ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Courbes algébriques planes   (dans le plan réel euclidien)        » Types d'équation  Singularités | Points cycliques | Courbes unicursales | Branches infinies, asymptotes | Aspect projectif            Liens analogiques : Nombres algébriques | Équations algébriques | Fonctions algébriques | Courbes elliptiques                                         Courbes gauches (courbes de l'espace) | Surfaces algébriques

L'étude des courbes algébriques est plus compliquée qu'il n'y parait a priori. En particulier, les courbes elliptiques, de la forme y² = P(x) où P est un polynôme du 3ème degré n'admettant pas de zéros multiples, qui se retrouvent en arithmétique dans la résolution d'équations diophantiennes, furent -et sont encore- l'objet d'études.

Dans le langage mathématique récent, vu la généralisation du concept aux espaces projectifs (réels ou complexes) de dimension quelconque, une courbe algébrique est aussi appelée variété algébrique de dimension 1. Une surface algébrique, comme la sphère, est de dimension 2, alors que la boule qu'elle enferme est de dimension 3. L'étude d'une courbe ou d'une surface  fait appel aux calculs vectoriel et différentiel, ainsi qu'à la trigonométrie (coordonnées paramétriques, coordonnées polaires). On entre dans le domaine plus ardu de la géométrie différentielle, des variétés différentielles et de la topologie.

Gauss et la notion de surface :  »        Riemann et notion de géométrie différentielle : »

La notion de courbe algébrique :   

Depuis Descartes et Fermat, à l'aube de la géométrie analytique :

Une courbe algébrique plane (le terme est de Leibniz) est un ensemble de points admettant une équation cartésienne de type polynomial f(x,y) = 0 où f est irréductible, c'est à dire n'est pas le produit de deux polynômes non triviaux (de degré au moins égal à 1). On parle d'équation implicite car x (resp.y) n'est pas explicité en fonction de y (resp. x).

 !   Il n'est pas dit ici que l'expression (si elle existe) de y en fonction de x est polynomial de type y = p(x) !  Cela peut être mais ce n'est alors qu'un cas particulier. Par exemple la parabole y = x². Mais l'équation d'un cercle, comme x² + y² = 4 ne peut se ramener à une telle expression.

Remarques :   

♦  Si la condition irréductible présente dans la définition n'était pas exigée, on obtiendrait une courbe réunion de courbes de moindre degré et l'étude des courbes algébriques, comme leur classification, est perturbée.

• Par exemple y³ - x³ + x²y - xy² + x - y = 0 peut s'écrire (x² + y² - 1)(y - x) = 0 : c'est dire que cette cubique est, dans un repère orthonormé (O,x,y), la réunion du cercle de centre O, de rayon 1 et de la droite y = x.

♦  Quitte à translater le repère, on peut toujours supposer que la courbe passe par l'origine, ce qui supprime une constante éventuelle (monôme de degré 0) dans l'équation et facilite l'étude de la courbe.

∗∗∗
On considère la courbe algébrique (C) d'équation x⁴ + xy³ - y⁴ + 3xy - 2 = 0.
a) Calculer les coordonnées des points d'intersection de (C) avec l'axe des abscisses. Justifier que (C) ne traverse pas l'axe des ordonnées.
b) Justifier qu'en posant X = x - 2^1/4 et Y = y, la courbe (C') obtenue passe par l'origine. Quelle est l'équation de (C') ?  ☼

♦  Noter qu'une équation en coordonnées paramétriques x = f(t), y = g(t) ou polaires r = f(θ) peut représenter une courbe algébrique, ce qui peut d'ailleurs en faciliter l'étude :

Différentes représentations d'une courbes algébriques :  »

Le degré ou l'ordre d'une courbe algébrique est le degré du monôme en x et y le plus élevé.

• Les courbes algébriques de degré 1 sont les droites.

• Les courbes algébriques de degré 2 sont les coniques (cercle compris).

• Une cubique est une courbe algébrique de degré 3, » Dioclès , Agnesi , Plücker.

• Une quartique est une courbe algébrique de degré 4, » folium , Lemniscate , ovales de Cassini

• Une quintique, courbe algébrique de degré 5 » exercice

• une sextique, courbe algébrique de degré 6, » quadrifolium , épicycloïde , néphroïde , Cayley

• une décique, courbe algébrique de degré 10, ... : la liste est infinie...

