  L'ensemble des nombres rationnels, noté Q (Q comme quotient) constitue un corps commutatif.

 Construction du corps des nombres rationnels :              Peano et les notations ensemblistes :

  Dedekind , Meray , Weierstrass , Cantor

Pour qu'un nombre possédant une infinité de décimales soit rationnel, il faut et il suffit que la suite de ses décimales soit périodique car, pour un nombre rationnel a/b, dans la division de a par b, les restes ne peuvent excéder b - 1. On obtient la même suite de décimales au bout d'au plus b divisions (si tous les restes sont différents).

  • 1/7 = 0,14285714285714285714285714285714... : la période est de longueur 6 = 7 - 1

  • 2/9 = 0,222222222... : la période est de longueur 1.


On considère le nombre x = 0,538461538461538461... développement décimal illimité de longueur 6.
Donner l'expression rationnelle (fractionnaire) de x.
Indication : calculer 1000000x - x. Remarquer ensuite que 59289 est divisible par 9, puis que 37037 est divisible par 37. Noter aussi que 1001 est divisible par 7, puis...  Rép : x = 7/13.

Existe-t-il dans N deux entiers a et b dont aucun n'est un carré tels que a + b soit entier ?    

  Théodore de Cyrène , Al-Biruni , Galilée , Cauchy , Weierstrass , Méray , Dedekind , Cantor

Notion d'angles alternes-internes, somme des angles d'un triangle, angles correspondants :         

Selon Proclus, la notion d'angles alternes-internes, mise clairement en place par Euclide dans ses Éléments (Livre I, proposition 27 à 29) fut utilisée auparavant par les Pythagoriciens qui énoncèrent :

la somme des angles d'un triangle égale deux angles droits (angle plat)

Il suffit de tracer la droite (d) passant par A et parallèle à (BC). Les parallèles (d) et (BC) sont coupées par la sécante (AB) : elles déterminent donc des angles alternes-internes de même mesure : ^A1 = ^B1. De même ^A3 = ^B3, d'où le résultat.

Cette propriété fondamentale fera l'objet de la proposition 32 du livre I des Éléments d'Euclide. Depuis Hipparque, on peut aussi énoncer :

Dans tout triangle la somme des mesures des angles égale 180°

  preuve élémentaire (niveau 6ème)

Rappel : Deux droites (d1) et (d2) coupées par une sécante (s) déterminent des angles dits alternes-internes (en vert). Ainsi appelés car ils ils sont de part et d'autre de la sécantes (ils alternent) et ils sont à l'intérieur (internes) de la bande formée par les droites (d1) et (d2). Les angles marqués en rouge sont dits correspondants. On a le résultat suivant :

Pour que (d1) et (d2) soient parallèles, il faut et il suffit que les angles alternes-internes ou correspondants formés avec une sécante quelconque (s) soient de même mesure.

 
  Vous pouvez faire pivoter (d1) ou (d2)

 Somme des angles au sommet d'une pyramide :


Exercices niveau 5ème/4ème : Angles & parallèles, somme des angles du triangle

Angles et parallèles  #1, 2, 3  apprendre à démontrer, angles alternes-internes

Angles et parallèles #4, 5, 6  angles correspondants

Angles et parallèles #angles alternes-internes et opposés par le sommet

Parallélogramme et bissectrices  angles alternes-internes

Bissectrices et parallèles (angles alternes internes)   apprendre à démontrer
Barrette mobile dans un triangle  angles alternes-internes, bissectrice
Somme des angles d'un triangle  apprendre à rédiger

Somme des angles d'un triangle  triplement d'un angle, apprendre à démontrer

Somme des angles du triangle  axe de symétrie, angles opposés par le sommet

Symétrie axiale et somme des angles du triangle  apprendre à démontrer/rédiger

Symétrie centrale & symétrie axiale    angles alternes-internes

Question équilatérale  somme des angles d'un triangle

Un carré et des angles   somme des angles d'un triangle

Bissectrice, hauteur, somme des angles d'un triangle  apprendre à rédiger

  Triangle infernal  un « petit » problème angulaire...

A droite :
Pythagore personnifiant l'arithmétique,  fragment de la fresque de Raphaël :
École d'Athènes
, Chambre de la signature - Vatican
 


Web Gallery of Art

 
L'étude des polygones et polyèdres réguliers :

Les Pythagoriciens connaissaient parfaitement les polygones réguliers. Ils furent les premiers à s'intéresser aux polyèdres réguliers, dits aussi communément polyèdres de Platon : ils construisirent le cube (6 faces), le tétraèdre (4 faces) et le dodécaèdre (12 faces); on sait depuis Descartes qu'il n'y en a que cinq, avec l'octaèdre (8 faces) et l'icosaèdre (20 faces).

 

Le symbole de la secte pythagoricienne était le pentagramme, pentagone étoilé (en orange ci-dessous) constitué des diagonales du pentagone régulier, également appelé pentacle, lequel possède de nombreuses propriétés géométriques et numériques : le rapport de la diagonale au côté est le célèbre nombre d'or Φ :

         

   Petit exercice sur le pentagramme (niveau 6ème) , et niveau 1ère (plus dur...)

La forme pentagonale régulière semble avoir fasciné penseurs, architectes, constructeurs, depuis l'antiquité. Il est vrai, de surcroît, qu'elle se rattache aux fameux nombre d'or...

On peut évoquer :

  • la représentation symbolique des étoiles du ciel; les symboles religieux; de très nombreux drapeaux;

  • la plupart des distinctions honorifiques, comme à droite la médaille de la Légion d'honneur; le constructeur Chrysler; le Pentagone (ministère américain de la défense)

  •  ...

Considérations sur le nombre d'or et la section dorée :

A gauche, le drapeau turc. Le croissant, rappelle la période de début du Ramadan : premier croissant qui suit la nouvelle Lune, 9ème mois (lunaire) de l'année musulmane. L'étoile à 5 branches rappelle les 5 prières quotidiennes et les 5 piliers (commandements) de l'Islam : il n'y a de dieu que Dieu et Muhammad est son prophète, la prière, le jeûne pendant le mois de Ramadan, l'aumône, le pèlerinage à la Mecque.

Pentagone régulier et pentagramme :           Pythagore (et bien d'autres) sur YouTube :


Thalès  Zénon
© Serge Mehl - www.chronomath.com