ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

TCHEBYCHEV Pafnouty Lvovitch, russe, 1821-1894

Tchebychev étudia à l'université de Moscou avant de venir s'installer à Saint-Pétersbourg (1847). Il y obtient son doctorat  portant sur l'intégration des fonctions elliptiques. Il enseignera à l'université de Saint-Pétersbourg jusqu'à sa retraite en 1882. Tchebychev y créa sa propre école de mathématiques où enseigneront ses élèves, par exemple, Andreï A. Markov (qui fut coéditeur de ses œuvres, » réf.1) et Alexandre M. Lyapunov.

Tchebychev se rendit souvent à Paris et fut un ami de Joseph Liouville et de Charles Hermite. Ses travaux ont longuement porté sur l'intégration et l'approximation des fonctions tant algébriques qu'irrationnelles parallèlement à ceux d'Abel et de Liouville sur le sujet mais son nom est plus particulièrement attaché à la théorie des nombres et au calcul des probabilités où il définit avec précision le concept de quantité (variable) aléatoire..

Membre de l'Académie des sciences de Saint-Pétersbourg ainsi que des plus grandes académies d'Europe (de France, de Berlin, de Londres : Royal Society), il publia grand nombre de ses travaux dans les journaux de Crelle et de Liouville ainsi que dans le bulletin de la Société mathématique de France.

» Sur ce timbre de l'ex empire soviétique ci-dessus : CCCP (cyrillique) = SSSR (latin) = Union des Républiques Socialistes Soviétiques, il est écrit en russe : Les grand mathématiciens russes, 1821 - 1946, P. L. Tchebychev. Coquille des postes de l'époque ? 1946 est sans doute la date d'émission. Noter que l'écriture russe (caractères cyrilliques) de Tchebychev est : elle commence par un "tch", on doit donc lire approximativement "Tchébichev" (en fait plutôt "Tchébuichev") et non pas "Chébichev" : en anglais "Chebyshev" doit se prononcer "Tchebychev".

»  Sergueï Bernstein , Peaucellier

Polynômes de Tchebychev :

Ce sont des polynômes d'interpolation, souvent notés Tn, utilisés dans les approximations polynomiales de fonctions numériques définis sur (ou se ramenant à) l'intervalle J = [-1,1], par (entre autres possibilités équivalentes) :

Tn(cosx) = cos(nx)

  
Montrer que Tn est de degré n, que sa parité est celle de n et que le coefficient de xn est 2n-1

En savoir plus sur ces polynômes :  »
 

Travaux sur la distribution des nombres premiers :

π(n) désignant le nombre d'entiers premiers inférieurs à n, Tchebychev compléta (1848) la conjecture de Gauss-Legendre relative à la raréfaction des nombres premiers exprimée au moyen du logarithme intégral, li(x) = [2,x]dt/(lnt), dont il donne le développement asymptotique, en prouvant que :

Si la suite de terme général π(n) × ln(n)/n converge, alors sa limite ne peut être que 1


 

Dans cette même publication, il remet en causse la conjecture de Legendre en montrant qu'un π(n) de la forme n/(A × lnn + B) n'est acceptable pour de très grandes valeurs de n que si A = 1 et B = -1 : π(n) = n/(lnn - 1).

En 1850, concernant ce même sujet, sujet, il réussit à prouver que π(2n) - π(n) > 0 pour tout n > 1 (bulletin de l'Académie des sciences de Saint-Pétersbourg), ce qui démontre une conjecture énoncée par Bertrand :

Pour tout entier n au moins égal à 2, il existe un nombre premier entre n et 2n

Lucas exprima la conjecture sous la forme (» réf.5) :

Pour 2a > 7, il y a au moins un nombre premier compris entre a et (2a - 2)

Ce qui peut s'écrire :

Pour tout entier a > 3, il existe (au moins) un nombre premier p tel que a < p < 2a - 2

En effet, Posons a - 1 = n : pour 2n > 5, il y a au moins un nombre premier compris entre n + 1 et 2n, donc compris entre n et 2n. L'inégalité 2n > 5 implique, en nombres entiers, n au moins égal à 3. Mais si n = 2, le nombre 3 est premier entre 2 et 4, d'où la formulation donnée.