♦  Une famille de cubiques : x³ + y³ = m, cas particulier de courbes de Lamé :

♦  Le folium de Descartes, ci-dessous, dont une équation est : x³ + 3kxy + y³ = 0, k∈R, est également une cubique :

∗∗∗ 
Une cubique élémentaire sous forme d'exercice concret

♦  Une courbe algébrique peut posséder plusieurs branches fermées ou non :

• Par exemple : la courbe ci-dessous est un cas particulier d'ovale de Cassini (quartique) dont l'équation générale contient deux paramètres :
  (x² + y²)² + 2a²(y² - x²) = k⁴ - a⁴

• La courbe algébrique d'équation y³ - y = x², représentée ci-dessous, possède deux branches (composantes connexes) dont l'une est fermée.

Concernant l'ordre 3 (les cubiques), que l'on généralement ramener à la forme y² = x³ + ax + b, Newton dénombra en 78 espèces (Enumeratio linearum lertii ordinis, Énumération des courbes du 3ème ordre, 1708). Mais Plücker en dénombra 219 en 1835 ! Les propriétés les plus importantes de ces courbes furent établies par Maclaurin (1720) et leur étude se poursuivit jusqu'à la fin du 19è siècle.

Sextique de Cayley :  » 

♦  Une courbe algébrique admet parfois une représentation cartésienne simple de la forme y = f(x) : y est explicité de façon unique en fonction de x.

• La cubique d'équation implicite x³ - y³ - x² = 0 admet l'équation cartésienne y = (x³ - x²)^1/3 : racine cubique de x³ - x² ∀x réel (» étude).

♦  Une équation algébrique du type f(x,y) = 0 est dite implicite et peut conduire à plusieurs déterminations de y mais on parle encore d'équation cartésienne. Un exemple simple est x² + y² = 1 : cercle de centre 0 de rayon 1, pour lequel on a y = ± √(1 - x²).

• L'ellipse est une courbe algébrique d'équation cartésienne implicite : x²/a² + y²/b² = 1   » coniques, fonctions algébriques

♦  Une courbe (du plan ou de l'espace) peut posséder une représentation paramétrique (on dit aussi paramétrée) rationnelle : x = f(t) , y = g(t) (et z = h(t) dans le cas de l'espace) où t est le paramètre variant dans un intervalle ou une partie de R, f, g (et h) étant des fonctions rationnelles de t, c. à d. du type φ(t)/ψ(t), où φ et ψ sont des polynômes en t.

On parle alors de courbe unicursale (le terme est de Cayley), du latin unus = un et cursivus, participe passé de currere = courir, pour signifier que chaque point peut être construit individuellement et rendre compte de la courbe.

» Le grand intérêt des courbes unicursales réside en particulier dans la recherche de points à coordonnées rationnelles (entières ou fractionnaires) permettant la résolution d'équations diophantiennes. La recherche de l'existence de points à coordonnées entières sur une courbe elliptique est à la source des travaux de Y. Taniyama et A. Wiles dans la résolution du "Grand" théorème de Fermat.  Par extension, on qualifie parfois d'unicursale une représentation  paramétrique x = f(t) , y = g(t) non nécessairement rationnelle.

∗∗∗
a) Montrer que toute droite du plan est une courbe unicursale
b) Montrer que toute conique non dégénérée est unicursale. On utilisera l'équation générale de Wallis.
» Quitte à translater les axes de coordonnées, on pourra supposer que la conique passe par l'origine et on posera y = tx.

 ➔  Il est souvent possible de passer d'une représentation à une autre.

• L'ellipse x²/a² + y²/b² = 1 est une courbe algébrique unicursale (comme toutes les coniques) : on peut la définir par x = a.cos u , y = b.sin u et en donner une représentation rationnelle en utilisant le paramètre t = tan(u/2).

p1/ Toute courbe algébrique de degré n ≥ 2 dont l'équation implicite f(x,y) = 0 se décompose en g(x,y) + h(x,y) = 0 où g (resp. h) est un polynôme homogène de degré n (resp. n - 1) est unicursale.

