ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
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Équations différentielles linéaires du second ordre        premier ordre
        Méthode de la variation de la constante        exercices , équation différentielle homogène

Les fonctions x a(x), x b(x), x c(x) et x d(x) étant continues sur un intervalle J de R, l'équation différentielle linéaire (par rapport à y, y' et y") du second ordre s'écrit sous la forme :

a(x).y" + b(x).y' + c(x).y = d(x) , xJ         (e)

Soit yo une solution (e). Par différence et en posant Y = y - yo, on obtient :

a(x).Y" + b(x).Y' + c(x).Y = 0 , xJ         (h)

Une telle équation est dite sans second membre ou encore homogène : le second membre est nul. Une solution triviale est la solution nulle Y(x) = 0 pour tout x de J.

Propriété fondamentale :      

Si l'équation homogène (h) : a(x).Y" + b(x).Y' + c(x).Y = 0 admet une solution non nulle,
alors l'ensemble des solutions de
(h)
constitue un espace vectoriel de dimension 2

Preuve : soit y1 une solution de (h). On peut poser Y = y1.z et rechercher x z(x) afin que (h) soit vérifiée. On a alors Y' = y'1.z + y1.z', puis Y'' = y''1.z + 2y'1.z' + y1.z''. On reporte dans (h), on regroupe, ce qui ramène à l'équation équivalente (hz) : a(x)y1.z'' + [2a(x)y'1 + b(x)y1].z' = 0, laquelle se ramène au 1er ordre en posant Z = z' : A(x).Z' + B(x).Z = 0  avec  A(x) = a(x)y1   et  B(x) = 2a(x)y'1 + b(x)y1. On a donc Z = z' = c1.ef(x)  où f(x) désigne une primitive de -B(x)/A(x) et c1 une constante arbitraire. Une seconde quadrature fournit z = c1F(x) + c2, solution générale de (hz), où F(x) désigne une primitive de ef(x) et c2 une constante arbitraire. Finalement, la solution générale de (h) est :

Y = y1.z = y1(c1F(x) + c2) = c1.y1F(x) + c2.y1

Y est donc combinaison linéaire de deux fonctions x y1F(x) et x y1. Or ces fonctions sont linéairement indépendantes car le rapport de la 1ère à la seconde est F(x) manifestement non constante.

Conclusion partielle :    

La connaissance de deux solutions linéairement indépendantes y1 et y2 de l'équation homogène (h), fournit sa solution générale sous la forme :

Y = c1y1 + c2y2

où c1 et c2 sont des réels arbitraires. Une fois trouvé Y, la solution générale de l'équation (e) initiale s'obtient en ajoutant à Y une solution particulière de (e) comme pour le premier ordre. La résolution de l'équation (e) réside donc dans :

Cauchy a montré l'existence et l'unicité d'une solution y = f(x) définie sur J et vérifiant les conditions initiales yo = f(xo) et y'o = (xo). Mais, trouver deux solutions y1 et y2 n'est pas simple, sauf dans le cas de l'équation homogène à coefficients constants pour lequel Euler exposa sa méthode de l'équation caractéristique :

Résolution de l'équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants :   

On se place dans le cas :

ay" + by' + cy = 0 , xJ    a, b et c réels donnés, a non nul     (hc)

t cherchons une solution de (hc) sous la forme y = kerx où k et r sont des réels à déterminer. L'équation devient :

kerx(ar2 + br + c) = 0

Si k = 0, alors y est la solution nulle. Sinon, r est solution de l'équation du second degré, dite équation caractéristique :

ar2 + br + c = 0        (ec)

Discussion :   
k(ar2 + br + c) + ak" + k'(2ar + b) = 0

soit finalement : ak" = 0. Vu a 0, on peut choisir k(x) = x. Ainsi Y = erx(c1x + c2), combinaison de deux solutions linéairement indépendantes.

Les solutions peuvent s'écrire formellement y1 = kerx et y2 = ker'x. C'est à dire :

y1 = keux x eivx = keux(cos vx + i.sin vx) et y2 = keux x e-ivx = keux(cos vx - i.sin vx)

On voit alors que les combinaisons (y1 + y2)/2 d'une part et -i(y1 - y2)/2 d'autre part, sont réelles et indépendantes et valent respectivement keux.cos vx et keux.sin vx : Y = eux(c1.cos vx + c2.sin vx), combinaison de deux solutions linéairement indépendantes.

Vu que r + r' = 2u, r - r' = 2iv et 2ar = (-b ± |Δ|), on déduit u = -b/2a et v = (-Δ)/2a.


Quelques situations pour la recherche de solutions particulières :    

La nature du second membre de l'équation a(x)y" + b(x)y' + c(x)y = d(x) et la linéarité peut aider dans cette recherche. Par exemple :

  1. Si d(x) est constant, on se ramène au cas homogène en posant y = z + d/c;

  2. Si d(x) est un polynôme de degré n, on cherche une solution du même type;
    Exemple : y'' - y = x2 + 1. Rép. : αex + βe-x - x2 - 3.

  3. Si d(x) est de la forme αekx, on cherche une solution de la même forme;

  4. Si d(x) est de la forme P(x)enx, on se ramène au cas ci-dessus en posant y = Q(x)enx;

  5. Si d(x) est de la forme a.sin nx, b.cos px ou a.sin nx + b.cos px, on cherche une solution sous cette dernière forme;

  6. Si d(x) est de la forme enx.sin px, on posera y = enx(a.sin nx + b.cos nx).

  7. Si on connaît deux solutions linéairement indépendantes y1 et y2 de (h), donc sa solution générale y = a.y1 + b.y2 , on peut utiliser la méthode de la variation des constantes en posant y = a.y1 + b.y2 où a et b sont considérées cette fois comme des fonctions, ce qui conduit à un système de deux équations différentielles du 1er ordre en a' et b' en imposant la condition a'y'1 + b'y'2 = 0. Cette méthode se généralise à une équation différentielle d'ordre quelconque.

  8. Connaissant une solution particulière yo de (e), équation complète, on peut se ramener à une équation homogène du 1er ordre en posant y = kyo et en considérant k comme variable, l'équation se réduisant alors à a(x)yo.k" + [2a(x)y'o + b(x)yo].k' = 0 et on se ramène au 1er ordre en posant u = k'.


 
Résoudre les équations différentielles :

1. y" + y' - 2y = sin x avec y(0) = y'(0) = 0            2. y" - y'/x = xex
Changement de variable :
3. Un phénomène est régi, pour x > 0, par l'équation du second ordre x2y" + axy' + b = f(x) où a et b sont des constantes. Montrer qu'en posant
u = ln x (
logarithme népérien de x, on se ramène à une équation linéaire du second ordre à coefficients constants.
4. Résoudre l'équation (x - 1)(2x - 1)y'' + 2xy' - 2y = 0. On posera y = ux. Rép. : y = k1x + k2 + k2x/(x - 1).   

 
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