Constante d'Euler et tableur

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Calcul de la constante d'Euler, version tableur
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L'existence de cette constante, notée ici C :

est assez simple à prouver. La série 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 +... + 1/n + ... dite harmonique , est divergente :

Cette divergence est lente. En interprétant le logarithme népérien (noté ln) comme une aire (ci-dessus), la linéarité de l'intégrale permet d'écrire (la zone bleue correspond au membre de gauche de l'encadrement) :

Posons S_n = 1 +1/2 + 1/3 + ... + 1/n. L'encadrement précédent s'écrit alors : S_n - 1 < ln n < S_n - 1/n, soit :

1/n < S_n - ln n < 1

On voit donc que la suite (u_n) définie par :

est bornée et si elle est convergente, sa limite C vérifie 0 ≤ C ≤ 1. On pose maintenant :

u_n = S_n - ln n
pour tout x réel strictement positif.

On a :

u_n+1- u_n = f(n)

L'étude de la fonction f montre qu'elle est strictement négative, croissante et sa limite à l'infini est nulle : on en déduit que la suite (u_n) décroît et, étant bornée, converge : sa limite est la constante d'Euler notée ici C (et généralement γ dans la littérature mathématique).

Pour un calcul sur machine, il nous faut trouver un encadrement de C, afin de s'assurer une convergence non douteuse. Introduisons alors une suite auxiliaire nous amenant à la notion de suites adjacentes :

On a alors v_n = u_n- 1/n. Il est facile de montrer que (v_n) converge vers C en croissant, alors que, on vient de le voir, (u_n) converge vers C en décroissant. Ainsi :

v_n < C < u_n et les suites (u_n) et (v_n) sont alors dites adjacentes :

Suites adjacentes :

On dit que deux suites numériques (u_n) et (v_n) sont adjacentes si, à partir d'un certain rang n_o, il est assuré que :

l'une des deux suites est croissante;

l'autre est décroissante; ∗∗∗ Autres exemples de suites adjacentes

la différence u_n - v_n tend vers 0.

Deux telles suites sont convergentes et ont la même limite car l'une est croissante majorée, l'autre décroissante minorée (dès n ≥ n_o).

➔ L'immense avantage dans un tel cas est de pouvoir obtenir un encadrement de la limite cherchée

Programme avec appel récursif (mode itératif) sur Tableur :

Le tableur, admettant les références circulaires (récursion), est particulièrement efficace dans ce type de calcul. On utilise la technique du drapeau, noté ici d. Pour nommer les cellules, choisir l'item Définir un nom... dans le menu Sélection.

	A	B	C
1	compteur	série harmonique	drapeau
2	=SI(d=0;1;k+1)	=SI(d=0;1;B2+1/k)	1
3		suite Un
4		=B2-LN(k)
5		suite Vn
6		=B2-1/k-LN(k)
7		moyenne	erreur
8		=(B4+B6)/2	=(B4-B6)/2

A2 : compteur k pour la série harmonique
B2 : calcul de la somme S_k des inverses
C2 : drapeau d.
B4, B6 : calcul de la constante d'Euler : S_k - ln k.
Lorsque d = 0, A2 vaudra 1 , ainsi que B2 (initialisation). Si on met d à 1, le calcul commence : on note les références circulaires (récursion : les cellules font appel à elles-mêmes) en A2 et B2. Choisissez au moins 1000 itérations.

Exemple d'exécution :

compteur	série harmonique	drapeau
17384	10,34054994864120	1
	suite Un
	0,57724442670494
	suite Vn
	0,57718690254479
	moyenne	erreur
	0,57721566462487	2,88E-05

Les divergence et croissance lentes de la série harmonique et du logarithme népérien impliquent la lente convergence vers C. De plus, il se greffe dans le calcul de la somme (B2) des erreurs d'arrondi difficiles à évaluer suivant la qualité de la machine utilisée. 0,57721... semble assuré et notre encadrement permet d'être rassuré quant à la validité des calculs. Effectivement, la valeur de C, à 10^-20 près est :

C = 0,57721566490153286060...