Espaces affines, Applications affines, transformations affines du plan et de l'espace      » Appl. affine (déf.) | Affinité | Dilatation | Homothétie | Projection | Symétrie centrale | Symétrie /une droite ou plan | Translation | Transvection           Isométries du plan et de l'espace (déplacements et antidéplacements) | Similitudes | Interprétation complexe des similitudes du plan

La plupart des paragraphes de cette page nécessite généralement la connaissance des espaces vectoriels et des applications linéaires et, dans une moindre mesure, des matrices et des déterminants. On trouvera toutefois tout au long de cette page des exercices et des exemples de niveau collège et lycée (fonctions linéaires et affines, transformations affines élémentaires).

Le terme affine nous vient du latin affinis, adjectif signifiant voisin, lié, associé : penser au mot affinité, du latin affinitas = alliance, ressemblance, sympathie envers une personne. Ce qualificatif se rencontre en biologie pour désigner des espèces proches.

Au sens mathématique, les applications affines, ou transformations affines, sont celles qui conservent certaines propriétés géométriques comme le milieu d'un segment, l'alignement, le barycentre d'un système de points (propriété caractéristique qui nous servira pour leur définition), le parallélisme, le rapport des aires, le rapport des distances et des mesures algébriques, les contacts, le birapport de quatre points alignés.

La conservation des distances et des angles n'est généralement pas assurée. Ce sera cependant le cas des isométries, bijections affines conservant les distances, l'orientation étant conservé dans le cas des déplacements, rotation par exemple. Plus généralement, une transformation conservant les angles est dite conforme : c'est le cas de la similitude (bijection affine) et de la projection Lambert (projection conique, non affine).

 i  Certains auteurs réservent le terme transformation affine aux applications affines bijectives. Une projection n'est pas bijective mais elle transforme cependant une figure géométrique en une figure géométrique. Mieux vaut parler de bijection affine.

Dès le collège, en classe de 3ème, on rencontre la notion de fonction affine en tant que fonction numérique f : x → mx + b dont la représentation graphique est une droite du plan. à cette fonction on associe la fonction linéaire φ : x → mx, dont la représentation graphique lui est parallèle et passe par l'origine.

Cette fonction numérique φ vérifie φ(x + y) = φ(x) + φ(y) et φ(k.x) = k.φ(x) : c'est la première application linéaire rencontrée dans l'enseignement secondaire. Cette notion se généralise au plan (dimension 2) et à l'espace (dimension 3), voire à des espaces "affines" de dimension n quelconque.

Notion élémentaire de fonction : »               Fonctions affines et droites du plan (niveau collège) : »

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Exercices sur fonctions linéaires et affines - Exercices niveau 3ème/2nde

Dans toute la suite, afin de simplifier les notations vectorielles, une écriture en italique gras, comme OM,  indiquera systématiquement un vecteur et pour tout point, comme A, B, M, ..., les notations A', B', M' désigneront les images de ces points par une application (affine) précisée par le contexte. Rappelons ici que l'on peut construire les vecteurs du plan ou de l'espace à partir du concept de bipoints équipollents défini par Bellavitis.

♦ Les notions exposées font appel à une conception élémentaire d'un espace affine : espaces de points ε associés (on dit aussi attachés) à un espace vectoriel E sur R (parfois qualifié sous-jacent) lié à ε par les propriétés (axiomes) suivantes :

• Pour tout vecteur v de E, pour tout point O de ε, il existe un unique point M tel que OM = v.

• Pour tout triplet A, B, C de ε, on a (relation de Chasles) : AB + BC = AC.

 ➔   Pour une définition générale abstraite basée sur le concept de groupe opérant sur un ensemble, voyez cette page.

♦ Un repère affine d'une droite, d'un plan, de l'espace est la donnée, respectivement, d'un couple (A,B) de points distincts, d'un triplet (A,B,C) de points non alignés, d'un quadruplet (A,B,C,D) de points non coplanaires.

• Par exemple, dans le plan, la donnée de trois points O, I et J non alignés permet de définir le repère (O,I,J) d'origine O, de base (OI,OJ). Les points I et J sont les points unités.
  En posant OI = i et OJ = j, le repère (O,I,J) peut également se noter (O,i,j).

Comme dit en introduction, on s'intéresse ici au plan (dimension 2) et à l'espace (dimension 3) mais on peut aisément généraliser à toute dimension finie : les points de ε sont étudiés (repérés) dans un repère (O,i,j) en dimension 2 et (O,i,j,k) pour la dimension 3.

