ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Espaces affines, Applications affines, transformations affines du plan et de l'espace
    
Translation , homothétie , dilatation , projection , symétrie centrale | symétrie par rapport à une droite , affinité
            Isométries du plan et de l'espace (déplacements et antidéplacements) , similitudes , interprétation complexe des similitudes du plan

La plupart des paragraphes de cette page nécessite généralement la connaissance des espaces vectoriels et des applications linéaires et, dans une moindre mesure, des matrices et des déterminants. On trouvera toutefois tout au long de cette page des exercices et des exemples de niveau collège et lycée (fonctions linéaires et affines, transformations affines élémentaires).

affine nous vient du latin affinis, adjectif signifiant voisin, lié, associé : penser au mot affinité, du latin affinitas = alliance, ressemblance, sympathie envers une personne. Ce qualificatif se rencontre en biologie pour désigner des espèces proches.

Au sens mathématique, les transformations affines sont celles qui conservent certaines propriétés géométriques. Par exemple, la similitude transforme un triangle en un triangle semblable : conservation des angles. L'affinité, étudiée dans cette page, est une transformation affine que décrivit Euler.

Dès le collège, en classe de 3ème, on rencontre la notion de fonction affine en tant que fonction numérique f : xmx + b dont la représentation graphique est une droite du plan. A cette fonction on associe la fonction linéaire φ : xmx, dont la représentation graphique lui est parallèle et passe par l'origine.

Cette fonction numérique φ vérifie φ(x + y) = φ(x) + φ(y) et φ(k.x) = k.φ(x) : c'est la première application linéaire rencontrée dans l'enseignement secondaire. Cette notion se généralise au plan et à l'espace usuels, voire à des espaces "affines" de dimension quelconque.


Exercices sur fonctions linéaires et affines - Exercices niveau 3ème/2nde

Dialogue affine  fonctions affine et linéaire, détermination, vérification graphique

Degrés Fahrenheit et degrés Celsius  fonction affine    

Abonnement  fonction linéaire et fonction affine, représentation graphique

Gaine électrique fonction affine par intervalles, valeur absolue

 Autres nombreux exercices tout au long de cette page

Notion élémentaire de fonction :                Fonctions affines et droites du plan (niveau collège) :

Dans toute la suite, afin de simplifier les notations vectorielles, une écriture en italique gras, comme OM,  indiquera systématiquement un vecteur et pour tout point, comme A, B, M, ..., les notations A', B', M' désigneront les images de ces points par une application (affine) précisée par le contexte. Rappelons ici que l'on peut construire les vecteurs du plan ou de l'espace à partir du concept de bipoints équipollents défini par Bellavitis.

Notion d'espace affine, repère affine :    

Les notions exposées font appel à une conception élémentaire d'un espace affine : espaces de points associés (on dit aussi attachés) à un espace vectoriel E (parfois qualifié sous-jacent) lié à par les propriétés (axiomes) suivantes :

Pour une définition générale abstraite basée sur le concept de groupe opérant sur un ensemble, on consultera ce lien interne.

Un repère affine d'une droite, d'un plan, de l'espace est la donnée, respectivement, d'un couple (A,B) de points distincts, d'un triplet (A,B,C) de points non alignés, d'un quadruplet (A,B,C,D) de points non coplanaires.

On se restreint ici au plan (dimension 2) et à l'espace (dimension 3) mais on peut aisément généraliser à toute dimension finie : les points de sont étudiés (repérés) dans un repère (O,i,j) en dimension 2 et (O,i,j,k) pour la dimension 3.

  On notera qu'un singleton {A}, ensemble réduit à un point, peut être considéré comme un espace affine associé à l'espace vectoriel {} réduit au vecteur nul. Un tel espace ne possède pas de repère. On  peut décider que sa dimension est nulle.

Repère orthonormé :

La notation M(x,y,z) désigne un point d'abscisse x, d'ordonnée y, de cote z. Les nombres x, y et z sont aussi les coordonnées du vecteur OM; on notera encore OM(x,y,z).

