ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

LÉVY Paul Pierre, français, 1886-1971

Après des études secondaires au lycée Saint-Louis, Paul Lévy intégrera l'École Polytechnique. Il en sort major (1904). Trois plus tard, il est ingénieur des Mines (ENS des Mines de Paris). Tout en enseignant aux Mines de Saint-Étienne, il prépare sa thèse de doctorat Sur les équations intégro-différentielles définissant des fonctions de lignes (famille de courbes) (1912), qu'il soutiendra  devant Hadamard, Picard et Poincaré.

Volterra et les équations intégrales et intégro-différentielles :

Lévy enseigna à l'École des Mines de Paris jusqu'en 1951 ainsi qu'à l'École Polytechnique (de 1920 jusqu'à sa retraite). Il fut récipiendaire du prix Poncelet de l'Académie des sciences (1936) et sera élu à ladite Académie en 1964, succédant ainsi à Hadamard.

Pour la petite histoire, Lévy épousa la fille d'Hadamard et la fille de Lévy, Marie-Hélène, épousa Laurent Schwartz ( réf.1).

Ses travaux porteront d'une part sur l'analyse fonctionnelle (selon Fréchet, on lui doit ce terme en 1922) après les travaux novateurs de Fredholm, Volterra et Fréchet sur ce sujet initié par Euler et formalisé par Hilbert avec la mise en place des espaces fonctionnels et d'autre part, suite à ses recherches sur la théorie des erreurs, sur le calcul des probabilités dans la théorie des variables et processus aléatoires ( processus markoviens) comparées à celle, toute récente en physique, du mouvement brownien (on lui doit aussi cette appellation).

Lévy est, avec le mathématicien américain Doob, à l'origine du concept de martingale intervenant en théorie du potentiel et, avec Poincaré, de la fonction caractéristique d'une variable aléatoire.

  Markov , Kolmogorov , Bachelier , Malliavin , Neveu

Fonction caractéristique d'une variable aléatoire :

Ce sujet relève, dans son cas général, de la théorie de la mesure. Dans le cas simple d'une variable numérique continue X de densité f, sa fonction caractéristique est l'intégrale de Fourier :

Il s'agit donc de l'espérance mathématique E(eitX) = E(cos tX) + iE(sin tX) de la variable t eitX. Dans le cas de la loi normale, centrée et réduite, un calcul (un peu difficile : intégrale complexe) fournit :

  On démontre que les coefficients ak du développement en série entière de la fonction caractéristique sont les moments de X (espérances mathématiques de Xk).

Transformation de Fourier :            Intégrale de Gauss :

Un joli théorème de Levy relatif à la loi normale (1934), également dit de Cramér-Levy :

Une variable aléatoire X pouvant s'écrire comme somme Y + Z de deux variables indépendantes ne peut être gaussienne (distribution de Laplace-Gauss, dite normale) sans que Y et Z ne le soient.

Ce joli résultat, conjecturé par Lévy fut prouvé par Harald Cramer en 1936 (source réf.7).

  Harald Cramér : mathématicien et statisticien suédois (1893-1985). Étudia à l'université de Stockholm où il obtint son doctorat en 1917 (thèse intitulée : Sur une classe de séries de Dirichlet) sous la direction de Marcel Riesz. Outre la statistique et le calcul des probabilités, il étudia la distribution des nombres premiers, liée aux séries L de Dirichlet,  nombres premiers jumeaux en particulier. On ne le confondra pas avec le mathématicien suisse Gabriel Cramer.

Notion de martingale :

Le concept de martingale, prend sa source dans les jeux d'argent. Sur le plan étymologique, une martingale était une chaussure du 15è siècle (chausses à la martingale) de forme aberrante. Depuis le 18è siècle, dans les jeux d'argent, jouer une martingale consiste à jouer le double de la mise précédente tant que l'on a perdu, en espérant ainsi récupérer ses mises.

Très risqué ! Mais on est en effet théoriquement sûr de récupérer sa mise, à condition d'avoir une fortune illimitée !

