ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
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Théorème de Euler-Descartes pour les polyèdres convexes
    
caractéristique d'Euler-Poincaré

Selon Hilbert, cette belle formule, généralement attribuée à Euler (1752) serait due en fait à Descartes et fut complètement établie par Cauchy en 1805 :

S - A + F = 2

où S, F et A désignent respectivement le nombre de sommets, de faces et d'arêtes d'un polyèdre convexe. Voici la preuve apportée par Lucas :

Considérons une surface polyèdre convexe et ouverte, illustrée à gauche. Son contour est une ligne brisée plane ou gauche. Montrons que nous avons F + S = A + 1 en procédant par récurrence sur le nombre de faces F. 

La formule est vraie pour F = 1 : cas d'un polygone car alors F = 1 et S = A . Si la formule est acceptée pour F faces, montrons qu'elle est vraie pour F + 1 faces :

Adjoignons à notre surface ouverte une face supplémentaire : soit n le nombre de côtés d'une telle face et p le nombre d'arêtes communes avec notre surface initiale. On a :

F' = F + 1 , A' = (A + n) - p = A + (n - p) , S' = (S + n) - p -1

D'où : F' + S' = F + S + n - p = A + 1 + n - p = A' + 1. Ce qui montre que la formule F + S = A + 1 est vraie quel que soit le nombre de faces d'une surface polyèdre (y compris polygonale : F = 1 S = A).

Considérons maintenant un polyèdre convexe. Retirons-lui une face. C'est une surface polyèdre. Ce faisant, le nombre d'arêtes et de sommets n'a pas changé et on a donc (F - 1) + S = A + 1, il s'agit bien de la formule annoncée F + S = A + 2.

     
 Vérifiez la formule sur cet exemple du cuboctaèdre ( solides archimédiens)

Usage de la formule pour le dénombrement des polyèdres réguliers convexes :

Ce théorème est en fait un premier résultat de topologie combinatoire qui sera développée par Poincaré et Fréchet avant de prendre le nom de topologie algébrique avec Hopf. Concernant des variétés topologiques, surfaces n-dimensionnelles, sur lesquelles on définit des sommets, des faces et des arêtes, on obtient une formule généralisée dite caractéristique d'Euler-Poincaré ou invariant d'Euler-Poincaré car la formule est invariante par transformations continues.

Notion de topologie combinatoire et algébrique  :

La formule d'Euler se retrouve également en théorie des graphes ( également ci-après) dans lesquels, outre les sommets et les arêtes, on peut définir la notion de face.

 Formule d'Euler pour les graphes :


On considère un polyèdre à faces triangulaire, par exemple un tétraèdre, un octaèdre.
Montrer que si F est le nombre de faces et A le nombre d'arêtes, on a 2A = 3F.
En déduire que son nombre de faces est pair


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