Droite affine, équations d'une droite :

Dans le plan ou l'espace, une droite (d) est un sous-espace affine de dimension 1. Elle est définie par un des ses points A et un vecteur directeur u (non nul). La droite vectorielle engendrée par u constitue sa direction : tout vecteur non nul colinéaire à u est un vecteur directeur de (d). On parle de droite passant par A dirigée par u.

M est un point de (d) il existe un réel α tel que AM = α.u

Exemple : dans l'espace, α désignant un nombre réel quelconque, l'ensemble des points M(1,0,α) est la droite passant par A(1,0,0) et dirigée par k. En effet, OM = i + α.k; posons OA = i; on a : OM - OA = AM = α.k

si, dans le plan, deux droites sans point commun sont parallèles, il n'en est pas de même dans l'espace :
deux droites disjointes ne sont pas nécessairement parallèles !

Dans un plan affine, toute droite possède une équation cartésienne de la forme :

ax + by + c = 0 , (a,b) (0,0)

pouvant se ramener à la forme y = a'x + b' si b est non nul, mais dans l'espace, une telle forme serait celle d'un plan (voir ci-dessous).

Dans l'espace, la droite ne possède pas d'équation cartésienne mais seulement  une équation paramétrique issue de la forme AM = α.u : soit, en notant u(a,b,c) :

x = xA + αa  , y = yA + αb, z = zA + αc ,   α décrivant R.          


Cosinus directeurs d'une droite de l'espace

Comme on le verra ci-dessous, on peut cependant caractériser une droite de l'espace par deux équations cartésiennes de plans dont elle sera l'intersection :

Plan affine, équations d'un plan affine de l'espace 3D :

Dans l'espace, un plan (P) est un sous-espace affine de dimension 2. Il est défini par un des ses points A et un couple de vecteurs directeurs linéairement indépendants (u,v) précisant sa direction (plan vectoriel associé) :

M est un point de (P)    il existe deux réels α et β tels que AM = α.u + β.v

On dira que (A,u,v) est un repère du plan (P). L'espace étant rapporté à un repère (O,i,j,k), en posant M(x,y,z), l'équivalence ci-dessus se ramène à l'équation paramétrique du plan avec u(a, a',a"), v(b, b', b") et A(c, c', c") :

On montre facilement que l'égalité ci-dessus est équivalente à la forme ci-dessus, unique à un coefficient multiplicatif près :

mx + ny + pz + q = 0

On parle alors d'équation cartésienne du plan. Dans l'espace euclidien muni d'un repère orthonormé, une droite orthogonale à (P) sera dirigée par w(m,n,p).


Vérifier que dans l'espace 3D, l'ensemble (P) des points M(x,y,z) tels que x - 2y + z = 1 est un plan passant
par A(3,1,0) de direction (u,v) = (i - k, j + 2k).

On parle parfois de système d'équations cartésiennes d'une droite de l'espace en considérant celle-ci comme l'intersection de deux plans :


Déterminer la droite (D) dont tout point M(x,y,z) vérifie  x - y + z = 2  et  x + y = 3z.
Rép : en exprimant x et y en fonction de z : (D) est la droite passant par A(1,-1,0) dirigée par u(1,2,1)

Application affine :

Soit un espace affine associé à un espace vectoriel E. Dans toute la suite, afin de simplifier le langage, on notera id l'application identique qui à tout point (ou vecteur suivant le contexte) associe ce même point id : M M (ou ce vecteur id : vv).

On qualifie d'affine toute application f de dans lui même conservant le barycentre de tout couple de points pondérés. En d'autres termes :

soit {(A,α) , (B,β)} un couple de points pondérés pour lequel α + β0; il existe alors un unique point G de tel que α.GA + βGB = .

f :   est dite affine   def    α.G'A' + βG'B' =
On peut résumer en exprimant que l'image du barycentre est le barycentre des images.

La propriété d'associativité du barycentre permet d'affirmer  :

Soit (Ai)i = 1,2,...n un système pondéré de points de tel que Σαi est non nulle, il existe alors un unique point G de tel que :

α1.GA1 + α2GA2+ ... αn.GAn =

f :   est affine si et seulement si α1.G'A'1 + α2G'A'2+ ... αn.G'A'n =

Théorème fondamental :     

Soit O un point de . Une application f de dans lui même est affine, si et seulement s'il existe un endomorphisme φ de (E) tel que pour tout M de :

M' = f(M)  O'M' = φ(OM), avec O' image de O par f

On dit que φ est l'endomorphisme associé à f.

