ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
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FAGNANO Giulio Carlo, italien, 1682-1766

Comte de Fagnano, marquis de Toschi. Travaux en géométrie et en calcul différentiel & intégral (courbes et surfaces, rectification). Dans le cadre de la rectification du lemniscate et de l'ellipse (calcul de leur longueur), il sera, en 1750, avant Euler, un précurseur dans l'étude fort difficile des intégrales elliptiques, intégrales contenant des radicaux dont on ne sait pas calculer les primitives et qu'étudieront plus particulièrement Lagrange, Legendre, Abel et Jacobi.

Formule de Fagnano pour la rectification de l'ellipse (1750) :

Comme dit ci-dessus, le calcul exact de la circonférence d'une l'ellipse n'est pas simple, voire impossible : on en obtient une approximation en développant le radical à intégrer en série entière de son excentricité.

La notion d'intégrale elliptique :  

Outre une théorie rigoureuse sur ce difficile sujet, Fagnano apporte une "bonne" approximation de la circonférence de l'ellipse de demi-axes a et b :

 

Une approximation proposée par Ramanujan est, avec les mêmes notations :

Rectification d'un arc de courbe :        Neile

Problème de Fagnano et triangle orthique :    

On place trois points H, K et L sur les côtés d'un triangle acutangle (dont les trois angles sont aigus). Comment placer ces points afin que le périmètre du triangle HKL soit minimum ? Réponse : le triangle orthique, en jaune ci-dessous, défini par les pieds des hauteurs.

On trouvera une étude complète du triangle orthique  dans La géométrie du triangle, Yvonne et René Sortais, Ed. Hermann. On peut donner de ce théorème une preuve relativement simple  :

   Solution du problème de Fagnano :

Théorème :       

Dans un triangle acutangle, les hauteurs et les supports des côtés du triangle ABC sont les bissectrices intérieures et extérieures du triangle HKL :


Vous pouvez déplacer les points A, B et C

   Preuve (exercice en application des angles inscrits, niveau 3ème/2nde)
 
Formule de Fagnano (analyse complexe)

 Là encore, avant Euler, Fagnano établit cette belle formule très osée pour l'époque (logarithmes imaginaires) :

où i désigne le célèbre nombre complexe dont le carré est - 1 et ln, le logarithme népérien.

Preuve :  le nombre complexe 1 - i peut s'écrire 2(1/2 - i/2) = 2e-iπ/4. De même 1 + i, son conjugué, s'écrit 2e-iπ/4. Leur quotient est alors e-iπ/2. D'où :

d'où le résultat puisque i2 = -1.

 Gelfond


Machin  Cotes
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