ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Nombres d'Euler & nombres ZigZag

Les nombres d'Euler se retrouvent curieusement, ainsi que d'autres entiers issus du développement en série de la fonction tangente, dans le problème combinatoire suivant :

Etant donné n objets numérotés 1, 2, ..., n, combien peut-on former de permutations de ces objets de sorte que leurs numéros croissent et décroissent alternativement. On parle de permutation alternée ou de permutation zigzag. Le qualificatif zigzag se justifiera ci-dessous.

Si nous prenons 1 objet, cas trivial : 1 cas             

 commençant par 1

1

   

Si nous prenons 2 objets, cas trivial encore : 1 cas

 commençant par 1

1

 

 commençant par 2

0

néant

Si nous prenons 3 objets : 2 cas                          

il y a 3! = 6 façons (factorielle 3) de les permuter, mais seulement 2 façons de les permuter alternativement :

 commençant par 1

1

 

 commençant par 2

1

   

commençant par 3

0

néant

 

On obtiendrait évidemment des permutations alternées commençant par 3 en décidant que les numéros décroissent et croissent alternativement. Il suffit de considérer les permutations ci-dessus en les lisant à l'envers.

Si nous prenons 4 objets : 5 cas                          

Il y a 4! = 24 façons (factorielle 4) de les permuter, mais seulement 5 façons de les permuter alternativement :

 commençant par 1 2     ,   
 commençant par 2 2     , 
commençant par 3 1  
commençant par 4 0 néant

Si nous prenons 5 objets : 16 cas                        

Il y a 5! = 120 façons (factorielle 5) de les permuter, mais seulement 16 façons de les permuter alternativement :

 commençant par 1 5  
,
 commençant par 2 5   ,      
 
commençant par 3 4 ,
,
commençant par 4 2 ,
commençant par 5 0 néant

Si vous êtes toujours là... :  il y a un moyen simple permettant de dénombrer les permutations alternées : reprenons les résultats des tableaux précédents :

ligne (n) \colonne (k) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ZigZag
1 1                 1
2 0 1               1
3 1 1 0             2
4 0 1 2 2           5
5 5 5 4 2 0          16
6 0 5 10 14 16  16       61
7 61 61 56 46 32 16 0     272
8 0 61 122 178 224 256 272 272   1385
9 1385 1385 1324 1202 1024 800 544 272 0 7936

Vous constatez, sur les 5 premières lignes, que l'on passe de la ligne n à la ligne n + 1, en écrivant alternativement de gauche à droite (ligne paire) ou de droite à gauche (ligne impaire), donc en ZigZag, les nombres obtenus en cumulant ceux de la ligne n et en commençant toujours par 0. On en déduit (en rouge) les cas n = 6, n = 7, ...

La solution de ce problème combinatoire n'est pas simple. Il semble avoir été résolu par un mathématicien français au sujet duquel je manque d'information : dans sa Concise encyclopedia of Mathematics, Eric W. Weisstein précise que le sujet fut étudié par Désiré André dans deux mémoires publiés par l'Académie des sciences de Paris : Développements de sec x et tan x (1879) , Mémoire sur les permutations alternées (1881). Dans son Livre des Nombres, John H. Conway et Richard K. Guy font allusion à ces permutations mais le sujet n'est pas abordé de façon très précise.

 Toute information sur Désiré André, normalien, professeur agrégé de mathématiques (1863) sera la bienvenue...


Un résultat étonnant :        

Les nombres Zig (colonne 1) sont en fait les valeurs absolues des nombres d'Euler que l'on retrouve dans le développement de la fonction secante :

Pour cette raison, on les nomme parfois aussi nombres sécants. Ils sont impairs.

Quant aux nombres Zag (diagonale), on les retrouve dans le développement de la fonction tangente, lequel peut ainsi s'écrire :

et dont le terme général tn est alors :

  , B2n désignant ici la valeur absolue des nombres de Bernoulli.

A l'exception du premier, Les nombres Zag, aussi appelés nombres tangents, sont pairs et définis par :

En ajoutant la sécante à la tangente, on obtient la fonction :

dont le développement "normalisé"  sous la forme fournira les nombres ZigZag pour n 1.

Nombres de Catalan :


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