 ➔   On notera qu'un singleton {A}, ensemble réduit à un point, peut être considéré comme un espace affine associé à l'espace vectoriel {0} réduit au vecteur nul. Un tel espace ne possède pas de repère. On  peut décider que sa dimension est nulle.

Repère orthonormé : »

La notation M(x,y,z) désigne un point d'abscisse x, d'ordonnée y, de cote z. Les nombres x, y et z sont aussi les coordonnées du vecteur OM; on notera encore OM(x,y,z).

♦ Soit Φ un sous-ensemble non vide d'un espace affine ε, A un point de Φ et F un sous-espace vectoriel de E. Φ est qualifié de sous-espace affine de direction F passant par A pour exprimer que pour tout point M de Φ on a AM ∈ F. Si F est de dimension p (p ≤ n), on dit également que p est la dimension de Φ.

Cette définition ne dépend pas du point A choisi dans Φ pour le définir : si B est un point de distinct de A, on a BA = -AB ∈ F, par conséquent BM = BA + AM ∈ F ⇔ AM ∈ F.

• Une droite (resp. plan) affine est un sous-espace affine de dimension 1 (resp. 2) dans un espace affine de dimension 3.

• Deux points A et B d'un espace affine ε définissent une unique droite notée (AB) passant par A et B, de direction AB (ou de vecteur directeur AB).

Droites du plan et de l'espace : »

• Trois points non alignés d'un espace affine ε de dimension 3 définissent un unique plan noté (ABC) passant par A, B et C, de direction le plan vectoriel dont une base est (AB, AC).

Dans le plan ou l'espace, une droite (d) est un sous-espace affine de dimension 1. Elle est définie par un des ses points A et un vecteur directeur u (non nul). La droite vectorielle engendrée par u constitue sa direction : tout vecteur non nul colinéaire à u est un vecteur directeur de (d). On parle de droite passant par A dirigée par u.

M est un point de (d) ⇔ il existe un réel α tel que AM = αu

Exemple : dans l'espace, α désignant un nombre réel quelconque, l'ensemble des points M(1,0,α) est la droite passant par A(1,0,0) et dirigée par k. En effet, OM = i + αk; posons OA = i; on a : OM - OA = AM = αk

 !   si, dans le plan, deux droites sans point commun sont parallèles, il n'en est pas de même dans l'espace :
deux droites disjointes ne sont pas nécessairement parallèles !

Dans un plan affine, toute droite possède une équation cartésienne de la forme :

ax + by + c = 0 , (a,b) ≠ (0,0)

pouvant se ramener à la forme y = a'x + b' si b est non nul, mais dans l'espace, une telle forme serait celle d'un plan (voir ci-dessous).

 ➔   Dans l'espace, la droite ne possède pas d'équation cartésienne mais seulement une équation paramétrique que fournit les coordonnées du vecteur AM = αu : soit, en notant A(x_A, y_A, z_A), M(x, y, z) et u(a,b,c) :

x = x_A + αa  , y = y_A + αb, z = z_A + αc ,   α paramètre décrivant R.          

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Cosinus directeurs d'une droite de l'espace

Comme on le verra ci-dessous, on peut cependant caractériser une droite de l'espace par deux équations cartésiennes de plans dont elle sera l'intersection :  

Dans l'espace 3D, un plan (P) est un sous-espace affine de dimension 2. Il est défini par un des ses points A et un couple (u,v) de vecteurs linéairement indépendants  précisant sa direction : plan vectoriel directeur de (P), engendré par u et v que nous notons (π) :

M est un point de (P)  ⇔  il existe deux réels α et β tels que AM = αu + βv

On dira que (A,u,v) est un repère du plan (P). L'espace étant rapporté à un repère (O,i,j,k), en posant M(x,y,z), l'équivalence ci-dessus se ramène à l'équation paramétrique du plan avec A(a, a', a") u(b, b', b"), v(c, c', c") et  :

Équation cartésienne du plan :    

Les égalités ci-dessus se résument à la forme équivalente ci-dessous, unique à un coefficient multiplicatif près :

mx + ny + pz + q = 0     (eqp)

Preuve : la preuve la plus simple consiste à munir l'espace 3D de la structure d'espace euclidien usuel (niveau 1èreS/TerS) et utiliser la notion élémentaire de produit scalaire en écrivant que si w(m,n,p) désigne un vecteur orthogonal au plan (π), plan vectoriel directeur de (P), M est un point de (P) si et seulement si le vecteur AM de coordonnées (x - a, y - a', z - a") est orthogonal à w, c'est à dire m(x - a) + n(y - a') + p( z - a") = 0, ce qui peut s'écrire mx + ny + pz + q = 0 en posant q = - ma - na' - pa".

