ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

NEPER (ou NAPIER) John, écossais, 1550-1617

Baron de Merchiston, théologien protestant. Avec l'invention de ses "réglettes", permettant d'effectuer les quatre opérations élémentaires, il est à l'origine des premières machines à calculer dont il expose le fonctionnement dans un traité (Rabdologiae, 1617) en introduisant, au niveau des notations, la notation décimale actuelle des nombres décimaux, au détriment de la notation fractionnaire :

32,578 plutôt que

Le traité de Neper eut pour nom précis Rabdologiae seu numerationis per virgula libri duo signifiant Deux livres sur la rabdologie (du grec rhabdos = baguette, réglette et logos = (science du) calcul) et sur la numération avec virgule.

Deux ans plus tard, dans son Constructio (ci-dessous) la virgule est remplacée par un point.

Stevin , Snellius , De Morgan

L'invention des logarithmes :

Neper est plus connu pour son invention des logarithmes  (le terme est de lui, du grec logos = logique, raison et arithmos = nombre) qu'il explique dans deux traités : Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio (1614), puis Mirifici Logarithmorum Canonis Constructio (posthume, 1619) soit : Description (resp. Construction) de la Règle Admirable des Logarithmes. L'objectif était de simplifier les calculs trigonométriques de l'astronomie (trigonométrie sphérique) en remplaçant les multiplications et divisions par des additions et soustractions.

Il s'attacha tout d'abord à définir le logarithme d'un sinus (nombre compris entre 0 et 1) en s'appuyant à l'origine de ses travaux sur de complexes considérations mécaniques de points en mouvement et sur le lien entre les progressions arithmétique et géométrique. On peut esquisser la méthode de la façon suivante :

Si une suite (un) de nombres est géométrique de la forme un = a.un-1, a constant, a > 0, a distinct de 1 (a est la raison de la suite), alors le "logarithme" dans la base a de un est une suite arithmétique (vn) de raison 1 : par passage au logarithme, les multiplications deviennent des additions. Si a = 10, le logarithme décimal de 10 = 101 est 1, celui de 100 = 102 est 2.

Par insertion de termes moyens, on calcule de proche en proche de nouveaux logarithmes : si β est un terme moyen entre α et γ de la progression géométrique, alors β2 = αγ. Son correspondant est le terme moyen associé dans la progression arithmétique; or β est un terme moyen entre α et γ de la progression arithmétique si β = (α + γ)/2. Ainsi, toujours avec a = 10, le logarithme de 10 est ½, celui de 1010 est 3/2.

Le logarithme népérien :

On sait que par extractions successives des racines carrées d'un nombre donné, la suite des résultats tend vers 1. Le procédé permet donc de calculer les logarithmes de nombres proches de 1 et, par suite, très petits devant 1.

Dans son livre Promenades MATHEMATIQUES, Histoire, fondements, applications, Frédéric Laroche nous apprend que Briggs et Neper constatent l'approximation Log(1 + x) / x = k (rapport sensiblement constant) pour x d'autant proche de 0. Un calcul fin fournit alors k 0,434294481903251804.


Prouver que le nombre k ci-dessus, dans le cas a = 10, n'est autre que Log(e), logarithme décimal de e.

En changeant la valeur de a, Neper trouva pratique d'admettre :

Log(1 + x) / x  1 pour x "petit" devant 1

ce qui correspond au logarithme dit népérien. Mais Briggs lui suggéra cependant d'utiliser la base décimale, c'est à dire a = 10.

Un calcul "élémentaire" de e :

Logarithmes et exponentielles de base a :

Les logarithmes de base a peuvent être ainsi définis, comme le fit Euler :

loga y = x     y = ax   ( a > 0, a 1)

y = ax fut appelé l'antilogarithme de x dans la base a. On parle aujourd'hui d'exponentielle de base a. Noter que pour toute base a :

loga a = 1 et loga1 = 0

Et vu que ax + x' =  ax x ax' , en posant y = ax  et y' = ax', on a : loga yy' = loga ax + x' = x + x' = logay + logay' d'où la relation fondamentale :

loga yy' = loga y + loga y'

qui permet à Neper d'établir, avec son ami Briggs, les propriétés de ces nouveaux nombres et les premières tables de logarithmes décimaux (de base 10, dits "vulgaires" et anciennement de Briggs, notés aujourd'hui log tout simplement) des entiers de 1 à 1000 avec 14 décimales. Cette même formule permit la construction des règles à calcul aujourd'hui remplacées par les calculatrices électroniques.

