ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges
 TCHEBYCHEV Pafnouty
Lvovitch, russe,
1821-1894 |
Tchebychev
étudia à l'université de Moscou avant de venir s'installer à Saint-Pétersbourg (1847).
Il y obtient son doctorat portant sur l'intégration des
fonctions elliptiques. Il enseignera à
l'université de Saint-Pétersbourg jusqu'à sa retraite en 1882. Tchebychev y créa sa propre école de
mathématiques où enseigneront
ses élèves, par exemple,
Andreï A.
Markov (qui fut coéditeur de ses œuvres,
»
réf.1) et
Alexandre M. Lyapunov.
Tchebychev se rendit souvent à Paris et fut un ami de Joseph Liouville et de Charles Hermite. Ses travaux ont longuement porté sur l'intégration et l'approximation des fonctions tant algébriques qu'irrationnelles parallèlement à ceux d'Abel et de Liouville sur le sujet mais son nom est plus particulièrement attaché à la théorie des nombres et au calcul des probabilités où il définit avec précision le concept de quantité (variable) aléatoire..
Membre de l'Académie des sciences de Saint-Pétersbourg ainsi que des plus grandes académies d'Europe (de France, de Berlin, de Londres : Royal Society), il publia grand nombre de ses travaux dans les journaux de Crelle et de Liouville ainsi que dans le bulletin de la Société mathématique de France.
» Sur ce timbre
de l'ex empire soviétique ci-dessus : CCCP (cyrillique) = SSSR
(latin) = Union des Républiques Socialistes Soviétiques, il est
écrit en russe : Les grand mathématiciens russes, 1821 - 1946,
P. L. Tchebychev. Coquille des postes de l'époque ? 1946 est sans doute
la date d'émission. Noter que l'écriture russe (caractères cyrilliques)
de Tchebychev est 
: elle commence
par un "tch", on doit donc lire approximativement "Tchébichev" (en fait plutôt "Tchébuichev")
et non pas "Chébichev" : en anglais "Chebyshev" doit se prononcer
"Tchebychev".
» Sergueï Bernstein , Peaucellier
| Polynômes de Tchebychev : |
Ce sont des polynômes d'interpolation, souvent notés Tn, utilisés dans les approximations polynomiales de fonctions numériques définis sur (ou se ramenant à) l'intervalle J = [-1,1], par (entre autres possibilités équivalentes) :
∗∗∗
Montrer
que Tn est de degré n, que sa parité est
celle de n et que le coefficient de xn est
2n-1
En savoir plus sur ces polynômes :
»
| Travaux sur la distribution des nombres premiers : |
π(n)
désignant le nombre d'entiers premiers inférieurs
à n, Tchebychev compléta (1848) la
conjecture de Gauss-Legendre
relative à la raréfaction des nombres premiers exprimée au moyen
du logarithme intégral, li(x) =
∫[2,x]dt/(ln
t),
dont il donne le développement asymptotique, en
prouvant que :
Si la suite de terme général π(n) × ln(n)/n converge, alors sa limite ne peut être que 1
Dans cette même publication, il remet en
causse la conjecture de Legendre en montrant
qu'un π(n) de la forme n/(A × lnn + B)
n'est acceptable pour de très grandes valeurs de n que si A = 1 et B = -1 :
π(n) = n/(lnn
- 1).
En 1850, concernant ce même sujet, sujet, il réussit à prouver que π(2n) - π(n) > 0 pour tout n > 1 (bulletin de l'Académie des sciences de Saint-Pétersbourg), ce qui démontre une conjecture énoncée par Bertrand :
Lucas exprima la conjecture sous la forme (» réf.5) :
Pour 2a > 7, il y a au moins un nombre premier compris entre a et (2a - 2)
Ce qui peut s'écrire :
Pour tout entier a > 3, il existe (au moins) un nombre premier p tel que a < p < 2a - 2
En effet, Posons a - 1 = n : pour 2n > 5, il y a au moins un nombre premier compris entre n + 1 et 2n, donc compris entre n et 2n. L'inégalité 2n > 5 implique, en nombres entiers, n au moins égal à 3. Mais si n = 2, le nombre 3 est premier entre 2 et 4, d'où la formulation donnée.
Nombres premiers sur ChronoMath : »
En 1852, utilisant la fonction ζ (zêta), dite de Riemann, mais initiée par Euler, Tchebychev prouve partiellement (1852) la conjecture de Gauss-Legendre relative à π(n) en précisant un encadrement : si n est "suffisamment grand", on est assuré d'avoir (» réf.2) :
On a donc, asymptotiquement :
0,921 × x/lnx ≤ π(x) ≤
1,106 × x/lnx
, soit "en moyenne" : π(x) ≃ 1,0135
× x/lnx
Ces travaux conduisirent au résultat définitif sur le sujet qui sera le fait de Hadamard et La Vallée-Poussin (1896).
» Gauss , Legendre , Landau , Erdös , Selberg
Les fonctions Λ de von Mangoldt et Ψ de Tchébychev :
La fonction Ψ est définie par Ψ(x) = ΣΛ(n), la somme s'étendant aux entiers n ≤ x. Tchebychev prouva le résultat suivant :
∀x
≥ 2 : xln2 + O(lnx)
≤ Ψ(x)
≤ 2xln2 + O[(lnx)2]
On déduit de ce résultat :
π(x) = Ψ(x)/lnx + O[x/(lnx)2]
pour x au moins égal à 2.
asymptotiquement (x suffisamment grand) :
xln2/lnx
≤ π(x)
≤ 2xln2/lnx
i Hans Carl Friedrich von Mangoldt (1854-1925), mathématicien allemand, spécialiste en théorie des nombres. Il fut un étudiant de Kummer qui dirigea sa thèse sur la représentation d'équations algébriques par des séries à l'université de Berlin en 1878. » Bombieri
| Travaux en calcul des probabilités : |
Outre ses travaux en calculs des probabilités prolongeant ceux de Laplace (relatifs aux erreurs d’observation), on doit aussi à ce mathématicien un algorithme de recherche d'une solution optimale dans un système d'équations linéaires dont on connaît une solution approchée (minimisation des résidus).
Inégalité de Bienaymé-Tchebychev (calcul des probabilités) :
Cette inégalité est en fait due à Bienaymé qui l'exposa pour la première fois en 1853, on peut ainsi l'exprimer :
Soit X une variable aléatoire d'espérance mathématique m et d'écart-type σ :
∀ ε > 0 , Prob(| X - m | > ε) ≤ σ2/ε2
Tchebychev s'en servit (1869) afin de prouver (incomplètement d'ailleurs) le théorème central limite sur la loi des grands nombres.
➔ Pour en savoir plus :
Bertrand