 ➔   Une équation cartésienne de (π) est ainsi mx + ny + pz = 0 et toute droite (d) orthogonale à (P) a pour direction w(m,n,p).

La notion d'hyperplan :    

La notion de plan dans l'espace, sous-espace affine de dimension 2 = 3 - 1, se généralise en dimension n > 2 avec la notion d'hyperplan, sous-espace de dimension n - 1. On démontre qu'un hyperplan possède une équation cartésienne généralisant celle du plan donnée ci-dessus en (eqp).

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Vérifier que dans l'espace 3D, l'ensemble (P) des points M(x,y,z) tels que x - 2y + z = 1 est un plan passant
par A(3,1,0) de direction (u,v) = (i - k, j + 2k).

 ➔   On parle parfois de système d'équations cartésiennes d'une droite de l'espace en considérant celle-ci comme l'intersection de deux plans. Exemple :

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Déterminer la droite (D) de l'espace, intersection des plans d'équations respectives  x - y + z = 2  et  x + y = 3z.
Rép : en exprimant x et y en fonction de z on trouvera que (D) est la droite passant par A(1,-1,0) dirigée par u(1,2,1)
 

Soit ε un espace affine associé à un espace vectoriel E. Dans toute la suite id_ε (resp. id_E) désignera l'application identique qui à tout point (resp. vecteur) associe ce même point (resp. vecteur). Autrement dit, id_ε : M → M  et id_E : v → v. D'une façon générale on utilisera la notation « ' » (prime) pour désigner l'image d'un point M de ou d'un vecteur v par une application.

Définition :   

On qualifie d'affine toute application f de ε dans lui même conservant le barycentre de tout couple de points pondérés. En d'autres termes : soit {(A,α) , (B,β)} un couple de points pondérés pour lequel α + β ≠ 0; il existe alors un unique point G de ε tel que αGA + βGB = 0.

f :  ε → ε est dite affine   ⇔_def    αG'A' + βG'B' = 0
» On peut résumer en exprimant que l'image d'un barycentre est le barycentre des images.

La propriété d'associativité du barycentre permet d'affirmer  :

Soit (A_i)_{i = 1,2,...n} un système pondéré de points de ε tel que Σα_i est non nulle, il existe alors un unique point G de ε tel que :

α₁GA₁ + α₂GA₂+ ... α_nGA_n = 0

f :  ε → ε est affine si et seulement si α₁G'A'₁ + α₂G'A'₂+ ... α_nG'A_'n = 0

Soit O un point quelconque de ε. Une application f de ε dans lui même est affine, si et seulement s'il existe une application linéaire φ  (endomorphisme) de L(E) tel que pour tout M de ε :

M' = f(M)  ⇔ O'M' = φ(OM)  avec O' image de O par f      (r1)

On peut écrire (r1) sous la forme :

M' = f(M)  ⇔ OM' = φ(OM) + OO' avec O' image de O par f     (r2)

La condition est nécessaire :   
Supposons f affine; fixons O dans ε. Soit V un vecteur quelconque de E; il existe un unique point M de ε tel que V = OM; posons  φ(V) = O'M'.

Montrons que φ est linéaire : pour tout α réel, f conserve le barycentre G de {(M,α) , (O,1-α)} :  si α.GM + (1-α)GO = 0  alors αG'M' + (1-α)G'O' = 0. C'est dire que si OG = αOM, alors O'G' = αO'M'. Ainsi :

φ(α.V) = φ(αOM) = φ(OG)  =_def  O'G' = αO'M' = αφ(V)

Maintenant, si V et W sont deux vecteurs quelconques de E, il existe un unique couple de points M et P de ε tels que V = OM et W = OP. Puisque f conserve le barycentre, elle conserve l'isobarycentre G de {(M,1) , (P,1)}. C'est dire que si GM + GP = 0 alors G'M' + G'P' = 0 ou encore si 2OG = OM + OP, alors 2O'G' = O'M' + O'P'. Ainsi :

φ(V + W) = φ(OM + OP) = φ(2OG) = 2φ(OG)  =_def  2O'G' = O'M' + O'P'

soit φ(V + W) =_def φ(OM) + φ(OP) = φ(V) + φ(W) : l'application φ est donc bien linéaire.

