ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges
 FAGNANO Giulio Carlo,
italien, 1682-1766
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Comte de Fagnano, marquis de Toschi.
Autodidacte, ses travaux en
géométrie et en calcul différentiel et intégral (courbes et
surfaces, rectification) n'en sont pas moins remarquables.
Dans le cadre de la rectification de la lemniscate de Bernoulli et de l'ellipse (calcul de leur longueur), il sera, en 1750, avant Euler, un précurseur dans l'étude fort difficile des intégrales elliptiques, intégrales contenant des radicaux dont on ne sait pas calculer les primitives et qu'étudieront plus particulièrement Lagrange, Legendre, Abel et Jacobi.
← Source portrait : https://it.wikipedia.org/wiki/Giulio_Fagnano_dei_Toschi
Formule de Fagnano pour la rectification de l'ellipse (1750) :
Le calcul exact de la circonférence d'une l'ellipse (son périmètre) n'est pas simple, voire impossible : on en obtient une approximation en développant le radical à intégrer en série entière de son excentricité.
La notion d'intégrale elliptique : » 
Outre une théorie rigoureuse sur ce difficile sujet, Fagnano apporte une "bonne" approximation de la circonférence de l'ellipse de demi-axes a et b :
Une approximation proposée par Ramanujan est, avec les mêmes notations :
Rectification d'un arc de courbe : » » Neile
Problème
de Fagnano et triangle orthique :
On place trois points H, K et L sur les côtés d'un triangle acutangle (dont les trois angles sont aigus). Comment placer ces points afin que le périmètre du triangle HKL soit minimum ? Réponse : le triangle orthique, en jaune ci-dessous, défini par les pieds des hauteurs.
La figure ci-dessous est générée au moyen du logiciel de géométrie dynamique Cabri Géomètre, dans sa version CabriJava pour Internet :
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Java
(»
extension CheerpJ
) :
Vous
pouvez déplacer les sommets A, B et C du triangle
»
On trouvera une étude complète du triangle orthique dans
La géométrie du triangle. Exercices résolus
par
Yvonne et René Sortais,
Collection formation des
enseignants et formation continue -
Éd. Hermann, Paris - 1987. Réédition : 1997
On peut cependant donner de ce théorème une preuve relativement simple :
∗∗∗
Solution du problème de Fagnano : »
Théorème :
Dans un triangle acutangle, les hauteurs et les supports des côtés du triangle ABC sont les bissectrices intérieures et extérieures du triangle HKL :
∗∗∗
Là encore,
avant Euler,
Fagnano établit cette belle formule très osée
pour l'époque (logarithmes imaginaires) :
Preuve (exercice en
application des angles inscrits, niveau 3ème/2nde)
Formule
de Fagnano
(analyse
complexe)
où i désigne le célèbre nombre complexe dont le carré est - 1 et ln, le logarithme népérien.
Preuve : le nombre complexe 1 - i peut s'écrire √2(1/√2 - i/√2) = √2e-iπ/4. De même 1 + i, son conjugué, s'écrit √2e-iπ/4. Leur quotient est alors e-iπ/2. D'où :
d'où le résultat puisque i2 = -1.
Cotes