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Voici un exemple classique d'application des séries de Fourier dans le calcul de la somme ζ(2) = π2/6 de la série de Riemann :
La fonction f définie comme étant 2π-périodique par :
vérifie les conditions de convergence.
Sa série de Fourier est donc convergente au point zéro. On a f(0) = 0 et f étant paire, bn = 0 pour tout n. Quant à an, le calcul est simple, on éliminera x sous le signe intégrale par une intégration par parties :
avec
➔ Pour x = 0, on obtient :
et par conséquent :
Revenons à notre série de Riemann : on peut écrire, en distinguant les valeurs paires et impaires de n :
Ce qui amène finalement au résultat annoncé
:
➔ Rappelons que par de subtiles transformations sur le développement en produit infini de sin(x)/x :
Euler avait obtenu cette somme π2/6 en l'identifiant au développement en série de la même fonction, à savoir :
1 - x2/3! + x4/5! - + (-1)n x2n/(2n+1)!... (résolution du problème de Bâle, 1735).
! Pour info :
Valeurs de ζ(6), ζ(8) et autres : »