La condition est suffisante :   
Soit G le barycentre de {(A,a) , (B,b); on a la relation a.GA + bGB = 0; par linéarité de φ : aφ(GA) + bφ(GB) = 0, soit aG'A' + bG'B' = 0; ce qu'il fallait démontrer.

φ ne dépend que de f :   
Il est important de vérifier que φ ne dépend pas du point O choisi. Or, si A et B sont deux points de ε avec A' = f(A), B' = f(B), alors, selon la formule de Chasles, AB = OB - OA et on a : A'B' = φ(AB).

♦  Lorsque E = R, noter le lien entre applications linéaire φ(x) = ax et affine f(x) = ax + b avec u = b.

Lorsque l'espace affine ε est de dimension finie n et rapporté à un repère (O,e₁, ..., e_n), on note M(x,y,z,...), M'(x',y',z',...) l'image de M par f et O'(α, β, γ, ...) celle de O dans ce repère. Eu égard à la linéarité de l'endomorphisme φ associé à f, la relation OM' = φ(OM) + OO' peut s'écrire  matriciellement OM' = A × OM + OO'  ou plus simplement M' = A × M + u :

où A est la matrice de φ dans la base (e₁, ..., e_n) et une telle écriture caractérise une application affine. Comme dans le cas linéaire, on appelle expression analytique de f, la donnée des coordonnées x', y', z', ... de f(M) en fonction de celles de M.

Des coordonnées x', y', z', ... de M' = f(M) polynomiales de degré 1 en x, y, z, ... caractérisent une application affine f : ε → ε.

Partie linaire d'une application affine :

Les nombres x', y', z', ... sont des combinaisons linéaires de x, y, z, ... éventuellement augmentées d'un scalaire et ces formes caractérisent les applications affines. Lorsque tous les scalaires sont nuls (u = 0), c'est que l'origine O du repère (O,e₁, ..., e_n) de ε est invariante et une telle application affine s'identifie à son endomorphisme associé φ :

Tout comme son endomorphisme, et dans ce contexte, cette partie de l'expression analytique de f est qualifiée de partie linéaire.

♦  Convention d'écriture pratique :     

1. Une origine quelconque O étant choisie dans ε, se donner un point M revient à se donner le vecteur OM. La relation (r2) OM' = φ(OM) + OO' peut alors s'écrire M' = φ(M) + O' ou bien M' - O' = φ(M) exprimant O'M' = φ(OM).

2. Une écriture comme M + u caractérisera l'image M' du point M par la translation de vecteur u : OM' = OM + u.

3. Écrire M' = f(M + u) revient à exprimer le vecteur φ(OM + u) = φ(OM) +  φ(u); donc f(M + u) = f(M) + φ(u).

Soit f une application affine de l'espace affine de ε, d'espace vectoriel sous-jacent E, d'endomorphisme associé φ.

♦ p0/ la relation (r2), OM' = φ(OM) + u , avec u = OO' montre que l'application affine f est entièrement déterminée par son endomorphisme et l'image d'un point quelconque du plan.

♦ p1/ Si A est un point de ε, l'application constante f : M → A est une application affine dont l'endomorphisme associé est l'application linéaire nulle θ : v → 0. En effet, on a pour tout M, OM' = θ(OM) + u  avec u = OO' = OA.

♦ p2/ L'application affine f est entièrement déterminée par l'image d'un repère affine de ε.

♦ p3/ Si f et g sont affines d'endomorphismes associés respectifs φ et ψ, il en est de même de la composée g o f dont l'endomorphisme associé est alors ψ o φ. Ce résultat permet de décomposer une application affine en un produit de composition.

♦ p4/ Si f et g sont affines toute combinaison linéaire de f et g est affine. En ce sens que dans un repère de ε, M → M' = (f + g)(M) signifie que les coordonnées de M' sont celles de f(M) augmentées de celles de g(M) et M → M' = αf(M) signifie que les coordonnées de M' sont celles de f(M) multipliées par α. Avec les notations précédentes, l'endomorphisme associé à αf + βg est αφ + βψ.

• Soit f définie par M(x,y)  → M'(x + y, 2y-1) et g par M(x,y)  → M'( y, 1 - x); alors :
  f + g : M(x,y)  → M'(x + 2y, 2y-x) , 2f - 3g : M(x,y)  → M'(2x - y, 3x + 4y - 5)

• Si s est une symétrie (s o s = id_ε), alors p : M → M' = ½(M + s(M)) est une projection (p o p = p).

