ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Courbes algébriques planes   (dans le plan réel euclidien)   
   
types d'équation  | aspect projectif  | courbes gauches (courbes de l'espace) | fonctions algébriques| surfaces algébriques

L'étude des courbes algébriques est plus compliquée qu'il n'y parait a priori. En particulier, les courbes elliptiques, de la forme y2 = P(x) où P est un polynôme du 3ème degré n'admettant pas de zéros multiples, qui se retrouvent en arithmétique dans la résolution d'équations diophantiennes, furent -et sont encore- l'objet d'études.

Dans le langage mathématique récent, vu la généralisation du concept aux espaces projectifs de dimension quelconque, une courbe algébrique est aussi appelée variété algébrique de dimension 1. Une surface algébrique, comme la sphère, est de dimension 2, alors que la boule qu'elle enferme est de dimension 3. Une courbe (ou une surface) définie paramétriquement fait implicitement appel aux calculs vectoriel et différentiel, ainsi qu'à la trigonométrie (coordonnées paramétriques, coordonnées polaires). On entre dans le domaine plus ardu de la géométrie différentielle, des variétés différentielles, voire de la topologie.

Riemann et notion de géométrie différentielle :

La notion de courbe algébrique :   

Depuis Descartes et Fermat, à l'aube de la géométrie analytique :

Une courbe algébrique plane (le terme est de Leibniz) est un ensemble de points admettant une équation cartésienne de type polynomial f(x,y) = 0 où f est irréductible, c'est à dire n'est pas le produit de deux polynômes non triviaux (de degré au moins égal à 1).

Si la condition irréductible n'était pas exigée, on obtiendrait une courbe réunion de courbes de moindre degré et l'étude des courbes algébriques, comme leur classification, est perturbée. Par exemple y3 -x3 + x2y -xy2 + x - y = 0 peut s'écrire (x2 + y2 - 1)(y - x) = 0 : c'est dire que cette "cubique" est, dans un repère orthonormé (O,x,y), la réunion du cercle de centre O, de rayon 1 et de la droite y = x.  exercice.

   Il n'est pas dit ici que l'expression (si elle existe) de y en fonction de x est polynomial !  Cela peut être mais ce n'est alors qu'un cas particulier. Par exemple la parabole y = x2. Mais l'équation d'un cercle, comme x2 + y2 = 4 ne peut se ramener à une telle expression.

Équations algébriques :

L'étude des courbes algébriques et leur classification ont été initiées par Descartes et Newton. Au 19è siècle, avec Plücker en particulier, elles furent étudiées d'un point de vue projectif (variété algébrique de dimension 1) en introduisant les coordonnées homogènes par le biais d'une 3è variable z d'homogénéité permettant de considérer de façon naturelle des points rejetés à l'infini et simplifier leur classification.

Le degré ou l'ordre d'une telle courbe est le degré du monôme en x et y le plus élevé.

  Une famille de cubiques : x3 + y3 = m, cas particulier de courbes de Lamé :

 

                    

  Le folium de Descartes, à droite, dont une équation est : x3 + 3kxy + y3 = 0, k R, est également une cubique :

 
Une cubique élémentaire sous forme d'exercice concret

  Une courbe algébrique peut posséder plusieurs branches fermées ou non. Par exemple :

Il s'agit d'un cas particulier d'ovale de Cassini (quartique) dont l'équation générale contient deux paramètres :

(x2 + y2)2 + 2a2(y2 - x2) = k4 - a4


Prouver brièvement que la courbe algébrique d'équation y2 = x3 - x possèdent deux branches dont l'une est fermée.

Concernant l'ordre 3 (les cubiques), Newton dénombra 78 espèces (Enumeratio linearum lertii ordinis, Énumération des courbes du 3ème ordre, 1708). Mais Plücker en dénombra 219 en 1835 ! Les propriétés les plus importantes de ces courbes furent établies par Maclaurin (1720) et leur étude se poursuivit jusqu'à la fin du 19è siècle.