              Nombres premiers sur ChronoMath : »

En 1852, utilisant la fonction ζ (zêta), dite de Riemann, mais initiée par Euler, Tchebychev prouve partiellement (1852) la conjecture de Gauss-Legendre relative à π(n) en précisant un encadrement : si n est "suffisamment grand", on est assuré d'avoir (» réf.2) :

On a donc, asymptotiquement :

0,921 × x/lnx ≤ π(x) ≤ 1,106 × x/lnx , soit "en moyenne" : π(x) ≃ 1,0135 × x/lnx

Ces travaux conduisirent au résultat définitif sur le sujet qui sera le fait de Hadamard et La Vallée-Poussin (1896).

»  Gauss , Legendre , Landau , Erdös , Selberg

Les fonctions Λ de von Mangoldt et Ψ de Tchébychev :   

La fonction Ψ est définie par Ψ(x) = ΣΛ(n), la somme s'étendant aux entiers n ≤ x. Tchebychev prouva le résultat suivant :

∀x ≥ 2 : xln2 + O(lnx) ≤ Ψ(x) ≤ 2xln2 + O[(lnx)2]

On déduit de ce résultat :

  1. π(x) = Ψ(x)/lnx + O[x/(lnx)2] pour x au moins égal à 2.

  2. asymptotiquement (x suffisamment grand) : xln2/lnx  ≤ π(x) ≤ 2xln2/lnx

 i   Hans Carl Friedrich von Mangodt (1854-1925), mathématicien allemand, spécialiste en théorie des nombres. Il fut un étudiant de Kummer qui dirigea sa thèse sur la représentation d'équations algébriques par des séries à l'université de Berlin en 1878. » Bombieri

Travaux en calcul des probabilités :

Outre ses travaux en calculs des probabilités prolongeant ceux de Laplace (relatifs aux erreurs d’observation), on doit aussi à ce mathématicien un algorithme de recherche d'une solution optimale dans un système d'équations linéaires dont on connaît une solution approchée (minimisation des résidus).

Inégalité de Bienaymé-Tchebychev (calcul des probabilités) :   

 Cette inégalité est en fait due à Bienaymé qui l'exposa pour la première fois en 1853, on peut ainsi l'exprimer :

Soit X une variable aléatoire d'espérance mathématique m et d'écart-type σ :

ε > 0 , Prob(| X - m | > ε) ≤ σ2/ε2

Tchebychev s'en servit (1869) afin de prouver (incomplètement d'ailleurs) le théorème central limite sur la loi des grands nombres.

En savoir un peu plus : »

   Pour en savoir plus :

  1. Sur la fonction qui détermine la totalité de nombres premiers inférieurs à une limite donnée, par M. P. Tchebycheff (1848) :
    https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k163969/f349.item
  2. Œuvres de P. L. Tchebychev (en français) publiées à Saint-Pétersbourg en 1899 sur archive.org : https://archive.org/details/117744684_001
    » Distribution des nombres premiers : consulter à partir de la page 64/734.
    ou bien https://books.google.fr/books?id=l1CgHdbAABYC&pg=PA141#v=onepage&q&f=false (en français).
  3. Les nombres premiers, Que sais-je n°571 (nouvelle édition 1997), par G. Tenenbaum & M. Mendès France.
  4. Théorie analytique des nombres, par Michel Waldschmidt (univ. Paris VI), 2008 :
    http://www.math.jussieu.fr/~miw/articles/pdf/TdN2008fasc8.pdf
  5. Théorie de nombres de E. Lucas : https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k29021h/f202.item.zoom


Seidel   Bertrand 
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