La condition est nécessaire :
Supposons f affine; fixons O dans
. Soit V un vecteur quelconque de E; il existe un unique point M de tel que V = OM; posons  φ(V) = O'M'.

Montrons que φ est linéaire : pour tout α réel, f conserve le barycentre G de {(M,α) , (O,1-α)} :  si α.GM + (1-α).GO =  alors α.G'M' + (1-α).G'O' = . C'est dire que si OG = α.OM, alors O'G' = α.O'M'. Ainsi :

φ(α.V) = φ(α.OM) = φ(OG)  =def  O'G' = α.O'M' = α.φ(V)

Maintenant, si V et W sont deux vecteurs quelconques de E, il existe un unique couple de points M et P de tels que V = OM et W = OP. Puisque f conserve le barycentre, elle conserve l'isobarycentre G de {(M,1) , (P,1)}. C'est dire que si GM + GP = alors G'M' + G'P' = ou encore si 2.OG = OM + OP, alors 2.O'G' = O'M' + O'P'. Ainsi :

φ(V + W) = φ(OM + OP) = φ(2.OG) = 2.φ(OG)  =def  2.O'G' = O'M' + O'P'

soit φ(V + W) =def φ(OM) + φ(OP) = φ(V) + φ(W) : l'application φ est donc bien linéaire.

La condition est suffisante :
Soit G le barycentre de {(A,a) , (B,b); on a la relation a.GA + b.GB = ; par linéarité de φ : a.φ(GA) + b.φ(GB) = , soit a.G'A' + b.G'B' = ; ce qu'il fallait démontrer.

φ ne dépend que de f :
Il est important de vérifier que φ ne dépend pas du point O choisi. Or, si A et B sont deux points de  avec A' = f(A), B' = f(B), alors, selon la formule de Chasles, AB = OB - OA et on a : A'B' = φ(AB).

  Autre formulation pratique dans la recherche ou la reconnaissance de l'expression analytique :

O, M' = f(M)  OM' = φ(OM) + u , avec u = OO'     (r)

  Et tout A et B de , on a :

φ(AB) = φ(OB - OA) = φ(OB) - φ(OA) =  O'B' - O'A' = A'B'

Lorsque E = R, noter le lien entre applications linéaire φ(x) = ax et affine f(x) = ax + b avec u = b.

Dans la pratique, il sera souvent utile d'utiliser :

Si A' est l'image de A par f et si A'K = φ(AB), alors K = f(B)
  

Propriétés générales des applications affines, transformations affines :

p0/ la relation (r) OM' = φ(OM) + u , avec u = OO' montre qu'une application affine f de  est entièrement déterminée par son endomorphisme et l'image d'un point quelconque du plan.

p1/ Si A est un point de , l'application constante f : MA est une application affine dont l'endomorphisme associé est l'application linéaire nulle θ : v. En effet, on a pour tout M, OM' = θ(OM) + u  avec u = OO' = OA.

 p2/ une application affine f de  est entièrement déterminée par l'image d'un repère affine de .

 p3/ une application affine f de  est une bijection si et seulement si son endomorphisme φ est bijectif (automorphisme).
Pour qu'il en soit ainsi, il faut et il suffit que le noyau de φ soit réduit à {
}

  On qualifie généralement de transformation une bijection affine. Les exemples les plus simples de transformations affines sont la translation, l'homothétie, la symétrie (vois ci-après).

 p4/ Si f et g sont affines d'endomorphismes associés respectifs φ et ψ, il en est de même de la composée g o f dont l'endomorphisme associé est alors ψ o φ. Ce résultat permet de décomposer une application affine en un produit de composition :

Exemples usuels de décomposition :

 p5/ Si f est affine et bijective, sa réciproque f-1 est également affine.

 p6/ Si U est un sous-espace vectoriel de E ({}, droite vectorielle, plan vectoriel), l'image par f du sous-espace affine (singleton, droite, plan) passant par A et dirigé par U est le sous-espace affine passant par A' = f(A), dirigé par φ(U) et de même dimension que ce dernier.

 p7/ la conservation du barycentre permet d'affirmer qu'une application affine bijective transforme :

 p8/ l'ensemble U des points invariants par une application affine f : points M tels que f(M) = M, est soit vide, soit un point, soit un sous-espace affine propre (droite, plan).

