ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges
 CHASLES Michel,
français, 1793-1880 |
Polytechnicien,
Michel Chasles obtient son doctorat sous la houlette de Poisson (1814). Officier du génie, cet illustre géomètre professa la mécanique
et la géodésie à l'École
polytechnique puis obtint une chaire de géométrie "supérieure"
créée (1846) à son intention à la
Sorbonne (université de Paris).
Parallèlement aux travaux de Möbius, Plücker et von Staudt en Allemagne, il complète, par une approche synthétique (non analytique, usant des transformations projectives, dualité, principe de continuité) la géométrie projective que Poncelet et Gergonne avaient déjà rénovée, une trentaine d'années auparavant, en reprenant les travaux de Desargues.
Le principal de son œuvre sera publié dans son Traité de géométrie supérieure (1852). Chasles publia également nombre de ses travaux dans les Annales de Gergonne et dans le journal de Liouville (sections coniques, courbes gauches).
Chasles
fut le premier président de la Société
mathématique de France (1873), aujourd'hui
association loi 1901 pour "l'avancement
et la propagation des études de Mathématiques pures et appliquées
".
Cette société savante est aujourd'hui hébergée par l'Institut
Henri Poincaré (à Paris).
| Les transformations homographiques, premiers pas vers la géométrie algébrique : |
Cherchant à généraliser les résultats de Poncelet sur l'homologie dans le cadre de la géométrie projective, Chasles, indépendamment de Möbius, recherche les transformations du plan et de l'espace susceptibles de transformer un point (resp. une droite, un plan) en un point (resp. une droite, un plan).
Il leur donne le nom d'homographies (1837), forgé à partir du grec (homos = semblable et graphikos = action d'écrire ou dessiner). Möbius parla de transformations projectives.
Dans le plan, de telles transformations T s'avèrent analytiquement nécessairement de la forme M' = T(M), avec M(x,y) et M'(x',y') tel que :
où px + qy + m est non proportionnel à ax + by +c et à a'x + b'y + c', ce qui revient à écrire que le déterminant d'ordre 3 formé par les coefficients est non nul :
Traité de géométrie supérieure de
Chasles (BNF)
:
http://visualiseur.bnf.fr/Visualiseur?Destination=Gallica&O=NUMM-99637
Les transformations homographies conservent l'alignement et le rapport anharmonique, ou birapport, de quatre points alignés et transforment les objets fondamentaux de la géométrie, droites, cercles et coniques, en l'un d'eux (un cercle -ou une sphère- peut se transformer en une droite -ou un plan- : cas de l'inversion).
Les transformations affines usuelles (similitudes et affinités) en sont des cas particuliers : translation, l'homothétie, la symétrie, les similitudes, la perspective (projection centrale), l'homologie (dans le cas de l'existence d'une droite invariante point par point). En se plaçant dans le plan complexe, les fonctions homographiques du type
(dite transformation de Möbius) permettent aussi d'exprimer l'inversion géométrique.
La distinction entre la géométrie euclidienne et la géométrie projective restait cependant floue. Il manquait à cette dernière une mise en place indépendante passant donc par une définition axiomatique et une claire distinction entre propriétés métriques et projectives. Ce sera une des taches de l'allemand Von Staudt. Klein parachèvera l'ensemble de ces recherches en 1872, avec son célèbre programme d'Erlangen.
La géométrie algébrique :
Les
travaux de Chasles sur les figures homographiques évoqués ci-dessus, marqueront la naissance d'une nouvelle théorie s'affranchissant
du contexte projectif : la géométrie algébrique, entre algèbre et géométrie,
avec un noyau central : la topologie. Le souci premier étant la classification
des courbes et surfaces algébriques, la recherche de propriétés topologiques et
l'étude de leurs intersections, donc l'étude de polynômes et de leurs racines
communes.
Développée en Italie, en particulier par Véronèse, Cremona, Castelnuovo et Enriques, la géométrie algébrique fut rénovée en Allemagne par Max Noether avant une refondation au moyen de l'algèbre commutative (anneaux, théorie des idéaux) par Zariski (États-Unis), Grothendieck et Samuel en France, dans laquelle on s'affranchit du corps des réels : les polynômes sont définis sur des anneaux commutatifs abstraits.