Preuve : la courbe passe par l'origine. Pour tout x non nul, posons y = tx. f(x,tx)/x^n-1 est un polynôme de degré 1 en x. On exprime alors x comme fonction rationnelle de t : x φ(t), y = ψ(t) = tφ(t).

• La cubique définie par x³ + y³ + x² + y² = 0 vérifie les conditions de p1/. Posons y = tx et divisions par x² : pour tout x non nul : x + xt³ + 1 + t² = 0. On a ainsi l'équation paramétrée de cette cubique : x = - (1 + t²)/(1 + t³) , y = - (t + t³)/(1 + t³). N.B. l'origine est un point isolé de cette courbe : ☼

La propriété suivante est liée à la présence de points doubles (» ci-après) :

p2a/ Toute cubique admettant un point double ou de rebroussement est unicursale : elle admet donc une représentation paramétrique de type rationnel x = f(t), y = g(t).

 !   La réciproque est fausse : la cubique d'Agnesi est unicursale et n'admet pas de point double.

Plus généralement :

p2b/ Toute courbe algébrique d'ordre n admettant un point multiple d'ordre n - 1 pris comme origine est unicursale.

• La cubique définie par en coordonnées cartésiennes par x³ + y³ + x² - 4y² = 0 vérifie tant p1/ que p2a/ : elle est unicursale. On en trouvera l'étude en cliquant sur ce lien : étude de la cubique.

• La lemniscate de degré 4 est unicursale : elle admet l'origine comme point double auquel s'ajoutent les deux points cycliques.

• Voir aussi cet exemple avec point de rebroussement.

» Clebsch 

Rappelons tout d'abord que dans le cas d'une courbe étudiée sous forme implicite f(x,y) = 0, la tangente en un point, lorsqu'elle existe, a pour coefficient directeur m = - ∂f/∂x ÷ ∂f/∂y. Un vecteur directeur de la tangente (vecteur tangent) est u(- ∂f/∂y,∂f/∂x). Dans le cas paramétré x = g(t) , y = h(t), il s'agira de m = h'(t)/g'(t), un vecteur directeur de la tangente est u(f'(t),g'(t)) :

En savoir plus sur les tangentes et normales en un point d'une courbe : »

• point ordinaire également dit régulier : lorsqu'au point considéré les dérivées partielles ∂f/∂x et ∂f/∂y ne sont pas simultanément nulles (cas implicite), les fonctions dérivées g' et h' ne sont pas simultanément nulles (cas paramétré). C'est dire que la tangente au point considéré est bien défini : le vecteur dérivé est non nul.

• point stationnaire également dit singulier lorsqu'en un point de la courbe on a f(x,y) = ∂f/∂x = ∂f/∂y = 0 (cas implicite), g' = h' = 0 (cas paramétré) : la tangente en un tel point apparaît indéterminée.

Il peut s'agir :

- d'un point double : la courbe "repasse" sur elle même, comme D ci-dessous, en présentant en ce point des tangentes distinctes. Un tel point peut être triple, voire quadruple, ... : on parle alors de point multiple d'ordre 3, 4, etc. Le vecteur tangent sera porté par le premier vecteur dérivé p-ème non nul.

- d'un point de rebroussement, comme R ci-dessus, où la courbe présente une pointe et "rebrousse chemin" en présentant en ce point une même tangente qu'elle peut éventuellement traverser (1ère et 2ème espèce). En cas d'ambiguïté, le sens de variation de x et/ou y permettra de distinguer un point double à tangente unique d'un point de rebroussement. En anglais, on parle cusp (= corne) et de cuspidal curve (= courbe cuspidale, présentant une corne).

• » bifolium (degré 4) , courbe f(x,y) = x⁵ - (y - x²)² = 0 , perles de Sluze, ...

Une courbe sans point double est dite simple.

p3/ Si les termes de plus bas degré d'une courbe algébrique (c) définie implicitement sont au moins de degré 2, alors (c) admet l'origine comme point double ou de rebroussement (vu que ∂f/∂x et ∂f/∂y sont homogènes de d °≥ 1 et s'annulent donc en zéro).