Sextique de Cayley :

Une importante catégorie de courbes algébriques concerne celles dont le terme de plus haut degré contient en facteur x2 + y2, c'est à dire le carré de la distance de l'origine O à un point de la courbe. On rencontre fréquemment ces courbes dans des lieux géométriques faisant intervenir des cercles.

Elles sont qualifiées de circulaires si x2 + y2 intervient au 1er degré, voire bicirculaires si x2 + y2 intervient au carré. Dans cette catégorie, on rencontre couramment les cubiques circulaires et les quartiques bicirculaires.

Dans l'interprétation projective des courbes algébriques, ces courbes passent par les points cycliques imaginaires du plan : points à l'infini (1,i,0) et (1,-i,0).

Courbes cycliques :  

Différentes représentations d'une courbe, paramétrage :

  Une courbe algébrique admet parfois une représentation cartésienne simple de la forme y = f(x) : y est explicité de façon unique en fonction de x.

  Une équation algébrique du type f(x,y) = 0 est dite implicite et peut conduire à plusieurs déterminations de y mais on parle encore d'équation cartésienne. Un exemple simple est x2 + y2 = 1 : cercle de centre 0 de rayon 1, pour lequel on a y = ±(1 - x2).

  Une courbe (du plan ou de l'espace) peut posséder une représentation paramétrique (on dit aussi paramétrée) : x = f(t) , y = g(t) (et z = h(t) dans le cas de l'espace) où t est le paramètre variant dans un intervalle ou une partie de R. On parle alors de courbe unicursale (le terme est de Cayley), du latin unus = un et cursivus, participe passé de currere = courir, pour signifier que chaque point peut être construit individuellement et rendre compte de la courbe.

Certains auteurs (mathématiciens) réservent le qualificatif d'unicursal aux représentations paramétriques rationnelles : f et g sont des fractions rationnelles du paramètre t.

Les différents types de points d'une courbe plane, les courbes simples, les courbes lisses :

Une courbe étudiée sous forme implicite f(x,y) = 0 ou paramétrée x = g(t) , y = h(t) admet un point :

En savoir plus sur les points doubles (cas implicite)  :            Cas paramétré :           Jordan


y2 = x2(x - 1)

Ci-dessus :  y2 étant positif ou nul, un point M(x,y) appartient à la courbe à condition d'avoir x = 0 ou x ≥ 1.
C'est ainsi que O(0,0) est un point isolé de cette cubique.

Coordonnées paramétriques et polaires :

Courbe régulière, courbe lisse :     

Une courbe (resp. un arc de courbe) du plan ou de l'espace est dite régulière (resp. régulier) lorsque tous ses points sont réguliers. On complète parfois cette définition en exigeant que la courbe (ou l'arc de courbe) n'admette aucun point double. Cependant, on préfère alors parler de courbe lisse ou de courbe sans singularité pour exprimer que sa représentation cartésienne ou paramétrée est au moins de classe C1 et qu'elle ne possède aucun point singulier et aucun point multiple.

Cas des courbes gauches :


Vérifier que la
strophoïde (illustrée ci-dessous), cubique d'équation cartésienne y(y2 + x2) - x2 + y2 = 0,
est régulière et admet un point double à l'origine.

Plücker et l'interprétation projective des courbes algébriques :

Genre d'une courbe plane :

Le genre d'une courbe algébrique plane a été  introduit par l'allemand Clebsch afin de faciliter leur classification : il s'agit du nombre

g = ½(n  - 1)(n  - 2) - d

où d désigne le nombre de points doubles ou multiples (la courbe repasse au moins une fois sur elle-même). Si, en un point multiple d'ordre p, les tangentes à (c) sont distinctes, alors ce point multiple équivaut à ½p(p - 1) points doubles.

Points doubles ou multiples d'une courbe algébrique :                  Genre d'une surface :            Plücker

 Pour en savoir plus :


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