ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
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Calcul de ζ(2)           calcul de ζ(4)

Voici un exemple classique d'application des séries de Fourier dans le calcul de la somme ζ(2) = π2/6 de la série de Riemann :

La fonction f définie comme étant 2π-périodique par :

f(x) = | x | sur [-π,+π]

vérifie les conditions de convergence.

Sa série de Fourier est donc convergente au point zéro. On a f(0) = 0 et f étant paire, bn = 0 pour tout n. Quant à an, le calcul est simple, on éliminera x sous le signe intégrale par une intégration par parties :

avec

Ainsi :

Pour x = 0, on obtient :


et par conséquent :

Revenons à notre série de Riemann : on peut écrire, en distinguant les valeurs paires et impaires de n :


Ce qui amène finalement au résultat annoncé :

                    Calcul de pi par cette formule :

Rappelons que par de subtiles transformations sur le développement en produit infini de sin x :

Euler avait obtenu cette somme π2/6 au moyen du produit infini :

              Produit eulérien

où le produit s'étend pour les entiers p premiers.

Calcul de ζ(4) :  Un résultat inattendu obtenu par Cesaro :

 Pour info :

 ζ(2n) = 1 + 1/22n + 1/32n + 1/42n + ... = 22n-1 × π2n × Bn/(2n)!

Valeurs de ζ(6), ζ(8) et autres :


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