Preuve : ce dernier résultat est dû au fait que si M est un point invariant par f, M = f(M)  OM = φ(OM). Rechercher l'ensemble U des points invariants par f revient donc à rechercher l'ensemble Uφ des vecteurs invariants par l'endomorphisme associé φ : c'est un sous-espace vectoriel de E. Le cas U vide ou réduit à un point (singleton) correspond à Uφ = {}.

 p9/ Si une application affine f admet au moins deux points invariants A et B, alors tous les points de (AB) sont invariants par f.

Preuve : soit K un point quelconque de (AB) autre que A et B. K s'écrit comme barycentre de A et B : il existe deux réels a et b tels que aKA + bKB = . On a alors, avec K' = f(K) : φ(aKA + bKB) = φ(), c'est à dire aK'A + bK'B = 0 et l'unicité du barycentre prouve que K' = K.

Un contre-exemple d'application affine : la projection centrale

Dans le plan ou l'espace, la projection centrale n'est pas une application affine; ci-dessous est illustrée la projection de centre (ou sommet) O sur un plan (P).

  Une droite (AB) se projette sur (P) en (A'B'). Une telle transformation ne conserve pas les milieux (isobarycentre) car si J est le milieu de [AB], J' n'est généralement pas le milieu de [A'B'] : ce n'est donc pas une application affine.

Notion de géométrie projective :

La translation :

a/  Soit u un vecteur du plan (ou de l'espace) et t l'application qui à tout point M associe M' tel que MM' = u. On dit que t est la translation de vecteur u. M' est l'image de M (on dit souvent aussi translaté de M) dans la translation de vecteur u :

              

b/  Si t(A) = B et t(C) = D alors AB = CD = u et le quadrilatère ABDC (dans cet ordre !) est un parallélogramme. Inversement, si ABCD (dans cet ordre !) est un parallélogramme, alors AB = DC et AD = BC. On peut dire, par exemple, que B est l'image de A dans la translation de vecteur DC.

c/  Considérons une translation t de vecteur u lorsque le plan (ou l'espace) est rapporté à un repère d'origine O (figure ci-dessous). Selon la formule de Chasles, si M' = t(M) alors MM' = u peut s'écrire OM' - OM = u ou encore OM' = OM + u . Si u est non nul, t(M) = M ne peut avoir lieu :

  Une translation est une application affine dont l'endomorphisme associé est l'application identique idE : vv; la translation de vecteur non nul n'admet aucun point invariant.

Remarque : Sans utiliser une origine O, pour tout M et N du plan (ou de l'espace), on a M'N' = M'M + MN + NN' = -u + MN + u = MN = id(MN), donc t est l'application affine d'endomorphisme associé id.

Translation & addition vectorielle, composée de deux translations :

L'homothétie :

Soit A un point du plan (ou de l'espace) et h l'application qui à tout point M associe M' tel que AM' = kAM, k réel non nul (ci-contre, k = 2). On parlera d'homothétie de centre A, de rapport k.

Si O est un point du plan (ou de l'espace), On peut écrire OM' = kOM + u avec u = -OA. Cette remarque permettra d'exprimer immédiatement l'expression analytique de l'homothétie. A l'exception du cas trivial k = 1, on notera que le point A est l'unique point invariant par h.

Si N' = h(N), on aura M'N' = AN' - AM ' = kAN - kAM =  kMN, pour tous M et N du plan :

 Une homothétie de rapport k est une application affine dont l'endomorphisme associé est l'application linéaire φ : v kv, homothétie vectorielle de rapport k. Pour k distinct de 1, elle admet son centre comme unique point invariant.

Comme toute application affine, l'homothétie conserve les contacts : si deux courbes (c) et (c') sont tangentes en un point I, les images de (c) et (c') par toute homothétie seront tangentes en l'image de I.    Chasles


1.  On se place dans un plan. Montrer que les applications affines f, autres que l'identité, transformant
     une droite en une droite parallèle sont les translations ou les homothéties   Rép. : clic...