A l'instar de Diophante à la recherche de racines entières ou rationnelles d'équations algébriques, la géométrie algébrique rejoint l'arithmétique (théorie algébrique des nombres) en s'intéressant à la recherche des points à coordonnées rationnelles sur une courbe ou une surface et une application des plus retentissantes de cette nouvelle branche des mathématiques sera la démonstration du grand théorème de Fermat par le mathématicien anglais Andrew Wiles en 1995.
| Exemple de perspective plane : |
Le cas illustré ci-dessous à droite présente un cas très simple de perspective plane de centre O sur la droite d'équation x = 3 dans un repère orthonormé d'origine O.
En utilisant la
propriété de Thalès ou la
colinéarité des vecteurs OM et OM', on obtient
l'expression analytique de cette
perspective :
x' = 3 , y' = 3y/x
Cette transformation ne conserve pas le milieu : par exemple, si A(4;0) et B(2;2), alors A'(3;0) et B'(3;3).
Le milieu de [AB] est I(3;1) qui a pour image lui-même; ce n'est pas le milieu de [A',B'] qui est I'(3;3/2) : la perspective n'est donc pas une application affine du plan euclidien.
un autre cas : étude
analytique d'une perspective plane
| Homothétie & figures semblables : |
Les termes homothétie, homothétique sont également dus à Chasles (on lit omotéssi mais omotétique..., du grec homos = semblable et thesis = position). Formellement, on appelle homothétie de centre O, de rapport k (k réel non nul), l'application qui à tout point M du plan ou de l'espace associe le point M' tel que :
Deux figures F et F' sont homothétiques s'il existe une homothétie transformant l'une en l'autre. Si |k| > 1, on parle d'agrandissement; si |k| < 1, c'est une réduction.
Homothétie en tant qu'application affine
:
Tout
dépend du "sens" de la transformation... Si F' est l'image de F par une
homothétie de rapport k > 1, alors F' est un agrandissement de F et,
dans ce cas, F est une réduction de F' par l'homothétie inverse
(réciproque) de rapport 1/k. Ne pas confondre avec le signe de k. Ci-contre
F' est un agrandissement de facteur (ou de coefficient) 3 = |-3|.
Plus généralement, deux figures sont semblables si elles peuvent se correspondent par la composée d'une homothétie et d'une rotation (similitude directe) ou d'une homothétie et d'une symétrie axiale -ou par rapport à un plan dans le cas de l'espace- (similitude indirecte).
| La célèbre formule de Chasles et les mesures algébriques : |
La mesure algébrique d'un segment AB sur un axe (droite graduée munie d'une origine et d'un sens positif de parcours), notée aujourd'hui AB, est le nombre algébrique xB - xA où xA et xB sont les abscisses respectives de A et B. on a alors :
La notation
AB
apparut dans les années 1920-1930 pour désigner
un vecteur d'origine A, d'extrémité B, également
appelé à l'époque segment
dirigé. Chasles notait ab le segment orienté d'origine a, d'extrémité
b et posait ba = -ab en
énonçant, pour trois points a, b et c d'une même
droite, la relation : ab + bc + ca = 0.
ci-dessous le texte original
Premières notions de vecteur :
Calcul vectoriel élémentaire dans le plan :
Relativement aux mesures algébriques des segments "orientés" (bipoints), la formule de Chasles peut s'exprimer ainsi :
La formule est aussi attribuée à Möbius mais fut utilisée par Wessel et Argand bien auparavant dans la construction du plan complexe. Elle se généralise aux vecteurs (du plan ou de l'espace) que Bellavitis (avec sa théorie des équipollences), Hamilton, Grassmann et Gibbs mettront bientôt en place : en utilisant la notation italique gras pour les vecteurs, elle exprime que pour tous points A, B et C de la droite, du plan ou de l'espace, on a la relation :
AB = AC + CB ou encore : AB = CB - CA
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Green
