ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Brachistochrone et calcul des variations

Le brachistochrone fut étudié par Jean et Jacques Bernoulli et donna naissance au calcul des variations : étant donné deux points A et B de hauteurs différentes, non situés sur une même verticale, il s'agit de rechercher la trajectoire (c) permettant la descente la plus rapide de A à B d'un point M, de masse m, soumis à la seule pesanteur (sorte de toboggan).

L'objectif est d'évaluer le temps de descente et de le minimiser : la solution est un arc de cycloïde.

Nous utilisons ici l'équation d'Euler (calcul des variations). En égalisant l'énergie cinétique obtenue et l'énergie potentielle à chaque instant (principe du conservation de l'énergie), on a :

• v désigne la vitesse de M sur la trajectoire (c) cherchée, soit v = ds/dt où s désigne l'abscisse curviligne de M sur (c) et t le temps. 
  » abscisse curviligne, voir aussi Frenet;

• y_o désigne l'ordonnée initiale de M (au point A).

On peut écrire dx/dt = (dx/ds) x (ds/dt); par suite : 

Vu que dy/dx = y' et , on remplace, on renverse et on obtient :

Si a est l'abscisse de A et b celle de B, le temps à minimiser est alors donné par la fonctionnelle :

On voit que notre fonctionnelle ne dépend pas directement de x. On sait alors que l'équation d'Euler se réduit à la formule de Beltrami :

F - y'F'_y' = k, (k = constante).

 ➔  Quitte à déplacer l'origine en A, on peut supposer y_o = 0, x_o = 0 afin de simplifier les calculs.
On a alors y strictement négatif pour t > 0. On obtient une équation assez simple dans laquelle k est positif :

Élevons au carré et simplifions la rédaction en notant 1/√r (r comme rayon, on va le voir bientôt...) le facteur constant ci-dessus. On obtient l'équation différentielle :

1 + y'² = -r/y

Posons y' = tanθ (paramétrisation). La condition sur θ sera posée in fine. On a  :

• d'une part : 1 + y'² = 1 + tan²θ = 1/cos²θ, donc y = -r × cos²θ =  - ½r × (1 + cos2θ)/2

• d'autre part y' = tanθ, mais aussi y' = dy/dx = dy/dθ × dθ/dx = 2r × sinθcosθ × dθ/dx

On en déduit dx = 2r × cos²θdθ. Cachant  cos2 = 2cos²θ - 1, on a facilement par intégration x = r × (θ + ½sin2θ) + C (constante d'intégration) :

x = r(θ + ½sin2θ) + C , y = - ½r(1 + cos2θ)

On peut maintenant poser R =½r et u = 2θ :

x = R(u + sinu) + C , y = -R(1 + cosu)

On reconnaît, à une translation près de vecteur V(C,0), l'équation d'une cycloïde (renversée), la constante R représentant alors le rayon du cercle roulant. En illustration  ci-dessous le cas R = 2.

∗∗∗
Justifier brièvement ce résultat : Si une courbe (c) est définie paramétriquement pas x = f(t), y = g(t), alors le coefficient directeur de la tangente en un point est donné par m = g'(t)/f '(t). En déduire la présence de points de rebroussement pour la cycloïde ci-dessus en u = π + 2kπ, soit : x = π/2 + kπ.
Rép. : dy/dx = dy/dt × dt/dx = (dy/dt) / (dx/dt) = g'(t)/f '(t). On a ici dy/dx = sinu/(1 + cosu). D'où le résultat annoncé.

» Tangente aux courbes en coordonnées paramétriques , polaires , cartésiennes , implicites

La trajectoire optimale étant un arc de cycloïde, il nous faut maintenant préciser les conditions initiales. Afin que notre point M "dévale" l'arc au plus vite, il s'agit que la pente au départ soit maximale : la tangente en A(0,0) sera donc verticale : y' = tanθ_o devra être infini négatif (vu que x > 0 et y <0). On initialise alors le paramètre en θ_o = -π/2, c'est à dire en u_o = -π : c'est le point de rebroussement, on s'en doutait...

On a bien comme voulu y_o = - R(1 + cosπ) = 0 et x_o = R(π + sinπ) + C = 0 si seulement si C = Rπ.

x = R(u + sin u) + Rπ , y = - R(1 + cos u) , u_o = - π

On obtiendra une arche de cycloïde (renversée) sur un intervalle d'amplitude 2π, donc pour u variant sur [-π,+π] :

Arche renversée de la cycloîde solution lorsque R = 1

 ➔  Le type d'arc trouvé (arc de cycloïde) correspond aux trajectoires optimales : il ne peut pas correspondre aux trajectoires les plus lentes : un arc de parabole ou d'hyperbole (comme ci-dessous en bleu) est manifestement plus lent : il suffit de choisir une pente très faible au départ. Sans parler des solutions rectilignes, ou en segments brisés, ou en arcs de cercle, expérimentés par Galilée.

Mais ce n'est pas fini !    

Parmi ces arcs de cycloïde, il nous faut maintenant chercher celui qui passe par B en jouant sur le rayon R qui contient, ne l'oublions pas, la constante arbitraire k de la formule de Beltrami.

Toute arche de cycloïde s'inscrit dans un rectangle (q) de dimensions 2πR x 2R. En prenant A en l'origine du repère, en faisant varier R, on peut tracer toutes les arches de cycloïde (y < 0, x > 0) dont le point de rebroussement est en A : elles sont homothétiques.

Choisissons R de sorte que B, d'abscisse b, soit intérieur au rectangle (q) et soit (c) la cycloïde correspondante. Il existe une unique cycloïde correspondant à un rayon r  passant par B :

si [AB) coupe (c) en M d'abscisse m, on a pour ce rayon R/r = m/b; c'est à dire : r = bR/m.

La solution est l'arc de cycloïde en rouge gras

Une autre application du calcul des variations, le Problème de Didon : »