Ci-dessous, un extrait de la table de logarithmes décimaux, Bouvart et Ratinet (ed. Hachette, 1957) utilisée par les lycéens et les étudiants des années 1960, avant l'apparition des calculatrices bon marché :

Ce n'est qu'en 1617, à la mort de Neper que la table sera publiée. Elle permit tout particulièrement à son contemporain Kepler d'établir ses tables de position des planètes que ce dernier lui dédia. C'est avec Descartes que le logarithme prendra le statut de fonction.

Le logarithme népérien, également dit naturel, voire hyperbolique depuis Euler, autrefois noté Log, est noté aujourd'hui ln (logarithme népérien), vérifie pour tout x > 0 :

 pour tout x > 0 :

Ainsi relié au calcul intégral, il était étudié en classes Terminales des lycées jusque dans les années 1990. On préfère aujourd'hui introduite la fonction exponentielle puis définir le logarithme de x comme l'unique solution de l'équation ex = m :

Deux introductions à la fonction exponentielle :

C'est à Euler que l'on doit cette écriture intégrale pressentie par N. Mercator. L'unique et célèbre réel e tel que ln e = 1, donc base de ces logarithmes (ln = loge) fut appelé nombre de Neper. Dans un repère orthonormal, ln x apparaît donc comme l'aire sous l'hyperbole équilatère d'équation y = 1/x.

Fonction et courbe logarithmique : Fonction et courbe exponentielle :

Outre l'importance inestimable de leurs usages, les logarithmes firent apparaître une infinité de nouveaux nombres transcendants : il en est ainsi, par exemple, de ln2 et du nombre e.

 Le logarithme apparaissant si simplement comme primitive d'une fonction rationnelle aussi élémentaire que y = 1/x, on est en droit de se poser la question : et si ln x était une fraction rationnelle ? On s'en dissuadera facilement en écrivant ln x = P(x)/Q(x) avec degP = n, degQ = m, P(x) = anxn + an-1xn-1+... , Q(x) = bmxm + bm-1xm-1+... On a alors nécessairement n > m et la limite à l'infini de xm - n ln x serait un nombre fini : an/bm. Ceci n'est pas possible car ln x serait équivalent à xn - m (n - m > 0) et tout élève de Terminale sait que la puissance l'emporte sur le logarithme : i.e. à l'infini, lim ln(x)/xk = 0 pour tout k > 0.


Réchauffement et exponentielle , Refroidissement, suite géométrique et exponentielle , Recherche dichotomique

Lien entre logarithme népérien (ln) et logarithme décimal (log) :

En base 10, log10 = 1 (logaa = 1) et, par suite : log 100 = 2, ..., log 10n = n. Soit a le logarithme décimal d'un nombre y et b son logarithme népérien. On a a = log y et b = ln y. Par conséquent 10a = eb,  donc a.log 10 = b.log e. Ainsi log y = ln y x log e.

On pose généralement M = log e, c'est donc aussi 1/ln10 (en choisissant y = 10) :

M 0,4342944819032... , log y = M.ln y

Fonctions logarithmes & exponentielles de base a :              Baker :

Résultats de trigonométrie sphérique :

On doit aussi à Neper des formules pratiques sur la résolution des triangles sphériques rectangles dites règles de Neper. Les côtés a, b et c sont exprimés en distance sphérique : mesure en radians de l'arc de grand cercle correspondant au côté. Les angles sont notés ^a, ^b et ^c. On code ce triangle comme indiqué ci-dessous :

Dans le triangle sphérique ci-dessus, rectangle en A, le cosinus d'un angle ou d'un côté est le produit des cotangentes (resp. des sinus) des éléments adjacents (resp. opposés).

Par exemple :

  Girard , Delambre


Stevin  Harriot 
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