2.  Construction d'un cercle tangent à deux demi-droites et passant par un point donné
3.  Homothétie centre de gravité et orthocentre (droite d'Euler)    4.  Homothétie et barycentre

La dilatation :

Le plan (ou l'espace) étant rapporté à un repère d'origine O, k étant un réel non nul et u un vecteur, on appelle dilatation une application qui à tout point M associe M' tel que OM' = kOM + u. On parle de dilatation de centre O, de rapport k de vecteur u. Elle est la composée t o h d'une homothétie par une translation. Notons d cette application. Si u = , c'est une homothétie; si k = 1, c'est une translation; si u = et k = 1, c'est l'application identique.

L'équation d(M) = M conduit à (1 - k).OM = u. Si k = 1, d = id; sinon d admet un unique point invariant défini par OM = .u

  Une dilatation de rapport k est une application affine, composée d'une homothétie par une translation, admettant pour tout k distinct de 1 un unique point invariant. 

On remarquera que t o h est distinct de h o t. Cette dernière transformation correspond à OM' = k(OM + u) = kOM + ku : dilatation de centre O, de rapport k de vecteur ku. Ci-dessus, le "chemin bleu" illustre d = t o h, le "chemin vert" correspond à d = t o h. On remarquera globalement une configuration de Thalès.

Les dilatations forment un groupe pour la loi de composition des applications, constitué des homothéties, des translations et de leurs composées.  On parles du groupe des dilatations ou encore du groupe des homothéties-translations.

f : MM' est une dilatation si et seulement si il existe un réel k non nul tel que pour tous M et N, M'N' = k.MN.

La symétrie centrale ou symétrie par ra rapport à un point :

Dans le plan affine ou euclidien usuel de dimension 2, on considère un point A. Soit f l'application qui à tout point M du plan associe le point M' défini par A est le milieu de [MM']. On parle de symétrie par rapport A ou de symétrie (centrale) de centre A, lequel est l'unique point invariant dans cette symétrie.

f : MM' est une symétrie centrale  ssi il existe un point A tel que pour tous M et N, AM + AM' = .

  La symétrie de centre A est une application affine car on peut écrire pour tout M, en choisissant A comme origine : AM' = - AM. Son endomorphisme associé est donc - idE : v-v.

Quels que soient M et N, on a M'N' = -id(MN) = NM : la symétrie centrale conserve les distances, c'est donc une isométrie. Par exemple, elle transforme un cercle (c) de centre K en un cercle (c') de même rayon dont le centre est le symétrique de K. On remarque que f o f = id : MM. Pour cette raison, on dit que f est une involution, cela revient à exprimer que f est une bijection coïncidant avec sa réciproque.

En savoir plus sur la symétrie centrale :

La symétrie par rapport à une droite :        cas vectoriel

Dans le plan affine usuel de dimension 2, on considère une droite (d) et une direction de droite (δ) définie par un vecteur u. Soit f l'application qui à tout point M du plan associe le point M' défini par (MM') // (δ) et H milieu de [MM'], H désignant l'intersection de (MM') avec (d). On parle de symétrie par rapport à (d) parallèlement à (δ) ou suivant la direction u. La droite (d) est l'ensemble des points invariants dans cette symétrie et le symétrique de M' est M : f o f = id. La symétrie par rapport à une droite est donc involutive, autrement dit une bijection coïncidant avec sa réciproque.

Un exemple illustré :   

Considérons dans le plan, rapporté à un repère (O,i,j), l'application f qui à tout point M(x,y) associe M'(2x - y + 1, 3x - 2y + 3). On peut écrire OM' = φ(OM) + u φ est l'endomorphisme défini par v(x,y) v'(2x - y, 3x - 2y) et u(1;3). f est donc une application affine.

M(x,y) M'(2x - y + 1, 3x - 2y +3) M"(2(2x - y + 1) - (3x - 2y +3) +1, 3(2x - y + 1) - 2(3x - 2y + 3) + 3) = M(x,y)


     Vous pouvez déplacer M

 p10/  Si f est une application affine involutive , il en est de même de son endomorphisme associé φ.

