ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Nombres premiers selon Euclide
   
  Nombres premiers d'un intervalle , Ce nombre est-il premier ? , Décomposition en facteurs premiers

On se propose ici de prouver l'infinitude des nombres premiers comme le fit Euclide (Eléments, Livre IX, prop. 20) puis de les rechercher dans une fourchette choisie par l'utilisateur.

Les nombres premiers sont en plus grande quantité que toute quantité proposée de nombres premiers.

Preuve : Montrons tout d'abord (Éléments, Livre VII, prop. 33) que tout entier naturel autre que 0 ou 1 possède au moins un diviseur premier : soit n un entier naturel, n > 1 : si n est premier, il admet un diviseur premier : c'est lui-même. Si n est non premier, il admet au moins un diviseur d1 vérifiant 1 < d1 < n. Si d1 n'est pas premier, il admet au moins un diviseur d2 vérifiant 1 < d2 < d1. En procédant de même tant que le diviseur dk (k = 1, 2,...) est non premier, on construit une suite strictement décroissante de diviseurs de n. Cette suite est finie, car constituée d'entiers strictement supérieurs à 1. Le dernier diviseur p de n (p > 1) ainsi obtenu, sera donc premier. Supposons maintenant que l'ensemble des nombres premiers soit un ensemble fini E de k éléments (raisonnement par l'absurde) et considérons le produit N = p1p2....pk + 1 des k éléments de E augmenté de 1. Cet entier N est plus grand que 1 et possède alors au moins un diviseur premier d qui ne peut être ni p1, ni p2, ...., ni pk , sinon d divise 1 et d = 1. Par conséquent d > pk : nous avons trouvé un diviseur premier supérieur à pk : E possède maintenant k + 1 éléments. Contraire à l'hypothèse. L'ensemble des nombres premiers est donc non fini.

Aristote et le raisonnement par l'absurde :                   Nombres premiers jumeaux :  

Cet entier est-il premier ? recherche d'un algorithme :

Un entier naturel est premier s'il admet une paire de diviseurs : 1 et lui-même. Il est ainsi clair que 1, 4 et 6 sont non premiers et que 2, 3 et 5 le sont. Soit n un entier naturel, n > 6. Effectuons la division euclidienne de n par 6 : n = 6q + r. L'entier n ne peut être premier si r est un élément de {0,2,3,4}. Ainsi :

6a ± 1, a décrivant N*

Si l'entier naturel n est non premier, il admet au moins un diviseur premier autre que 1 et lui-même (cf. supra) et il peut s'écrire n = kd où k et d sont des entiers naturels avec d vérifiant : 1 < d n et d de la forme 6a ± 1.

Dans cette recherche, on ne dépasse pas n car si d divise n, alors n = k d et on a d k ou k d. Supposons d k . Alors n = k d d d : c'est dire n d2, soit : d n. Le diviseur k (éventuellement premier) vérifiera lui : n k2.

Ce nombre est-il premier (programme JavaScript) ? : Crible d'Ératosthène :

Recherche dans une fourchette donnée :

Le programme Javascript ci-dessous, est utilisable en ligne. Il calcule les nombres premiers dans la fourchette voulue [a,b]: vous entrez le nombre de départ a, puis la borne supérieure b. Par défaut a = 2 et b = a + 1000.

 fonctions mathématiques usuelles

                   


 PGCD , Crible d'Eratosthène , Décomposition en facteurs premiers , Conjecture de Goldbach
Nombres premiers jumeaux , Nombres premiers sexy

Niveau Sup : http://perso.univ-rennes1.fr/antoine.chambert-loir/2005-06/a2/td4.pdf

Nombres premiers de Sophie Germain : La répartition des nombres  premiers :


Pour en savoir plus, les sites et les livres sur les nombres premiers sont innombrables, citons :

  1. Les nombres premiers, Que sais-je n°571 (nouvelle édition 1997), par G. Tenenbaum & M. Mendès France
    (un chapitre est consacré aux nombres premiers jumeaux).
  2. Le très complet site de Gérard Villemin consacré aux nombres à la fois pédagogique et encyclopédique :
    - http://villemin.gerard.free.fr/
    - http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Premier/introduc.htm

  3. The primes pages, le site dédié à la recherche des nombres premiers de l'université du Tennessee : http://www.utm.edu/research/primes/

  4. Huntig primes numbers, from human to electronic computers (sur le site The Rutherford journal) : http://www.rutherfordjournal.org/article030105.html


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