ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
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Philosophe et savant universel, René Descartes naquit en Touraine à la Haye, à la limite du Poitou, aujourd'hui appelée La Haye-Descartes. Il sera élevé par sa grand-mère car sa mère mourut (1597) à la naissance de son cinquième enfant.

Descartes fit ses études au collège de la Flèche (Sarthe) fondé par Henry IV en 1607 (tenu par les Jésuites, l'établissement deviendra école militaire dès 1764).

En cette école, il se lia d'amitié avec Mersenne. Après des études de droit, Descartes fit de nombreux voyages en Europe. Sa rencontre et son amitié avec le physicien hollandais Isaac Beeckman (1588-1637) fut sans doute décisive dans la suite de sa vie et de sa pensée scientifique et philosophique.

Renonçant à publier "Le Monde", œuvre plus audacieuse encore que celle de Galilée qui venait d'être condamné par l'inquisition pour avoir prétendu, suivant en cela Copernic, que la Terre tournait sur elle-même et autour du Soleil, il publie, en 1637, son célèbre Discours de la méthode pour conduire correctement la Raison et chercher la Vérité dans les Sciences et en application, trois essais scientifiques novateurs : Dioptrique (lois de la réfraction), Météores, Géométrie.

Descartes développa une philosophie basée sur la science et le raisonnement déductif. Il affirma son célèbre "cogito, ergo sum" (je pense, donc je suis) et estima pouvoir démontrer scientifiquement l'existence de Dieu, ce qui lui vaudra quelques déboires avec l'Église.

Ses écrits sont en français. Dès cette époque, les mathématiciens commencent à abandonner le latin au profit des langues nationales au détriment, dans une certaine mesure, de la portée universelle des mathématiques dont le latin était la langue véhiculaire chez tous les mathématiciens européens.

Initié par Viète, l'usage de lettres pour désigner des quantités numériques est adopté par Descartes qui utilise en algèbre nos notations actuelles, comme, par exemple :

• x, y, z, ...pour les inconnues dans la résolution d'équations.

• a, b, c pour les paramètres (quantités connues).

• l'exposant pour les puissances : comme x³ plutôt que xxx.

Une expression comme 2x³ - 5x² = 6x - 3 est écrite :

2x³ - 5xx 6x - 3

• On voit que le carré garde encore curieusement un statut particulier : xx et non pas x². La persistance de cette notation se trouvera d'ailleurs encore chez d'Alembert.

• Le signe , en forme de alpha renversé, signifie est égal à : notre notation d'aujourd'hui (=), due à Recorde n'est pas encore en usage.

Descartes utilisa le terme nombre imaginaire (dénomination de Bombelli) pour désigner un nombre complexe (1637) et énoncera le théorème fondamental de l'algèbre : une équation polynomiale de degré n admet n solutions -si l'on tient compte des solutions complexes et fausses (négatives).

En appelant variation d'un polynôme P, tout changement de signe entre deux termes consécutifs de P, alors :

Le nombre de solutions positives de l'équation P(x) = 0 ne peut excéder le nombre de variations.
Quant aux solutions négatives, elle ne peuvent excéder, en nombre, celui des variations de l'équation P(-x) = 0.

C'est un résultat fort important concernant l'existence et la séparation des racines d'une équation algébrique qu'étudieront les français Rolle, Lagrange, Budan de boislaurent, Fourier et Sturm.

Descartes pose, avec Fermat et indépendamment de ce dernier, les bases de la géométrie analytique, ainsi dénommée par Lacroix, par comme une application de l'algèbre à la géométrie.

Le concept (non le terme) de coordonnées, dont la paternité revient sans doute à Léonard de Vinci, va révolutionner l'étude des lignes courbes ou courbes géométriques (que Leibniz rebaptisera algébriques) : courbes dont l'équation peut se ramener à une forme polynomiale, comme par exemple la parabole dont une équation cartésienne peut se ramener à la forme simple y = x².