En savoir plus sur les points doubles (cas implicite) : »         Cas paramétré ou polaire : »        »  Jordan

• point extremum : lorsqu'un point de coordonnées (a,b) de la courbe correspond à un minimum ou un maximum de x (resp. y) en x = a (resp. en y = b).
   

• point isolé : il s'agit d'un points de la courbe dont un voisinage au moins ne contient aucun autre point de la courbe.

Exemple : on considère (à droite) la courbe d'équation cartésienne y² = x²(x - 1). O(0,0) est un point de (c). y² étant positif ou nul, un point M(x,y) appartient à la courbe à condition d'avoir x = 0 ou x ≥ 1. Le disque de centre O de rayon r < 1 ne contient aucun point de (c) autre que O qui est donc un point isolé de cette cubique. » voir aussi cet exemple.

• point d'inflexion : point en lequel la courbe change de concavité. Concrètement, il s'agit d'un point à partir duquel le coefficient directeur des tangentes diminue (convexe → concave) ou, au contraire augmente (concave → convexe). En un tel point la courbe traverse sa tangente. Cela peut se produire en un point double.

En savoir plus sur l'inflexion : »          La notion de convexité :  »

 ➔  Le résultat suivant (» réf.11) fut prouvé par Paul Serret (1827-1898), sans parenté semble-t-il avec Alfred Serret :

p4/ Une courbe algébrique ne peut avoir ni point anguleux, ni point d'arrêt.

 i   Paul Serret (1827-1898) : Après un cursus inachevé à l'École normale supérieure, il sera professeur de mathématiques dans l'enseignement privé (selon Jean Delcourt, » réf.9), et publiera de nombreux articles (» réf.12). Il s'intéressa en particulier, comme Alfred Serret  à la courbure des courbes planes et gauches : Théorie nouvelle géométrique et mécanique des lignes à double courbure  (1860, » réf.10).

Bien que hors sujet relativement à cette page, rappelons cependant ce que sont ces points :

• point anguleux :  lorsqu'en un tel point, qui n'est pas un point multiple, la courbe présente deux tangentes distinctes.

- Dans le cas y = f(x), un cas élémentaire est y = √(x²) = | x |.
- Le folium, courbe algébrique de degré 2, d'équation implicite (x² + y²)² = ax², présente un point anguleux, mais c'est un point double...

∗∗∗
Étudier au voisinage de 0 la courbe (non algébrique) définie par y = x/(1 + e^1/x)

 

• point d'arrêt : point de discontinuité de la courbe pouvant correspondre à une limite à droite distincte de celle de gauche ou à une borne d'un intervalle de définition (comme ci-dessous, pour cette courbe non algébrique).

Courbe régulière, courbe lisse :     

Une courbe (resp. un arc de courbe) du plan ou de l'espace est dite régulière (resp. régulier) lorsque tous ses points sont réguliers. On complète parfois cette définition en exigeant que la courbe (ou l'arc de courbe) n'admette aucun point double.

Cependant, on préfère alors parler de courbe lisse ou de courbe sans singularité pour exprimer que sa représentation cartésienne ou paramétrée est au moins de classe C² (deux fois continument dérivable) et qu'elle ne possède aucun point singulier et aucun point multiple.

Cas des courbes gauches : »

Une importante catégorie de courbes algébriques concerne celles dont les termes de plus haut degré de l'équation implicite f(x,y) = 0 peuvent se factoriser par facteur x² + y², c'est à dire le carré de la distance de l'origine O à un point de la courbe. On rencontre fréquemment ces courbes dans des lieux géométriques faisant intervenir des cercles. Ces courbes sont qualifiées de circulaires si x² + y² intervient au 1er degré, voire bicirculaires si x² + y²  intervient au carré. Dans cette catégorie, on rencontre couramment les cubiques circulaires et les quartiques bicirculaires.

• La strophoïde, d'équation x(x² + y²) - a(y² - x²) = 0  est une cubique circulaire. Il en est de même de la cissoïde.

• La lemniscate de Bernoulli, d'équation (x² + y²)² - 2a²(x² - y²) = 0 est une quartique bicirculaire. Il en est de même du trifolium.

• Le quadrifolium d'équation (x² + y²)³ - a²x²y² = 0 est une sextique tricirculaire.

