ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

MEUSNIER Jean-Baptiste Marie, français, 1754-1793
     
Louis XVI (1754-1793), roi de France

Élève de Monge à l'Académie militaire de Mézières, il se fit tôt remarquer par ses remarquables capacités en mathématiques et entrera à l'Académie des sciences en 1784 pour sa contribution dans l'étude locale des surfaces. Mais il continue sa carrière militaire.

Lieutenant-colonel du génie sous la révolution, Meusnier organisa les armées de la toute jeune République. Général de division (1792), il fit face aux armées prussiennes et mourut à Cassel, touché par un boulet de canon.

Poursuivant les premiers travaux, initiés par Euler et Monge sur la courbure des surfaces, Meusnier nous a laissé d'importants résultats.

Théorème de Meusnier :

Considérons une section quelconque (oblique ou non) d'une surface Σ par un plan (P) suivant une tangente (t) en un point M de Σ.

Par section oblique, on entend une section par un plan ne contenant pas la normale en M à la surface. A contrario, une section normale la contient.

Dans ces conditions :

Le rayon de courbure au point M de cette section est la projection sur (P) du rayon de courbure de la section normale au même point suivant la même tangente (t).

Le cas de la sphère illustre clairement ce théorème : la section normale en M est ici le grand cercle de diamètre [AM]. Le triangle ABM est rectangle en B et (OC) est une droite des milieux dans ce triangle. Ainsi OMC est rectangle en C.

Le rayon de courbure de la section normale est R = OM, celui de la section oblique est r = CM et on a r = R.cosθ. En terme de courbure, on retrouve ici que la courbure normale est :

Kn = 1/OM = cosθ/r.

Les recherches de Meusnier sur ce sujet seront complétées au siècle suivant par Dupin et, principalement par Darboux et Ribaucour, au moyen de la géométrie différentielle :

Autres résultats de Meusnier :       

Notion de surface minimale (jusqu'au début du 20è siècle, on parlait de surface minima) :

Par rotation autour de l'axe des abscisses, une chaînette engendre une surface de révolution , appelé caténoïde (aussi appelé aussi alysséïde (du latin catena = chaine / du grec alusis = chaîne) dont les courbures moyennes sont nulles en tout point : une telle surface est dite minimale.

Meusnier, Lagrange et Euler étudièrent les premiers les surfaces minimales : ce qualificatif est lié au fait qu'une portion d'une telle surface limitée par une courbe fermée présente une aire minimale. Un exemple trivial est une portion de plan dont la courbure est nulle en tout point.

Moins trivial est le caténoïde ci-dessus. Meusnier et Euler établirent qu'il est la seule surface minimale de révolution. L'équation, dans le plan, de la chaînette étant y = a.cosh(x/2), l'équation du caténoïde peut s'écrire, en coordonnées curvilignes :

x = a.cosh(u/a).cos v , y = a.cosh(u/a).sin v , z = u

où a est une constante. Ci-dessus, au moyen du logiciel de Denis Monasse, on a choisi a = 2; u varie de -5 à 5 , v varie de 0 à 2π.

Quant à l'hélicoïde (ci-contre), mot à mot en forme de spirale (du grec helix = spirale), concrétisé par la vis d'Archimède, il est la seule surface minimale réglée.

On le génère par le déplacement d'une droite perpendiculaire à l'axe d'un cylindre droit, passant par cet axe par et une hélice circulaire tracée sur le cylindre. Son équation peut s'écrire, en coordonnées curvilignes :

x = αu.cos v , y = αu.sin v , z = β.v

α et β sont des constantes. Ci-contre on a choisi α = 2 et β = 1; u varie entre 0 et 2 , v varie de 0 à 6π (soit 3 tours de vis).     

Surface réglée  :              Lancret

 Plus étonnantes sont les surfaces engendrées par la nature : dans un solide quelconque, perçons un trou ou bien fabriquons un contour fermé quelconque en fil de fer (courbe de l'espace). Trempons-le dans un liquide savonneux et ressortons-le de sorte qu'une surface savonneuse referme l'orifice ou le contour. C'est une surface minimale : la nature cherche à minimiser son travail de rebouchage... elle n'est pas prodigue :

Surface minimale et problème de Plateau :               Maupertuis , Bonnet , Darboux


Carnot  Parseval
© Serge Mehl - www.chronomath.com