ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
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TCHEBYCHEV Pafnouty Lvovitch, russe, 1821-1894

Tchebychev étudia à l'université de Moscou avant de venir s'installer à Saint-Pétersbourg (1847). Il y obtient son doctorat  portant sur l'intégration des fonctions elliptiques. Il enseignera à l'université de Saint-Pétersbourg jusqu'à sa retraite en 1882. Tchebychev y créa sa propre école de mathématiques où enseigneront ses élèves, par exemple, Andreï A. Markov et Alexandre M. Lyapunov.

Ses travaux ont longuement porté sur l'intégration et l'approximation des fonctions tant algébriques qu'irrationnelles parallèlement à ceux d'Abel et de Liouville sur le sujet mais son nom est plus particulièrement attaché à la théorie des nombres et au calcul des probabilités où il définit avec précision le concept de quantité (variable) aléatoire..

Membre de l'Académie des sciences de Saint-Pétersbourg ainsi que des plus grandes académies d'Europe (de France, de Berlin, de Londres : Royal Society), il publia grand nombre de ses travaux dans les journaux de Crelle et de Liouville ainsi que dans le bulletin de la Société mathématique de France.

Sur ce timbre de l'ex empire soviétique ci-dessus : CCCP (cyrillique) = SSSR (latin) = Union des Républiques Socialistes Soviétiques, il est écrit en russe : Les grand mathématiciens russes, 1821 - 1946, P. L. Tchebychev. Coquille des postes de l'époque ? 1946 est sans doute la date d'émission. Noter que l'écriture russe (caractères cyrilliques) de Tchebychev est : elle commence par un "tch", on doit donc lire approximativement "Tchébichev" (en fait plutôt "Tchébuichev") et non pas "Chébichev" : en anglais "Chebyshev" devrait se prononcer "Tchebychev".

  Peaucellier

Polynômes de Tchebychev :

Ce sont des polynômes d'interpolation, souvent notés Tn, utilisés dans les approximations polynomiales de fonctions numériques définis sur (ou se ramenant à) l'intervalle J = [-1,1], par (entre autres possibilités équivalentes) :

Tn(cosx) = cos(nx)

  
Montrer que Tn est de degré n, que sa parité est celle de n et que le coefficient de xn est 2n-1

En savoir plus sur ces polynômes :

Travaux sur la distribution des nombres premiers :

Tchebychev compléta (1848) la conjecture de Gauss relative à la raréfaction des nombres premiers en prouvant que si la suite de terme général :

 

p(n) désigne le nombre de nombres premiers inférieurs à n (au sens large) est convergente, alors sa limite est 1.

Sur ce sujet, il réussit à prouver que p(2n) - p(n) > 0 pour tout n > 1 (bulletin de l'Académie des sciences de Saint-Pétersbourg, 1850), ce qui démontre une conjecture énoncée par Bertrand :

Pour tout entier n au moins égal à 2, il existe un nombre premier entre n et 2n

Lucas exprima la conjecture sous la forme :

Pour 2a > 7, il y a au moins un nombre premier compris entre a et (2a - 2)

Ce qui peut s'écrire :

Pour tout entier a > 3, il existe (au moins) un nombre premier p tel que a < p < 2a - 2

En effet, Posons a - 1 = n : pour 2n > 5, il y a au moins un nombre premier compris entre n + 1 et 2n, donc compris entre n et 2n. L'inégalité 2n >5 implique, en nombres entiers, n au moins égal à 3. Mais si n = 2, le nombre 3 est premier entre 2 et 4, d'où la formulation donnée.

Théorie des nombres, E. Lucas (Gallica, BNF) :   Étude et calculs de nombres premiers :

Utilisant les fonctions zeta de Euler, Tchebychev prouve (1852) la conjecture de Legendre relative à p(n) en précisant un encadrement : si n est "suffisamment grand", on est assuré d'avoir :

Ces travaux conduisirent au résultat définitif sur le sujet qui sera le fait de Hadamard et La Vallée-Poussin (1896).

  Gauss , Legendre , Landau , Erdös , Selberg , Bombieri

Les fonctions Λ de von Mangoldt et Ψ de Tchébychev :   

La fonction Ψ est définie par Ψ(x) = ΣΛ(n), la somme s'étendant aux entiers n x. Tchebychev prouva le résultat suivant :

x 2 : xln 2 + O(ln x) Ψ(x) 2xln 2 + O[(ln x)2]

On déduit de ce résultat :

  Hans Carl Friedrich von Mangodt (1854-1925), mathématicien allemand, spécialiste en théorie des nombres. Il fut un étudiant de Kummer qui dirigea sa thèse sur la représentation d'équations algébriques par des séries à l'université de Berlin en 1878.

Travaux en calcul des probabilités :

Outre ses travaux en calculs des probabilités prolongeant ceux de Laplace (relatifs aux erreurs d’observation), on doit aussi à ce mathématicien un algorithme de recherche d'une solution optimale dans un système d'équations linéaires dont on connaît une solution approchée (minimisation des résidus).

Inégalité de Bienaymé-Tchebychev (calcul des probabilités) :   

 Cette inégalité est en fait due à Bienaymé qui l'exposa pour la première fois en 1853, on peut ainsi l'exprimer :

Soit X une variable aléatoire d'espérance mathématique m et d'écart-type s :

e > 0 , Prob(| X - m | > e) s2/e2

Tchebychev s'en servit (1869) afin de prouver (incomplètement d'ailleurs) le théorème central limite sur la loi des grands nombres.

En savoir un peu plus :

Pour en savoir plus :

  1. Les nombres premiers, Que sais-je n°571 (nouvelle édition 1997), par G. Tenenbaum & M. Mendès France.

  2. Théorie analytique des nombres, par Michel Waldschmidt (univ. Paris VI), 2008 : http://www.math.jussieu.fr/~miw/articles/pdf/TdN2008fasc8.pdf


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