• Si p est une projection (p o p = p), alors αid_ε + (1 - α)p  : M → M' = αM + (1 - α)p(M) est une affinité.

Exemples usuels de décomposition : »

♦ p5.1/ Pour qu'une application affine f soit bijective il faut et il suffit que sa partie linéaire φ le soit. Pour qu'il en soit ainsi, il faut et il suffit que le noyau de φ soit réduit à {0}

Preuve : soit φ l'endomorphisme associé à f. L'expression analytique de f s'écrit symboliquement M' = A×M + u où A est la matrice de sa partie linéaire. On peut ainsi décomposer f sous la forme f = t_u o φ : M → A×M → A×M + u, t_u désignant la translation de vecteur u. La translation étant une bijection, si φ est bijective, f  l'est aussi en tant que composée de deux bijections. Inversement si f est bijective, en composant par la translation réciproque de vecteur -u, on peut écrire t_-u o f  = φ et conclure.

♦ p5.2/ Si f est une application affine bijective d'endomorphisme associé φ, sa réciproque f^-1 est également affine.

Preuve : On a f = t_u o φ et M' = f(M) ⇔ M = f^-1(M'). f^-1 = (t_u o φ)^-1 = φ^-1 o t_-u , d'où : f^-1(M') = A^-1×(M' - u) = A^-1×M' - A^-1u. L'application réciproque de f est donc affine, d'endomorphisme associé φ^-1 (de matrice A^-1), l'image de l'origine est fournie par A^-1u.

• Considérons l'application affine f définie par x' = 2x + y + 1 , y' = 7x + 4y - 1. φ a pour matrice A = , son déterminant est 1 ≠ 0; φ est donc bijective et il en est donc de même de f (selon p5). La matrice inverse de φ, à savoir celle de φ^-1, est A^-1 = ; on l'applique à u(1,-1), ce qui nous conduit à l'expression analytique de f^-1 : M' → M : , soit : x = 4x' - y' - 5 , y = -7x' + 2y' + 9. Vérifions ce résultat en recherchant à exprimer x et y en fonction de x' et y' à partir de l'expression analytique de f : on est conduit au système 2x + y = x' - 1 , 7x + 4y = y' + 1. On trouvera aisément x = 4x' - y' - 5 , y = -7x + 2y' + 9.

Groupe affine :    

L'ensemble des applications affines bijectives de ε est un groupe (non commutatif) pour la loi de composition des applications
noté GA(ε) et l'application f → φ est un morphisme de GA(ε) dans le groupe linéaire GL(E).

♦ p6/ Si l'application affine f admet deux points invariants A et B, alors tous les points de la droite (AB) sont invariants par f.

Preuve : soit K un point quelconque de (AB) autre que A et B. K s'écrit comme barycentre de A et B : il existe deux réels a et b tels que aKA + bKB = 0. On a alors, avec K' = f(K) : φ(aKA + bKB) = φ(0), c'est à dire aK'A + bK'B = 0 et l'unicité du barycentre prouve que K' = K.

♦ p7/ la conservation du barycentre permet d'affirmer qu'une application affine bijective transforme :

• des points alignés en des points alignés;
• une droite en une droite; un plan en un plan;
• des points coplanaires en des points coplanaires;

♦ p8/ Si U est un sous-espace vectoriel de E ({0}, droite vectorielle, plan vectoriel, E lui-même), l'image par f du sous-espace affine (singleton, droite affine, plan affine, ε lui-même ) passant par A et dirigé par U est le sous-espace affine passant par A' = f(A), dirigé par φ(U) et de même dimension que ce dernier.

♦ p9/ l'ensemble U des points invariants par l'application affine f, à savoir les points M tels que f(M) = M, est soit vide, soit un point, soit un sous-espace affine propre (droite, plan) passant par un tel point et dirigé par le sous-espace vectoriel V des vecteurs invariants par φ.

Preuve : M = f(M)  ⇔ OM = φ(OM) : rechercher l'ensemble U des points invariants par f revient donc à rechercher le sous-espace vectoriel V des vecteurs invariants par son endomorphisme associé φ. Le cas U vide ou réduit à un point (singleton) correspond à V = {0}.

♦  p10/ Une application affine conserve les rapports des mesures algébriques de trois points alignés et, par conséquent, le birapport de quatre points alignés.