Dans le cas implicite f(x,y) = 0, en rendant l'équation homogène (lorsqu'elle ne l'est pas déjà !) au moyen d'une variable z d'homogénéité, on se place ainsi dans le plan projectif complexe P(C²). Cette interprétation projective des courbes algébriques, due à Plücker, facilite leur étude en évitant nombre de cas particuliers relatifs aux nombre de solutions des équations rencontrées (intersection, tangence, comportement asymptotiques), quitte à réinterpréter en termes de géométrie affine en fin d'étude.

Tout d'abord, on se débarrasse d'un terme constant éventuel dans l'équation en translatant l'origine du repère en un point judicieusement choisi de la courbe : l'origine ou un point double connu par exemple. On multiplie ensuite chaque monôme du développement polynomial de f par z, sauf ceux de plus haut degré de sorte que chaque monôme soit du même degré en x, y et z. Conformément aux coordonnées homogènes de la géométrie projective, un point de la courbe s'interprète dans le plan projectif complexe et est défini par un triplet (x, y, z) à un scalaire multiplicatif près; si z est non nul, (x/z, y/z, 1) désignera le même point à distance finie; z = 0 caractérise un point à l'infini.

• Exemple: la cubique xy² - xy + 4x - 1 = 0 deviendra xy²- xyz + 4xz² - z³ = 0, équation polynomiale en x, y, z, homogène de degré 3.

Dans ce contexte, lors de la recherche d'un point singulier, la fonction f rendue homogène, désignons la par φ, devra vérifier :

φ(x, y, z) = 0 et ∂φ/∂x = ∂φ/∂y  = ∂φ/∂z = 0

L'avantage est aussi de pouvoir utiliser la relation d'Euler pour les fonctions homogènes :

• Dans l'exemple précédent : ∂φ/∂x = y²- yz + 4z² , ∂φ/∂y = 2xy- xz , ∂φ/∂z = -xy + 8xz -3z²
  x∂φ/∂x + y∂φ/∂y + z∂φ/∂z = x(y²- yz + 4z²) + y(2xy- xz) + z(-xy + 8xz -3z²) = 3(xy²- xyz + 4xz² - z³) = 3φ(x,y,z).

Les courbes circulaires passent par les points cycliques imaginaires (appellation dues à Poncelet), nommés ombilics par Laguerre (» biogr. réf.1), à savoir les points de la droite à l'infini du plan projectif complexe vérifiant x² + y² = 0, c'est à dire y = ± ix de coordonnées homogènes (x,ix,0) et (x,-xi,0), qui représentent projectivement deux points, les ombilics du plan projectif : (1,i,0) et (1,-i,0).

Ombilics d'une surface :  »             Courbes cycliques : »

• Exemple : considérons la lemniscate x⁴ + y⁴ + 2x²y² - x²z² + y²y² = 0. Recherchons les points stationnaires. On a dans ce cas : ∂φ/∂x = 4x(x² + y²) - 2xz²  = 0 |  ∂φ/∂y = 4y(x² + y²) + 2yz² = 0 |  ∂φ/∂z = - 2z(x² - y²) = 0. Le cas fini (z = 1) conduit facilement à x = 0, y = 0. Les points stationnaires à l'infini (z = 0) conduisent à x² + y² = 0 (on rejette x = y = 0) : ce sont les ombilics du plan.

L'étude des courbes algébriques et leur classification ont été initiées par Descartes et Newton. Au 19è siècle, avec Plücker en particulier, l'introduction des coordonnées homogènes par le biais de la variable d'homogénéité permit de considérer de façon naturelle des points rejetés à l'infini, comme les points cycliques, et simplifier la classification des types de courbes en tant que variété algébrique de dimension 1.

Une courbe algébrique peut être fermée comme l'ellipse ou la astroïde ou bien posséder des branches infinies et admettre des droites asymptotes à ces branches. Deux cas élémentaires de référence, la parabole et l'hyperbole sont connus des lycéens.

Traité sur les courbes algébriques (Gabriel Cramer, 1750)

La notion générale d'asymptote :  »

Plus subtil est celui de la strophoïde illustrée ci-dessous lorsque l'équation est donnée sous forme implicite :

La courbe admet l'équation implicite y(y² + x²) - x² + y² = 0. L'origine est un point double
et la droite [y = 1] est asymptote horizontale.

