ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

CLAIRAUT Alexis Claude, français, 1713-1765

Fils de parents prolifiques (21 enfants), dont le père professeur de mathématiques, Alexis Clairaut fut un enfant prodige : à 10 ans, les sections coniques et l'Analyse des infiniment petits de Guillaume de L'Hospital n'avaient plus de secrets pour lui.

à 13 ans, il présente un mémoire à l'Académie royale des Sciences portant sur les courbes algébriques du 4ème degré ! à peine âgé de 19 ans, suite à ses travaux sur les courbes gauches (courbes de l'espace) à double courbure il est admis stagiaire mécanicien à ladite Académie (par dérogation vu son jeune âge).

Outre la courbure usuelle des courbes planes, la seconde courbure d'une courbe de l'espace est ce que l'on appelle aujourd'hui la torsion

Astronome et mathématicien, les travaux mathématiques de Clairaut portèrent essentiellement sur les équations différentielles et la géométrie différentielle : étude analytique, usant du calcul différentiel et intégral, des dérivées partielles, des surfaces et des courbes (intersections de surfaces) de l'espace : courbes gauches, (gauchir = dévier, tordre, faire des détours) ainsi dénommées car non entièrement situées dans un même plan. En France, l'étude de telles courbes sera tout particulièrement poursuivie par Monge, Frénet et Serret.

  Riemann , Gauss , Fontaine

En astronomie, Clairaut calcula à un mois près le retour de la comète de Halley (elle nous revient tous les 76 ans environ) et participa à l'expédition française de Maupertuis en Laponie (1737), chargée de mesurer la longueur de l'arc de méridien terrestre de 1°. Associée à celle de Bouguer et de La Condamine sur l'équateur (au Pérou, 1735), il fut ainsi confirmé l'aplatissement des pôles soutenu par Newton.

à l'instar de Simpson en Angleterre, Clairaut fut l'auteur d'un traité intitulé Éléments de géométrie (1741) à vocation pédagogique et vulgarisatrice où la rigueur euclidienne s'estompe volontairement pour un meilleur consentement du lecteur, partant du principe que :

Tout raisonnement qui tombe sur ce que le bon sens seul décide d'avance, est aujourd'hui en pure perte et n'est propre qu'à obscurcir la vérité.

On pourra le consulter, numérisé par l'université du Michigan dans sa version de 1753 ( réf. 1).

Comme quoi les idées novatrices en pédagogie ne datent pas d'aujourd'hui : elles vont et viennent et s'oublient...

Euclide et ses Éléments :

Clairaut est également l'auteur, en 1746, d'un traité d'algèbre, Éléments d'algèbre, qui bénéficia, eu égard à son succès, de nombreuses éditions. On pourra la consulter, numérisé par l'université du Michigan dans sa première version de 1746 ( réf. 2).

On doit à Clairaut la notation f(x) pour désigner l'image par une fonction f d'un nombre x, vers 1734. Euler initia cette notation en utilisant tout d'abord fx moins pratique. Dirichlet assoie cette notation en 1737.

Équation différentielle de Clairaut :

Il s'agit d'une équation différentielle du 1er ordre de la forme :

y - xy' = f(y')

C'est un cas particulier d'équation de Lagrange, que l'on résout par différentiation en posant z = y' :

z'[x + f '(z)] = 0

z' = 0 fournit z = y' = m (constante arbitraire); les solutions sont alors la famille de droites définies par y = mx + f(m) dont on peut chercher l'enveloppe en dérivant par rapport à m : x = -f '(m), ce qui revient à annuler le crochet. On obtient ainsi une solution singulière de l'équation correspondant d'ailleurs généralement au problème posé par l'équation.

z' non nul conduit à x = -f '(z), d'où y = -zf '(z) + f(z) : on est ramené au cas précédent en prenant z comme paramètre m.

  Exemple :
résoudre l'équation y = xy' + 1/y'2 (
Source : Abbé E. Stoffaes, Ed.Gauthier-Villars, 1930 )

Nous avons ici x = -f '(m) = 2/m3 et y = mx + 1/m2. D'où ym2 = xm3 + 1 = 3. En élevant au cube, il vient y3m6 = 27, or x2m6 = 4 d'où la solution singulière y3 = 27x2/4. C'est une parabole semi-cubique d'axe horizontal, développée de parabole.


 Pour en savoir plus :

  1. Éléments d'Algèbre, première édition numérisée par l'université du Michigan, sur Google Livres :
    http://www.google.fr/books?id=GKw2AAAAMAAJ&printsec=frontcover&hl=fr&source=gbs_ge_summary...

  2. Éléments de Géométrie, sur Google Livres :
    http://books.google.fr/books?id=4yK5rHkNm2AC&printsec=frontcover&hl=fr#v=onepage&q&f=false

  3. Calcul différentiel et équations différentielles, exercices corrigés par D. Azé, G. constans et J.-B. Hiriart-Urruty


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