ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Calcul de ζ(2)          » calcul de ζ(4)

Voici un exemple classique d'application des séries de Fourier dans le calcul de la somme ζ(2) = π²/6 de la série de Riemann :

La fonction f définie comme étant 2π-périodique par :

vérifie les conditions de convergence.

Sa série de Fourier est donc convergente au point zéro. On a f(0) = 0 et f étant paire, b_n = 0 pour tout n. Quant à a_n, le calcul est simple, on éliminera x sous le signe intégrale par une intégration par parties :

avec

Ainsi :

 ➔  Pour x = 0, on obtient :

et par conséquent :

Revenons à notre série de Riemann : on peut écrire, en distinguant les valeurs paires et impaires de n :

Ce qui amène finalement au résultat annoncé :

                    Calcul de pi par cette formule : »

 ➔  Rappelons que par de subtiles transformations sur le développement en produit infini de sin(x)/x :

Euler avait obtenu cette somme π²/6 en l'identifiant au développement en série de la même fonction, à savoir :

1 - x²/3! + x⁴/5! -  + (-1)ⁿ x²ⁿ/(2n+1)!...  (résolution du problème de Bâle, 1735).

 !  Pour info :

• 1 - 1/2² + 1/3² - 1/4² + ... + (-1)^n-1/n² + ... = π²/12
• Les nombres ζ(2n) sont liés aux nombres de Bernoulli B_n par la formule :