Preuve : soit trois points alignés A, B et C et considérons par exemple AB et AC : il existe un réel k tel que AB = kAC. Avec les notations précédentes, φ(AB) = A'B' = kφ(AC) = kA'C' :  c'est dire que si AB/AC = k, il en est de même de A'B'/A'C'. Si on considère maintenant un birapport [A,B,I,J] = IA/IB : JA/JB, les deux rapports IA/IB et JA/JB sont conservés, donc également leur rapport.

♦  Une translation est une application affine dont l'endomorphisme associé est l'application identique id_E : v → v; la translation de vecteur non nul n'admet aucun point invariant. C'est une bijection dont la réciproque est la translation de vecteur -u.

♦  Inversement, une application affine de partie linéaire id_E est une translation.

Translation & addition vectorielle, composée de deux translations (exposé élémentaire) : »
La translation en tant qu'isométrie : »

Proposition :    

Muni de la loi de composition des applications, l'ensemble T(ε) des translations dans ε constitue
un sous-groupe distingué du groupe affine GA(ε).

Preuve : T(ε) est un sous-groupe de GA(ε) : l'application composée de deux translations t_u et t_v est la translation t_{u + v} = t_{v + u} : T(ε) est stable pour la loi o. Le symétrique d'une translation t_u est la translation  t_-u. Soit maintenant f une application affine de GA(ε) de partie linéaire φ. Le sous-groupe des translations est distingué dans GA(ε) si, pour tout t_u de T(ε), t = f o t_u o f^-1 est une translation. La partie linéaire de t est φ o id_E o φ^-1 = φ o φ^-1 = id_E : t est une translation. Pour tout M de ε : t(M) =  (f o t_u o f^-1)(M) = f(f^-1(M) + u) = M + φ(u) : t = f o t_u o f^-1 est la translation de vecteur φ(u). » voir convention d'écriture.

Autre preuve : »

♦ p11/ Les applications affines autres que l'identité, transformant une droite en une droite parallèle sont les translations ou les homothéties (preuve : ☼).

Dilatation et groupe des homothéties-translations : »

Dans un plan affine ε de dimension 2, on considère une droite (d) et une direction de droite (δ) définie par un vecteur u. Soit f l'application qui à tout point M du plan associe le point M' défini par (MM') // (δ) et H milieu de [MM'], H désignant l'intersection de (MM') avec (d). On parle de symétrie par rapport à (d) parallèlement à (δ) ou suivant la direction u. La droite (d) est l'ensemble des points invariants dans cette symétrie et le symétrique de M' est M : f o f = id. La symétrie par rapport à une droite est donc involutive, autrement dit une bijection coïncidant avec sa réciproque.

♦ p12b/  Pour toute application affine involutive  f et tout point A d'image A', le milieu I de [AA'] est invariant par f

Preuve : A" = f(A') = f(f(A)) = (f o f)(A) = A. I le milieu de [AA'] ⇔ IA + IA' = 0. Appliquons φ : I'A' + I'A" = 0 , c'est à dire I'A' + I'A = 0. I est donc le milieu de [AA']. C'est dire que I' = I.

♦ p12c/  Toute involution affine plane f autre que l'identité est une symétrie centrale ou une symétrie par rapport à une droite.

Preuve : Soit J l'ensemble J des points invariants par f. J n'est pas vide car selon p12b, l'ensemble des milieux de [MM'] lorsque M décrit ε en fait partie. J est donc un sous-espace affine (p8) : singleton, droite ou plan lui-même. J n'est pas le plan puisque f n'est pas l'identité. Si J est réduit à un point I, alors I est le milieu de [MM'] pour tout point M du plan : f est la symétrie centrale de centre I. Si J est une droite (d), sa direction est celle de la droite vectorielle des vecteurs invariants par son endomorphisme associé φ (» p6); soit w un représentant de cette direction; on peut définir (d) en tant que droite passant par le milieu de [OO'] (ou par tout autre segment [AA'], A' = f(A) et dirigée par w. L'endomorphisme φ étant involutif, le vecteur MM' vérifie φ(MM') = M'M = - MM' : le vecteur MM' garde une direction fixe, il appartient à la droite vectorielle δ des vecteurs changés par φ en leur opposé. » symétrie vectorielle. f est la symétrie par rapport à (d) de direction δ.

La condition est nécessaire car selon la relation fondamentale, on a u = OO', vecteur qui doit donc appartenir à la direction de la symétrie, tant vectorielle que affine. Elle est suffisante, si OM' = φ(OM) + u et φ(u) = - u, alors, en appliquant φ : φ(OM') = O'M" = (φ o φ)(OM) + φ(u), c'est à dire + OM" = OM - OO', donc M" = M et on applique p12.

