ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Équations différentielles linéaires du second ordre        premier ordre
        Méthode de la variation de la constante        exercices , équation différentielle homogène

Les fonctions x a(x), x b(x), x c(x) et x d(x) étant continues sur un intervalle J de R, l'équation différentielle linéaire (par rapport à y, y' et y") du second ordre s'écrit sous la forme :

a(x).y" + b(x).y' + c(x).y = d(x) , xJ         (e)

Soit yo une solution (e). Par différence et en posant Y = y - yo, on obtient :

a(x).Y" + b(x).Y' + c(x).Y = 0 , xJ         (h)

Une telle équation est dite sans second membre ou encore homogène : le second membre est nul. Une solution triviale est la solution nulle Y(x) = 0 pour tout x de J.

Lemme :      

Si (h) admet une solution non nulle, alors l'ensemble des solutions de (h) constitue un espace vectoriel de dimension 2.

En effet, soit y1 une solution de (h). On peut poser Y = y1.z et rechercher x z(x) afin que (h) soit vérifiée. On a alors Y' = y'1.z + y1.z', puis Y'' = y''1.z + 2y'1.z' + y1.z''. On reporte dans (h), on regroupe et il apparaît que (h) est équivalente à :

a(x)y1.z'' + [2a(x)y'1 + b(x)y1].z' = 0     (hz)

Cette équation se ramène au 1er ordre en posant Z = z' :

A(x).Z' + B(x).Z = 0  avec  A(x) = a(x)y1   et  B(x) = 2a(x)y'1 + b(x)y1

On a donc Z = z' = c1.ef(x)  où f(x) désigne une primitive de -B(x)/A(x) et c1 une constante arbitraire. Une seconde quadrature fournit z = c1F(x) + c2, solution générale de (hz), où F(x) désigne une primitive de ef(x) et c2 une constante arbitraire. Finalement, la solution générale de (h) est :

Y = y1.z = y1(c1F(x) + c2) = c1.y1F(x) + c2.y1

Y est donc combinaison linéaire de deux fonctions x y1F(x) et x y1. Or ces fonctions sont linéairement indépendantes car le rapport de la 1ère à la seconde est F(x) manifestement non constante.

Ainsi, la connaissance de deux solutions linéairement indépendantes y1 et y2 de l'équation (h), fournit sa solution générale sous la forme :

Y = c1y1 + c2y2

où c1 et c2 sont des réels arbitraires. Une fois trouvé Y, la solution générale s'obtient en lui ajoutant une solution particulière de (e) comme pour le premier ordre. La résolution de l'équation (e) réside donc dans :

Aucun des points ci-dessus n'est simple. Cauchy a montré l'existence et l'unicité d'une solution y = f(x) définie sur J et vérifiant les conditions initiales yo = f(xo) et y'o = f'(xo).

Toutefois, le cas particulier de l'équation homogène à coefficients constants, c'est à dire de la forme :

ay" + by' + cy = 0 , xJ    a, b et c réels donnés, a non nul     (hc)

trouva sa solution avec Euler dans la méthode de l'équation caractéristique :

Équation caractéristique de l'équation différentielle linéaire du second ordre :

cherchons une solution de (hc) sous la forme :

y = kerx

où k et r sont des réels à déterminer. L'équation (hc) devient :

kerx(ar2 + br + c) = 0

Si k = 0, alors y est la solution nulle. Sinon, r est solution de l'équation du second degré, dite équation caractéristique :

ar2 + br + c = 0        (ec)

Discussion :

 Si Δ = b2 - 4ac > 0, (ec) admet deux solutions réelles r et r' et Y = c1erx + c2er'x (combinaison de deux solutions linéairement indépendantes).

  Si Δ= 0, (ec) admet une solution double r : procédons par la méthode de la variation de la constante en cherchant y sous la forme k(x)erx et r = -b/2a. On obtient, en substituant et en ordonnant :

k(ar2 + br + c) + ak" + k'(2ar + b) = 0

soit finalement : ak" = 0. Vu a 0, on peut choisir k(x) = x. Ainsi Y = erx(c1x + c2), combinaison de deux solutions linéairement indépendantes.

 Si Δ= b2 - 4ac < 0, le cas est plus complexe... : les solutions sont complexes et conjuguées (puisque a, b et c sont réels). Passons outre en posant r = u + iv et r' = u - iv. 

Les solutions peuvent s'écrire formellement y1 = kerx et y2 = ker'x. C'est à dire :

y1 = keux x eivx = keux(cos vx + i.sin vx) et y2 = keux x e-ivx = keux(cos vx - i.sin vx)

On voit alors que les combinaisons (y1 + y2)/2 d'une part et -i(y1 - y2)/2 d'autre part, sont réelles et indépendantes et valent respectivement keux.cos vx et keux.sin vx : Y = eux(c1.cos vx + c2.sin vx), combinaison de deux solutions linéairement indépendantes.

Eu égard à r + r' = 2u, r - r' = 2iv et :

on déduit u = -b/2a et v = (-Δ)/2a.

Recherche d'une solution particulière de l'équation complète :

La nature du second membre et la linéarité peut aider dans cette recherche. Par exemple :

D'une façon générale, en présence de coefficients non constants et/ou second membre plus ou moins alambiqué... :

a)  Connaissant deux solutions linéairement indépendantes y1 et y2 de (h), donc la solution générale de (h) : y = a.y1 + b.y2 , on peut utiliser la méthode de la variation des constantes en posant y = a.y1 + b.y2 où a et b sont considérées cette fois comme des fonctions, ce qui conduit à un système de deux équations différentielles du 1er ordre en a' et b' en imposant la condition a'y'1 + b'y'2 = 0. Cette méthode se généralise à une équation différentielle d'ordre quelconque.

b)  Connaissant une solution particulière yo de (e), équation complète, on peut se ramener à une équation homogène du 1er ordre en posant y = kyo et en considérant k comme variable, l'équation se réduisant alors à :

a(x)yo.k" + [2a(x)y'o + b(x)yo].k' = 0

et on se ramène au 1er ordre en posant u = k'.


  Deux cas simples d'illustration : résoudre les équations différentielles :
1. y" + y' - 2y = sin x avec y(0) = y'(0) = 0            2. y" - y'/x = xex

Changement de variable :
3. Un phénomène est régi, pour x > 0, par l'équation du second ordre x2y" + axy' + b = f(x) où a et b sont des constantes.
Montrer qu'en posant u = ln x (logarithme népérien de x, on se ramène à une équation linéaire du second ordre à coefficients constants.

       

  Autres exercices avec solutions :

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