Preuve : il suffit, pour s'en convaincre, d'appliquer φ à la relation fondamentale OM' = φ(OM) + OO'

 p11/  Pour toute application affine involutive  f et tout point A d'image A', le milieu I de [AA'] est invariant par f

Preuve : A" = f(A') = f(f(A)) = (f o f)(A) = A. I le milieu de [AA'] IA + IA' = . Appliquons φ : I'A' + I'A" = , c'est à dire I'A' + I'A = . I est donc le milieu de [AA']. C'est dire que I' = I.

 p12/  Toute involution affine plane f autre que l'identité est une symétrie centrale ou une symétrie par rapport à une droite.

Preuve : Soit J l'ensemble J des points invariants par f. J n'est pas vide car selon p11, l'ensemble des milieux de [MM'] lorsque M décrit en fait partie. J est donc un sous-espace affine (p8) : singleton, droite ou plan lui-même. J n'est pas le plan puisque f n'est pas l'identité. Si J est réduit à un point I, alors I est le milieu de [MM'] pour tout point M du plan : f est la symétrie centrale de centre I. Si J est une droite (d), sa direction est celle de la droite vectorielle des vecteurs invariants par son endomorphisme associé φ ( p6); soit w un représentant de cette direction; on peut définir (d) en tant que droite passant par le milieu de [OO'] (ou par tout autre segment [AA'], A' = f(A) et dirigée par w. L'endomorphisme φ étant involutif, le vecteur MM' vérifie φ(MM') = M'M = - MM' : le vecteur MM' garde une direction fixe, il appartient à la droite vectorielle δ des vecteurs changés par φ en leur opposé. symétrie vectorielle. f est la symétrie par rapport à (d) de direction δ.

   La symétrie par rapport à une droite (d) suivant une direction donnée δ, est une bijection affine involutive M M' admettant (d) comme ensemble de points invariants, le vecteur MM' gardant la direction δ. Son endomorphisme associé φ est une symétrie vectorielle.

Une application affine dont l'endomorphisme associé est une symétrie vectorielle (endomorphisme involutif) n'est pas toujours une symétrie affine :

 p13/ Une application affine f : MM', définie par OM' = φ(OM) + u est une symétrie  ssi  φ o φ= id et φ(u) = - u

Preuve : La condition est nécessaire car selon la relation fondamentale, on a u = OO', vecteur qui doit donc appartenir à la direction de la symétrie, tant vectorielle que affine. Elle est suffisante, si OM' = φ(OM) + u et φ(u) = - u, alors, en appliquant φ : φ(OM') = O'M" = (φ o φ)(OM) + φ(u), c'est à dire O'O + OM" = OM - OO', donc M" = M et on applique p12.

M2 = I (matrice unité), donc φ est involutive : c'est une symétrie vectorielle. Mais on a ici OM' = φ(OM) + u avec u(1,0) et :

La direction de la symétrie vectorielle est obtenue en recherchant v(x,y) tel que φ(v) = -v, système fournissant y = 2x.

Dans le plan euclidien, on appelle symétrie axiale la symétrie orthogonale par rapport à une droite  : le vecteur MM' est perpendiculaire à (d). Cette symétrie conserve les distances : il s'agit d'une isométrie. Les angles géométriques sont conservés mais elle change les angles orientés en leur opposé.

En savoir plus sur la symétrie axiale :

Dans l'espace euclidien à 3 dimensions, la symétrie orthogonale par rapport à une droite est une rotation d'angle π. Les angles géométriques sont conservés ainsi que les angles orientés.  

La projection :                  cas vectoriel

Dans le plan euclidien usuel de dimension 2, on considère une droite (D) dont un vecteur directeur est u et une direction de droite (δ) définie par un vecteur v non colinéaire à u. Soit p l'application qui à tout point M de l'espace associe le point M' défini par (MM') // (δ) et M'(D).

On remarque que les points de (D) sont les points invariants de p. Notons π le projecteur (projection vectorielle) dirigée par u, parallèlement à v. Le couple (u,v) est une base du plan. Plaçons-nous alors dans un repère (O,u,v).