Cependant ce terme de coordonnées n'est pas encore utilisé, il faudra attendre Leibniz et d'Alembert. De plus, Descartes ne considérait que des "coordonnées" positives en raisonnant sur les mesures de segments d'une figure donnée et s'arrangeant à choisir son repère (droites sécantes jouant le rôle d'axes) de sorte que les coordonnées restent positives : selon l'héritage euclidien la géométrie traite de grandeurs, non de nombres. D'ailleurs, à propos des équations, il parle de « racines fausses ou moindres que rien » pour désigner celles qui s'avéreraient négatives. C'est avec les nombres complexes que les nombres négatifs s'imposeront avec le fameux i² = -1. Les notions d'axe et de mesure algébrique d'un segment ne sont pas encore nées :

L'étude des "touchantes" (tangentes) aux courbes et de leurs extremums devient un des problèmes majeurs des mathématiques. Elle conduira au calcul différentiel de Newton et Leibniz.

La géométrie de Descartes, imprimée à Paris en 1886, est numérisée par la : Cornell University Library

Sur le nom de Descartes, on a construit l'épithète cartésien : un esprit cartésien est un esprit méthodique, qui a le sens de l'analyse, de la rigueur.

Dans le plan, un repère cartésien c'est un triplet, où les vecteurs sont non colinéaires (donc non nuls). Cette appellation est cependant anachronique : les vecteurs n'étaient pas encore "inventés". Mieux vaudrait appeler repère cartésien un repère affine (O,I,J). Le produit cartésien de deux ensembles E et F désigne l'ensemble des couples (x,y) où x est élément de E et y élément de F.

Les vecteurs (le terme est d'Hamilton) apparaissent progressivement dans une longue et complexe genèse à la fin du 18è siècle. C'est un concept né des sciences physiques (force, vitesse et accélération) dans le grand renouveau de la géométrie lié à l'introduction des nombres négatifs (géométrie analytique) et l'usage des nombres complexes. On parle alors de segments orientés ou de lignes dirigées (sur une droite) avec Argand , Carnot , Chasles , Möbius. La formalisation dans le plan et l'espace apparaîtra avec Bellavitis, puis Hamilton, Gibbs et Grassmann.

Relative à une courbe ou une surface, il s'agit dans le plan (resp. dans l'espace) d'une relation de la forme f(x,y) = 0 (resp. f(x,y,z) = 0).

• Pour la droite passant par A(1,3), d'ordonnée à l'origine -4, une équation cartésienne est y = 7x - 4.

• Pour le plan de l'espace passant par A(1,1,2), B(1,0,1) et C(0,2,1), une équation cartésienne est : 2x + y - z = 1

• Pour la sphère de rayon 1, centrée à l'origine des coordonnées (surface de R³), de point générique M(x,y,z), une équation cartésienne est x² + y² + z² - 1 = 0.

Descartes énonça, sans doute le premier, que toute équation du second degré en x et y est celle d'une conique.

Les coniques selon John Wallis :

Cette courbe (du latin folium = feuille, ) fut "inventée" par Descartes (1638, dans une correspondance à Mersenne) afin de mettre en évidence la faiblesse de la méthode de Fermat dans la recherche des extremums d'une courbe algébrique.

C'est une cubique dont une équation cartésienne est :

Ce sont des courbes définies en coordonnées bipolaires que Descartes fut amené à étudier dans ses recherches sur la réfraction. Le limaçon de Pascal, les coniques, à l'exception de la parabole, en font partie :

Ovales de Descartes :

Cette célèbre formule lie les nombres de (F)aces, (S)ommets et (A)rêtes d'un polyèdre convexe, on a :

Il s'agit de la formule de géométrie relative à quatre points en division harmonique : pour que les points C et D soient conjugués harmoniques de A et B, il faut et il suffit que :

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Girard  Cavalieri

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