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Théorème de Euler-Descartes pour les polyèdres convexes
     caractéristique d'Euler-Poincaré

Selon Hilbert, cette belle formule, généralement attribuée à Euler (1752) serait due en fait à Descartes et fut complètement établie par Cauchy en 1805 :

S - A + F = 2

où S, F et A désignent respectivement le nombre de sommets, de faces et d'arêtes d'un polyèdre convexe. Voici la preuve apportée par Lucas :

Considérons une surface polyèdre convexe et ouverte, illustrée à gauche. Son contour est une ligne brisée plane ou gauche. Montrons que nous avons F + S = A + 1 en procédant par récurrence sur le nombre de faces F. 

La formule est vraie pour F = 1 : cas d'un polygone car alors F = 1 et S = A . Si la formule est acceptée pour F faces, montrons qu'elle est vraie pour F + 1 faces :

Adjoignons à notre surface ouverte une face supplémentaire : soit n le nombre de côtés d'une telle face et p le nombre d'arêtes communes avec notre surface initiale. On a :

F' = F + 1 , A' = (A + n) - p = A + (n - p) , S' = (S + n) - p -1

D'où : F' + S' = F + S + n - p = A + 1 + n - p = A' + 1. Ce qui montre que la formule F + S = A + 1 est vraie quel que soit le nombre de faces d'une surface polyèdre (y compris polygonale : F = 1 S = A).

Considérons maintenant un polyèdre convexe. Retirons-lui une face. C'est une surface polyèdre. Ce faisant, le nombre d'arêtes et de sommets n'a pas changé et on a donc (F - 1) + S = A + 1, il s'agit bien de la formule annoncée F + S = A + 2.

     
 Vérifiez la formule sur cet exemple du cuboctaèdre (» solides archimédiens)

Usage de la formule pour le dénombrement des polyèdres réguliers convexes :  »

Ce théorème est en fait un premier résultat de topologie combinatoire qui sera développée par Poincaré et Fréchet avant de prendre le nom de topologie algébrique avec Hopf.

 ➔   Concernant les variétés topologiques, surfaces n-dimensionnelles, sur lesquelles on définit des sommets, des faces et des arêtes, on obtient une formule généralisée dite caractéristique d'Euler-Poincaré ou invariant d'Euler-Poincaré car la formule est invariante par transformations continues.

Notion de topologie combinatoire et algébrique : »

La formule d'Euler se retrouve également en théorie des graphes (» également ci-après) dans lesquels, outre les sommets et les arêtes, on peut définir la notion de face.

 Formule d'Euler pour les graphes : »

∗∗∗
 On considère un polyèdre à faces triangulaire, par exemple un tétraèdre, un octaèdre.
Montrer que si F est le nombre de faces et A le nombre d'arêtes, on a 2A = 3F. En déduire que son nombre de faces est pair.

 ➔   Pour en savoir plus :

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