Tout vecteur OM du plan s'écrit sous la forme OA + OB avec OA colinéaire à u, OB colinéaire à v. donc π(OM) = OA = O'M'. On a par conséquent pour tout M du plan, OM' = π(OM) + OO', ce qui montre, selon la relation fondamentale, que p est une application affine d'endomorphisme associé π, vérifiant p o p = p. On parle de projection de base (D), de direction v ou de projection sur (D) de direction (δ). Par abus, tout à fait scandaleux, on dit parfois parallèlement à (δ).

Lorsque (D) (δ), on parle de projection orthogonale sur (d). M' est alors le projeté orthogonal de M sur (d).

De telles applications, tout comme les endomorphismes associés, sont idempotentes, c'est à dire p o p = p.

  La projection sur une droite (D) de direction δ, est une application affine M M' admettant (D), base de la projection, comme ensemble de points invariants, le vecteur MM' gardant la direction δ. Son endomorphisme associé φ est une projection vectorielle.

 p14/  Toute application affine plane idempotente f admet au moins un point invariant et son  image coïncide avec l'ensemble
           de ses points invariants.

Preuve : Soit J l'ensemble des points invariants par f et F l'image du plan par f. Puisque f o f = f, on a f(f(M)) = f(M) pour tout point M : J contient F et n'est donc pas vide. Inversement, si M est invariant, alors f(M) = M, donc F contient J. Finalement J = F.

 p15/  Toute application affine plane idempotente f non constante et autre que l'identité est une projection sur une droite du plan.

Preuve : Soit J l'ensemble J des points invariants par f. Selon p14, J n'est pas vide et coïncide avec F, image de f. J est donc un sous-espace affine : singleton, droite ou plan lui-même. J n'est pas le plan puisque f n'est pas l'identité. Si J est réduit à un point I, F = {I} : f est l'application constante MI (c'est une application affine, p1). Si J est une droite (d), sa direction est celle de la droite vectorielle des vecteurs invariants par son endomorphisme associé φ ( p6); soit w un représentant de cette direction; on peut définir (d) en tant que droite passant par O', ou par tout autre point A' = f(A), et dirigée par w. L'endomorphisme φ étant idempotent, le vecteur MM' vérifie φ(MM') = M'M' = : le vecteur MM' garde une direction fixe, il appartient au noyau φ. projection vectorielle.

Comme pour la symétrie par rapport à une droite, il faut noter qu'une application affine f dont l'endomorphisme associé est un projecteur π n'est pas nécessairement une projection affine :

p16/  Une application affine f : MM', définie par OM' = φ(OM) + u est une projection  ssi  φ o φ= φ et φ(u) = .

Preuve : la condition est nécessaire car en notant M" = f(M'), la relation fondamentale s'exprime par OM' = φ(OM) + u et conduit , en appliquant φ, à : O'M" = O'M' + φ(u), c'est à dire M'M" = φ(u). Par suite p o p = p ssi φ(u) = : u doit appartenir au noyau de φ, c'est à dire à la direction de cette projection vectorielle. Elle est suffisante, car si OM' = φ(OM) + u et φ(u) = 0, alors, en appliquant φ : φ(OM') = (φ o φ)(OM) = φ(OM) , c'est à dire O'M" = O'M' , donc M" = M'. Par conséquent  f o f et on applique p15.

  Dans l'espace de dimension 3, on peut également considérer la projection sur un plan parallèlement à une direction de droite.

L'affinité :

Cette transformation prend naissance avec Euler dans son Introductio in Analysin infinitorum de 1748, écrit en latin. Considérant les courbes semblables, c'est à dire images l'une de l'autre par une similitude (composée d'une homothétie et d'une isométrie) pour lesquelles les rapports des abscisses et des ordonnées est le même, Euler s'intéresse au cas où ces rapports sont distincts. La courbe image présentant une certaine affinité avec la courbe initiale, il parle de courbes affines, du latin affinis = voisin, lié, associé et affinitas = alliance, ressemblance.

Définition de l'affinité plane :      

Dans le plan euclidien usuel de dimension 2, on considère une droite (d), une direction de droite (δ) définie par un vecteur u et un réel non nul k. Soit f l'application qui à tout point M du plan associe le point M' défini par (MM') // (δ) et HM' = k.HM, H désignant l'intersection de (MM') avec (d), c'est à dire la projection p de M sur (d) parallèlement à (δ) étudiée ci-dessus. On parle d'affinité d'axe (d) parallèlement à (δ), de rapport k.