Voyons cela : si la première mise m est perdue, on joue 2m. Si on gagne, tant mieux, sinon, on joue 4m et ainsi de suite. Si on gagne au n-ème jeu, la dernière mise n'est pas perdue car la perte de mise au coup k est 2k-1 x m. Le gain relatif est alors :

2n-1 x m - (m + 2m + ... + 2n-2 x m) = 2n-1 x m - (1 + 2 + ... + 2n-2) x m = m

car la parenthèse est la somme des n - 1 premiers termes de la progression géométrique de raison 2, soit (1 - 2n-1)/(1 - 2) = 2n - 1 - 1.

Vous récupérez ainsi votre mise et le gain associé au coup. Mais si vous n'êtes pas lourdement imposé à l'ISF, le pari reste très risqué... D'une façon générale, une martingale est une stratégie permettant d'augmenter ses gains dans un jeu de hasard.

Concept de martingale dans la théorie des processus stochastiques :    

Il n'est pas possible de développer le concept de martingale dans le cadre de cette chronologie. Ce sujet demande des connaissances préalables solides en théorie de la mesure (algèbres de Borel) et du calcul intégral au sens de Borel-Stieltjes. Pour les initiés, rappelons cependant brièvement quelques notions :

  Considérons un espace probabilisé (Ω,,p), un processus stochastique (Xt), famille de variables aléatoires de paramètre t positif (le temps par exemple) et une famille croissante (au sens de l'inclusion) (t) de sous-tribus de . Le processus (Xt) est dit adapté à (t) si Xt est t-mesurable pour tout t.

Concrètement, si t est le temps, les t correspondent aux événements antérieurs à l'instant t. Les Xt mesurables sont les variables dont l'état ne dépendent que de l'état de Ω dans la période antérieure à t. La croissance des t s'interprète comme un apport d'information sur le processus au cours du temps.

  Soit une sous-tribu de . Si X est une variable aléatoire admettant une espérance mathématique E(X), c'est à dire intégrable sur Ω au sens de p, on démontre qu'il existe une unique variable aléatoire -mesurable Y (à une égalité presque sûre près) telle que pour tout F de , on ait :

On parle d'espérance conditionnelle de X sachant : Y est une variable aléatoire, non un nombre comme dans le cas de l'espérance mathématique. On note généralement E(X|) la variable Y.

  Ceci étant, on dira qu'un processus stochastique numérique (Xt) adapté à (t) est une martingale (resp. sous-martingale, sur-martingale) si les Xt sont intégrables et pour tout (s,t) : Xs = E(Xt|s) presque sûrement (resp. ≤ , ≥ ).

Très (très) grossièrement et (un peu) concrètement... : lorsque s < t, s s représente l'évolution de Ω dans la période antérieure à s. La valeur moyenne estimée des Xt (dans le futur t) connaissant l'état de Ω dans la période antérieure à s, n'est autre que Xs.


Pour en savoir plus :

  1. Vie et œuvre de Paul Lévy (Annales des Mines) vues par d'éminents mathématiciens : http://www.annales.org/archives/x/paullevyJR.html
  2. Des publications de Paul Lévy numérisées sur Numdam : http://www.numdam.org/search/Levy Paul-a
  3. Fonctions caractéristiques : Éléments de Calcul des probabilités, par Jean Bass, Éd. Masson et Cie - Paris, 1967.
  4. Cours de Pascal Azerad (espérance conditionnelle d'une v.a., martingales) :
    http://www.math.univ-montp2.fr/~azerad/coursprob.pdf
  5. Bases Mathématiques du Calcul des Probabilités (processus & martingales), par Jacques Neveu, Éd. Masson - Paris, 1964.
  6. Probabilités et Potentiel, P.-A. Meyer - Éd. Hermann, actualités scientifiques & industrielles, Paris -1966.
  7. Notes sur les travaux de Paul Lévy en probabilités, page 1, par Jacques Neveu (1973) :
    http://www.annales.org/archives/x/paullevyJR.html


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