![]() ![]() caractéristique d'Euler-Poincaré |
Selon Hilbert, cette belle formule, généralement attribuée à Euler (1752) serait due en fait à Descartes et fut complètement établie par Cauchy en 1805 :
où S, F et A désignent respectivement le
nombre de sommets, de faces et d'arêtes d'un polyèdre convexe.
Voici
la preuve apportée par Lucas
:
Considérons une surface polyèdre convexe et ouverte, illustrée à gauche. Son contour est une ligne brisée plane ou gauche. Montrons que nous avons F + S = A + 1 en procédant par récurrence sur le nombre de faces F.
La formule est vraie pour F = 1 : cas d'un polygone car alors F = 1 et S = A . Si la formule est acceptée pour F faces, montrons qu'elle est vraie pour F + 1 faces :
Adjoignons à notre surface ouverte une face supplémentaire : soit n le nombre de côtés d'une telle face et p le nombre d'arêtes communes avec notre surface initiale. On a :
F' = F + 1 , A' = (A + n) - p = A + (n - p) , S' = (S + n) - p -1
D'où : F' + S' = F + S + n - p = A + 1 + n - p = A' + 1. Ce qui montre que la formule F + S = A + 1 est vraie quel que soit le nombre de faces d'une surface polyèdre (y compris polygonale : F = 1 S = A).
Considérons maintenant un polyèdre convexe. Retirons-lui une face. C'est une surface polyèdre. Ce faisant, le nombre d'arêtes et de sommets n'a pas changé et on a donc (F - 1) + S = A + 1, il s'agit bien de la formule annoncée F + S = A + 2.
Vérifiez la
formule sur cet exemple du cuboctaèdre (»
solides archimédiens)
Usage de la formule pour le dénombrement des polyèdres réguliers convexes : »
Ce théorème est en fait un premier résultat de topologie combinatoire qui sera développée par Poincaré et Fréchet avant de prendre le nom de topologie algébrique avec Hopf.
➔ Concernant les variétés topologiques, surfaces n-dimensionnelles, sur lesquelles on définit des sommets, des faces et des arêtes, on obtient une formule généralisée dite caractéristique d'Euler-Poincaré ou invariant d'Euler-Poincaré car la formule est invariante par transformations continues.
Notion de topologie combinatoire et algébrique : »
La formule d'Euler se retrouve également en théorie des graphes (» également ci-après) dans lesquels, outre les sommets et les arêtes, on peut définir la notion de face.
Formule d'Euler pour les graphes : »
∗∗∗
On considère un polyèdre à faces triangulaire, par exemple
un tétraèdre, un octaèdre.
Montrer que si F est le nombre de faces et A le
nombre d'arêtes, on a 2A = 3F.
En déduire que son nombre de faces est pair.
➔ Pour en savoir plus :
Caractéristique d'Euler-Poincaré (CNRS) :
http://analysis-situs.math.cnrs.fr/-Caracteristique-d-Euler-Poincare-92-.html