• f définie par x' = 3x - 2y + 1, y' = 4x - 3y est-elle une symétrie affine ? Réponse : non. L'endomorphisme associé φ a pour matrice :

M² = I (matrice unité), donc φ est involutive : c'est une symétrie vectorielle. Mais on a ici OM' = φ(OM) + u avec u(1,0), donc -u(-1,0). Or :

La direction de la symétrie vectorielle est obtenue en recherchant v(x,y) tel que φ(v) = -v, système fournissant y = 2x.

Dans le plan ou l'espace affine ε (dimension 2 ou 3), on appelle projection une application affine f vérifiant f o f = f. Il s'agit donc d'une application affine idempotente.

♦  p14/  L'endomorphisme associé à une projection affine est un projecteur.

Preuve : notons π l'endomorphisme associé à la projection f et soit u un vecteur de E, espace vectoriel sous-jacent à ε, dont un représentant est AB. Notons A'  (resp. B'), l'mage de A (resp. B) par f et A" (resp. B") l'image de A' (resp. B') par f. On a A" = A' et B" = B' car f est une projection, et π(u) = π(AB) = A'B'. Or(π o π)(u) =  π[π(u)] = π(A'B') = A"B" = A'B' = π(u) : c'est dire que π o π = π; π est un projecteur.

♦ p15/ Toute application affine idempotente (projection) f admet au moins un point invariant et son image coïncide avec l'ensemble de ses points invariants (sous-espace affine de ε).   » p8-p9

Preuve : Soit J l'ensemble des points invariants par f et F l'image de ε par f. Puisque f o f = f, on a f(f(M)) = f(M) pour tout point M : J contient F et n'est donc pas vide. Inversement, si M est invariant, alors f(M) = M, donc F contient J. Finalement J = F.

Dans toute la suite, on élimine deux cas triviaux de projection :
a) f = id_ε : M → M, application identique de ε             b) f = c^te, application constante qui à tout M de ε associe un même point A.

 !  Réciproquement, une application affine dont l'endomorphisme associé est un projecteur peut ne pas être une projection. Considérer ce contre-exemple :

• Dans un plan affine (P) soit f l'application affine définie par x' = 3x - 6y + 1 , y' = x - 2y - 1. Vérifier que son endomorphisme π est un projecteur mais que f n'admet aucun point invariant : ce n'est pas une projection du plan.

Dans le cas général, selon le théorème fondamental, si A est un point quelconque d'image A' par f, tout point M d'image M' = f(M) vérifie A'M' = π(AM). Notons A" et M", les images respectives de A' et M' par f. On a A"M" = π(A'M') = π(π(AM)) = π(AM). Donc M"= M ⇔ A" = A'.

On peut donc énoncer :

♦  p18/  La projection p sur une droite (D)  suivant la direction - ou parallèlement à - (δ), est une application affine M → M'∈(D) admettant (D), base de la projection, comme ensemble de points invariants, (MM') gardant la direction (δ) pour tout M du plan.
Si u est un vecteur directeur de (D), l'endomorphisme associé à p est le projecteur de direction (δ) sur la droite vectorielle engendrée par u.

∗∗∗
Dans le plan affine 2D, on considère l'application f définie par M(x,y) → M'(x',y') = (3x - y + 1, 6x - 2y +3).
a) Justifier brièvement que f est une application affine.
b) Vérifier sans utiliser l'endomorphisme associé que f o f = f.    c) Préciser les caractéristiques géométriques de cette application. ☼

♦ III - Concrètement (projection de l'espace 3D sur un plan parallèlement à une droite) :        

∗∗∗
Dans l'espace affine 3D rapporté à un repère (O, i, j, k), on considère la droite (D) passant le point A(1,0,1), dirigée par u(1,2,1)
et le plan (P) d'équation x - 2y + z - 1 = 0. Donner l'expression analytique de la projection affine sur (D) parallèlement à (P) ☼

Cette transformation prit naissance avec Euler dans son Introductio in Analysin infinitorum de 1748, écrit en latin. Considérant les courbes semblables, c'est à dire images l'une de l'autre par une similitude (composée d'une homothétie et d'une isométrie) pour lesquelles les rapports des abscisses et des ordonnées est le même, Euler s'intéresse au cas où ces rapports pourraient être distincts. La courbe image présentant alors une certaine affinité avec la courbe initiale (du larin affinitas = alliance, ressemblance). L'avènement de Bourbaki  a semé une certaine confusion de vocabulaire en substituant l'appellation dilatation à celle d'affinité. ChronoMath fait le choix de conserver le vocabulaire historique en conservant à la dilatation son ancienne acception étudiée au paragraphe suivant.