♦  Équation implicite  f(x,y) = 0 :    

Dans son Introductio in Analysin infinitorum de 1748, peu avant les résultats de Cramer, Euler étudie en particulier les courbes algébriques sous la forme implicite en recherchant les conditions pour lesquelles elles peuvent admettent des branches infinies et nous enseigne ces résultats pratiques. On pourra consulter deux articles de Gérono sur le sujet (» réf.7a-7b) :

- On pourra reconnaître une asymptote "horizontale" (//Ox),  resp. "verticale" (//Oy), en annulant le coefficient des termes de plus haut degré en x, resp. en y :

• Dans le cas de la strophoïde ci-dessus, on a : y³ + y² + x²( y - 1) = 0 , on ne peut pas annuler le coefficient de y³ qui est 1... Par contre l'annulation du coefficient de x² fournit une asymptote "horizontale" d'équation y = 1.

- Pour la recherche d'une asymptote non parallèle aux axes de coordonnées, on recherche d'abord les directions asymptotiques y = mx en annulant la partie de l'équation constituée des termes de plus haut degré (» note), ce qui fournit une équation en m = y/x :

• Dans le cas de la strophoïde ci-dessus, on est amené à écrire y³ + yx² = x³(m³ + m) = 0, ce qui conduit à m  = 0, donc à une asymptote déjà trouvée, ou m² + 1 = 0. En conclusion, pas d'asymptote "oblique".

• Dans le cas du folium de Descartes x³ + y³ - 3xy = 0, on annule x³ + y³ = x³(1 + m³) = 0 conduisant à y = -x

Une fois trouvée(s) la (les) direction(s) y = mx, afin d'établir l'équation de l'asymptote éventuelle, on coupe la courbe par la droite y = mx + b en reportant dans l'équation de la courbe. L'équation aux abscisses obtenue doit voir une solution à l'infinie; si elle existe, elle sera obtenue en annulant la partie de l'équation constituée des termes de plus haut degré en x (» note).

• Dans le cas des cubiques de Lamé, équations de la forme x³ + y³ = a³, l'application des règles ci-dessus conduit tout d'abord à m = -1, puis à l'asymptote y = - x, quel que soit a.
• Dans le cas du folium de Descartes, on remplace y par - x + b dans l'équation de la courbe, ce qui conduit à x²(3b + 3) = 0 , donc à b = -1

Un théorème de Newton relatif aux asymptotes éventuelles :   

Si une courbe algébrique possède une branche infinie admettant une droite asymptote,
alors cette dernière l'est aussi pour une seconde branche.

♦  Équation paramétrée  x = f(t), y = g(t) :    

L'étude des branches infinies se traite à la manière du cas explicite y = f(x). Voir par exemple cette courbe paramétrée :

∗∗∗
Voir aussi l'étude du folium de Descartes x³ + y³ = 3xy d'équation  paramétrée x(t) = 3t/(1 + t³), y(t) = tx(t) = 3t²/(1 + t³)
Cette courbe admet également un point asymptote

♦  Équation polaire  r = f(t) :    

On peut se ramener au cas paramétré en posant x = f(t) × cos t , y = f(t) × sin t, le cas inverse pouvant s'avérer problématique (» mise en garde) ou utiliser une méthode spécifique étudiée sur la page consacrée à la spirale hyperbolique :

Le genre d'une courbe algébrique plane a été introduit par Clebsch et par Cayley suite à des travaux de Cramer afin de faciliter leur classification. Il s'agit du nombre :

g = ½(n  - 1)(n  - 2) - d

où d désigne le nombre de points points singuliers en tenant compte de à coordonnées réelles ou complexes ou à l'infini (points cycliques). Si, en un point multiple d'ordre p, les tangentes à (c) sont distinctes, alors ce point multiple équivaut à ½p(p - 1) points doubles (» réf.13).

Points doubles ou multiples dans le cas implicite :  »           Genre d'une surface :  »         »  Plücker

Note concernant le théorème d'Euler repris par Gérono (réf.7b) :    

Introduction :