Montrons que f est une application affine : plaçons-nous comme précédemment dans un repère (O,u,v), avec O situé sur (d). On a alors O' = p(O) = O. L'égalité HM' = k.HM peut s'écrire  OM' - OH = k.(OM - OH) ou encore : O'M'  = k.OM + (1 - k).OH. Si π désigne le projecteur associé p, on peut finalement écrire :

O'M'  = h(OM) + (1 - k)π(OM) = [h + (1 - k)π](OM)

Ce qui montre que f est une application affine d'endomorphisme associé h + (1 - k)π.


   Affinité : vous pouvez déplacer M.

 On démontre que toute application affine peut se décomposer en un produit d'affinités (au sens de la composition des applications).

L'ellipse, image d'un cercle par affinité :

Expression analytique d'une application affine :

Lorsque l'espace affine est de dimension finie n et rapporté à un repère (O,e1, ..., en), si on note M(x,y,z,...) et M'(x',y',z',...) dans ce repère, la linéarité de l'endomorphisme φ associé à f permet d'écrire matriciellement M' = AM + u :

A est la matrice de φ dans la base (e1, ..., en) et une telle écriture caractérise une application affine. Comme dans le cas linéaire, on appelle expression analytique de f, la donnée des coordonnées x', y', z', ... de f(M) en fonction de celles de M.

Les nombres x', y', z', ... sont des combinaisons linéaires de x, y, z, ... éventuellement augmentées d'un scalaire et ces formes caractérisent les applications affines. Lorsque le scalaire est nul, c'est que l'origine est invariante et une telle application affine s'identifie à son endomorphisme associé.

Trois décompositions usuelles d'applications affines :

La symétrie centrale plane de centre O est une rotation d'angle π (180°) et peut aussi s'interpréter comme la composée de deux symétries axiales d'axes perpendiculaires sécants en O (la 1ère étant arbitraire) :

Toute translation de vecteur v peut s'interpréter comme la composée de deux symétries orthogonales d'axes parallèles, la première étant arbitraire. Ci-dessus : (d) // (d'), (d) v, 2HH' = v.

Dans le plan, la composée de deux symétries axiales d'axes respectifs concourants d et d' est une  rotation dont l'angle orienté est égal au double de l'angle ^(d,d'). Inversement toute rotation peut se décomposer sous cette forme, la première symétrie étant arbitraire.


  Application au triangle orthique

    _________       _________

1. Dans le plan euclidien usuel de dimension 2 rapporté au repère orthonormé (O,i,j), on considère la droite (D) d'équation 2x - 3y + 1 = 0 et une direction (δ) définie par le vecteur u(1,1). Donner l'expression analytique de l'affinité f d'axe (D) de rapport 2, parallèlement à (δ).

2. Dans le plan euclidien usuel de dimension 2 rapporté au repère orthonormé (O,i,j), on considère l'application affine f laissant O invariant et dont l'endomorphisme associé φ vérifie : φ(i) = 3i , φ(j) = 2j. Montrer que f est la composée de deux affinités.

Projection sur un plan parallèlement à une droite :       

3.  Dans l'espace euclidien usuel de dimension 3 rapporté au repère orthonormé (O,i,j,k), on considère le plan (P) d'équation x + y + z = 1 et une droite (d) dirigée par u(1,1,1). Soit f l'application qui à tout point M de l'espace associe le point M' défini par (MM') // (d) et M'(P). Montrer que f est une application affine non bijective vérifiant f o f = f : projection sur (P) parallèlement à (d). On en donnera l'expression analytique.

En dimension 3, peut aussi envisager la projection sur une droite parallèlement à un plan. Une projection parallèlement à une droite est parfois qualifiée de cylindrique.

Application affine et barycentre :     

4.  A, B et C étant trois points du plan, on considère l'application f qui à tout point M associe M' tel que :

MM' = MA - 2MB + 4MC

a/ Prouver que f admet un unique point invariant I.
b/ Exprimer IM' en fonction de IM; en déduire la nature précise de f.


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