Lorsque ε est de dimension n (n ≥ 2), considérons une droite (δ), un hyperplan Φ de ε (sous-espace affine de dimension n - 1, plan dans le cas n = 3) ne contenant pas (δ) et un réel non nul k :

L'affinité de base Φ parallèlement à (δ), de rapport k, est l'application qui à tout point M de ε associe le point M' défini par
(MM') // (δ) et HM' = k.HM avec H = p(M), projection de M sur (Φ) parallèlement à (δ).

Appelons f  l'affinité définie ci-dessus :

• Si k = 1, f  est l'application identique de ε : M → M.

• Si k = -1, f  est la symétrie par rapport à Φ, parallèlement à (δ).

Illustration dans le cas de l'espace 3D (n = 3)

Montrons que f est une application affine : plaçons-nous dans un repère de ε d'origine O situé sur (d). On a alors O' = p(O) = O. L'égalité HM' = k.HM peut s'écrire  OM' - OH = k.(OM - OH) ou encore : OM'  = k.OM + (1 - k).OH. Si π désigne le projecteur associé à p, on a π(OM) = p(O)p(M) = OH. En notant h_k l'homothétie vectorielle de rapport k, on a :

OM'  = h_k(OM) + (1 - k).π(OM) = [h_k + (1 - k)π](OM)

♦ p19a/ Avec les notations ci-dessus, l'affinité est une bijection affine d'endomorphisme associé h_k + (1 - k)π = k.id_E + (1 - k)π (affinité vectorielle) et dont les points invariants sont ceux de sa base.

Preuve : Selon la proposition p5, il nous faut montrer que φ = k.id_E + (1 - k)π est un automorphisme de E (k ≠ 0). Le cas k = 1 étant trivial, on suppose k ≠ 1. L'espace E étant de dimension finie, il suffit de montrer que le noyau de φ est réduit à {0}. Notons Δ l'hyperplan vectoriel dirigeant Φ et supposons k.v + (1 - k).π(v) = 0. Si v ∈ Δ, on a π(v) = v, on en déduit v - k.v = - k.v, donc v = 0. Sinon v peut s'écrire u ⊕ w, u dirigeant (δ) et w ∈ Δ car Φ ne contenant pas (δ), E est somme directe de Δ et de la droite vectorielle dirigeant (δ). On a alors π(v) = w, d'où (1 - k).w = -k.v et k n'étant ni 0, ni 1, v serait un vecteur de Δ, ce qui est contraire à l'hypothèse : v ne peut être que nul.

♦ p19b/ L'affinité réciproque possède les mêmes bases et direction et sa partie linéaire est h_1/k + (1 - 1/k)π.

Preuve : ce résultat est géométriquement intuitif. Vu que h_1/k o h_k = id_E et π o π = π, on peut vérifier que [h_1/k + (1 - 1/k)π] o [h_k + (1 - k)π] = id_E.

♦ p20/ Choisissons une base de E comme réunion d'une base de Δ (l'hyperplan vectoriel dirigeant Φ) et d'un vecteur directeur u de (δ). En plaçant en dernière position le vecteur u, La matrice d'une affinité vectorielle est de la forme :

 ➔   L'affinité plane (n = 2) :     

Dans ce cas l'hyperplan Φ est une droite : on considère une droite (d), une direction de droite (δ) distincte de celle de (d) et un réel non nul k. L'affinité de base (d), de direction (δ), de rapport k est l'application qui à tout point M du plan associe le point M' défini par (MM') // (δ) et HM' = k.HM où H = p(M), projection de M sur (d) parallèlement à (δ).

 i  Plutôt que de direction (δ), on dit parfois, voire souvent, parallèlement à (δ) bien que ce soit limite illicite puisqu'il s'agit ici d'une direction de droite caractérisée par un vecteur et non pas par une droite.

• Si k = -1, on retrouve la symétrie par rapport à (d) parallèlement à δ.

affinité de base (d), de direction (δ), de rapport 2

  Lorsque la direction  (δ) est orthogonale à celle de (d), on parle d'affinité orthogonale :

L'ellipse, image de son cercle principal par affinité orthogonale : »