ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Nombres premiers selon Euclide
   
Ce nombre est-il premier ? | Nombres premiers d'un intervalle | Décomposition en facteurs premiers

Un entier naturel est dit premier s'il admet une paire de diviseurs distincts, autrement dit exactement deux diviseurs.

Dans un passé encore proche, on considérait autrefois que 1 est premier. Ce n'est qu'au tout début des années 1960, avec l'introduction des mathématiques dites modernes que 1 perd son statut de nombre premier ( Lebossé et Hémery, 1947).

On se propose ici de prouver l'infinitude des nombres premiers comme le fit Euclide (Eléments, Livre IX, prop. 20) puis de les rechercher dans une fourchette choisie par l'utilisateur.

Les nombres premiers sont en plus grande quantité que toute quantité proposée de nombres premiers.

Preuve : Montrons tout d'abord (Éléments, Livre VII, prop. 33) que tout entier naturel autre que 0 ou 1 possède au moins un diviseur premier : soit n un entier naturel, n > 1 : si n est premier, il admet un diviseur premier : c'est lui-même. Si n est non premier, il admet au moins un diviseur d1 vérifiant 1 < d1 < n. Si d1 n'est pas premier, il admet au moins un diviseur d2 vérifiant 1 < d2 < d1. En procédant de même tant que le diviseur dk (k = 1, 2,...) est non premier, on construit une suite strictement décroissante de diviseurs de n. Cette suite est finie, car constituée d'entiers strictement supérieurs à 1. Le dernier diviseur p de n (p > 1) ainsi obtenu, sera donc premier. Supposons maintenant que l'ensemble des nombres premiers soit un ensemble fini E de k éléments (raisonnement par l'absurde) et considérons le produit N = p1p2....pk + 1 des k éléments de E augmenté de 1. Cet entier N est plus grand que 1 et possède alors au moins un diviseur premier d qui ne peut être ni p1, ni p2, ...., ni pk , sinon d divise 1 et d = 1. Par conséquent d > pk : nous avons trouvé un diviseur premier supérieur à pk : E possède maintenant k + 1 éléments. Contraire à l'hypothèse. L'ensemble des nombres premiers est donc non fini.

Aristote et le raisonnement par l'absurde :                Nombres premiers jumeaux :

Recherche d'un algorithme permettant d'établir la primarité (primalité) d'un entier naturel :

 primarité ou primalité ?

La primarité est le caractère de ce qui est primaire ou premier (Larousse). En anglais primary a le même sens. Dans cette langue, on parle de prime number pour nombre premier. Au lieu de primarité, certains anglophiles disent aujourd'hui primalité, ça fait tendance..., de l'anglais primality forgé sur primal = primitif, mais aussi primordial, premier. En français et en anglais, primal trouve son sens en psychologie, thérapie primale, où l'on cherche à faire revivre au patient névrosé des scènes de son passé à des fins thérapeutiques. On notera que dans une décomposition d'un entier en facteurs premiers (integer's prime decomposition), un facteur comme 23 dans 1400 =  23527 est dit primaire et primary en anglais.

Soit n un entier naturel, n > 6. Effectuons la division euclidienne de n par 6 : n = 6q + r. L'entier n ne peut être premier si r est un élément de {0,2,3,4}. Ainsi :

  1. Une condition nécessaire pour qu'un nombre soit premier est que le reste dans sa division par 6 soit égal à 1 ou 5. Un nombre (ou un diviseur) premier au moins égal à 5 est donc de la forme : 6a ± 1, a décrivant N*.

Si d est un diviseur de n, il existe k entier tel que n = dk. C'est dire que k est un diviseur de n. Supposons que n n'admette aucun diviseur d n mais qu'un entier k > n divise cependant n. Il existe alors un entier d tel que n = dk > dn, donc n > d. Ainsi :

Ces considérations permettent d'écrire un programme très simple de recherche :

Programme JavaScript élémentaire :

On peut vouloir aussi rechercher l'ensemble des nombres premiers dans une fourchette donnée : le programme Javascript ci-dessous, utilisable en ligne, calcule les nombres premiers dans la fourchette voulue [a,b] : vous entrez le nombre de départ a, puis la borne supérieure b. Par défaut a = 2 et b = a + 1000.   

 fonctions mathématiques usuelles

                   


 PGCD , Crible d'Eratosthène , Décomposition en facteurs premiers , Conjecture de Goldbach
Nombres premiers jumeaux , Nombres premiers sexy

Niveau Sup : http://perso.univ-rennes1.fr/antoine.chambert-loir/2005-06/a2/td4.pdf

Nombres premiers de Sophie Germain : La répartition des nombres  premiers :


Pour en savoir plus, les sites et les livres sur les nombres premiers sont innombrables, citons :

  1. Les nombres premiers, Que sais-je n°571 (nouvelle édition 1997), par G. Tenenbaum & M. Mendès France
    (un chapitre est consacré aux nombres premiers jumeaux).
  2. Le très complet site de Gérard Villemin consacré aux nombres à la fois pédagogique et encyclopédique :
    - http://villemin.gerard.free.fr/
    - http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Premier/introduc.htm

  3. The primes pages, le site dédié à la recherche des nombres premiers de l'université du Tennessee :
    http://www.utm.edu/research/primes/

  4. Huntig primes numbers, from human to electronic computers (sur le site The Rutherford journal) :
    http://www.rutherfordjournal.org/article030105.html


© Serge Mehl - www.chronomath.com