ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Courbes algébriques planes   (exposé élémentaire)   
  équations algébriques , fonctions algébriques

L'étude des courbes algébriques est plus compliquée qu'il n'y parait a priori. En particulier, les courbes elliptiques, de la forme y2 = P(x) où P est un polynôme du 3ème degré n'admettant pas de zéros multiples, qui se retrouvent en arithmétique dans la résolution d'équations diophantiennes, furent -et sont encore- l'objet d'études.

Dans le langage mathématique récent, vu la généralisation du concept aux espaces projectifs de dimension quelconque, une courbe algébrique est aussi appelée variété algébrique de dimension 1. Une surface algébrique, comme la sphère, est de dimension 2, alors que la boule qu'elle enferme est de dimension 3. Une courbe (ou une surface) définie paramétriquement fait implicitement appel aux calculs vectoriel et différentiel, ainsi qu'à la trigonométrie (coordonnées paramétriques, coordonnées polaires). On entre dans le domaine plus ardu de la géométrie différentielle, des variétés différentielles, voire de la topologie.

Riemann et notion de géométrie différentielle :

Depuis Descartes et Fermat, avec l'aube de la géométrie analytique, une courbe algébrique plane (le terme est de Leibniz) est un ensemble de points admettant une équation cartésienne de type polynomial p(x,y) = 0. L'étude des courbes algébriques et leur classification ont été initiées par Descartes et Newton. Au 19è siècle, avec Plücker en particulier, elles furent étudiées d'un point de vue projectif (variété algébrique de dimension 1) en introduisant les coordonnées homogènes permettant de considérer de façon naturelle des points rejetés à l'infini et simplifier leur classification.

   Il n'est pas dit ici que l'expression (si elle existe) de y en fonction de x est polynomial !  Cela peut être mais ce n'est alors qu'un cas particulier. Par exemple la parabole y = x2. Mais l'équation d'un cercle, comme x2 + y2 = 4 ne peut se ramener à une telle expression.

Le degré ou l'ordre d'une telle courbe est le degré du monôme en x et y le plus élevé.

                   

Ci-dessus : à gauche, une famille de cubiques : x3 + y3 = m, cas particulier de courbes de Lamé. Le folium de Descartes, à droite, dont une équation est : x3 + 3kxy + y3 = 0 est également une cubique.

Concernant l'ordre 3 (les cubiques), Newton dénombra 78 espèces (Enumeratio linearum lertii ordinis, Énumération des courbes du 3ème ordre, 1708). Mais Plücker en dénombra 219 en 1835 ! Les propriétés les plus importantes de ces courbes furent établies par Maclaurin (1720) et leur étude se poursuivit jusqu'à la fin du 19è siècle.

Différentes représentations d'une courbe, paramétrage :

Une courbe algébrique admet parfois une représentation cartésienne simple de la forme y = f(x) : y est explicité de façon unique en fonction de x. À contrario, une forme se ramenant à p(x,y) = 0 est dite implicite et peut conduire à plusieurs déterminations de y mais on parle encore d'équation cartésienne. Un exemple simple est x2 + y2 = 1 : cercle de centre 0 de rayon 1, pour lequel on a y = ±(1 - x2).

Une courbe algébrique peut posséder une représentation paramétrique : x = f(t) , y = g(t). On parle alors de courbe unicursale (le terme est de Cayley), du latin unus = un et cursivus, participe passé de currere = courir, pour signifier que chaque point peut être construit individuellement et rendre compte de la courbe.

x = a.cos t , y = b.sin t

Les différents types de points d'une courbe plane :

Une courbe étudiée sous forme implicite p(x,y) = 0 ou paramétrée x = f(t) , y = g(t) admet des points :

ordinaires ou réguliers : lorsque les fonctions dérivées f ' et g' sont non simultanément nulles;

singuliers :  rebroussement (comme à gauche) ou inflexion, lorsqu'au point considéré on a p/x = p/y = 0 (cas implicite), f ' = g' = 0 (cas paramétré).

Rebroussement & inflexion :      

doubles :  la courbe "repasse" sur elle même (comme à droite), cf. alinéa suivant.

isolé : la courbe admet un point dont un voisinage ne contient aucun autre point.

Exemple à droite : y2 = x2(x - 1). Un point M(x,y) appratient à lacourbe si et seulement si y2 est positif ou nul. C'est dire x = 0 ou x 1. C'est ainsi que O est un point isolé.

Coordonnées paramétriques et polaires :

Une courbe (resp. un arc de courbe) est dite régulière (resp. régulier) lorsque tous ses points sont réguliers et qu'elle n'admet aucun point double.

Cas des courbes gauches :

Points doubles et points multiples d'une courbe algébrique :

Une courbe peut posséder des points doubles : quand elle "repasse" sur elle-même, comme au point D ci-contre. Une courbe sans point double est dite simple. Plücker a prouvé qu'une courbe algébrique (c) de degré n possède au plus :

points doubles à moins qu'elle ne soit dégénérée : si f(x,y) est décomposable en un produit de facteurs. De plus, lorsque le nombre de points doubles est effectivement d, la courbe est unicursale : elle admet une représentation paramétrique.

Exemple : dans le cas de la strophoïde, cubique d'équation x(x2 + y2) - a(y2 - x2) = 0, on a d = 1. C'est bien le cas. La formule s'avérant vérifiée, on peut même conclure que la strophoïde est unicursale. En effet : admettant l'équation polaire r = a.cos(2t)/cost, une équation paramétrique est alors x = a.cos(2t), y = a.cos(2t)tant.

points doubles d'une courbe transcendante

La courbe peut revenir plusieurs fois sur le même point : si c'est le cas p fois, on parle de point multiple d'ordre p ou de multiplicité p. Lorsqu'en un point de multiplicité p les tangentes en ce point sont distinctes, on doit, dans la formule énoncée ci-dessus, décompter p(p-1)/2 points doubles. Quand les tangentes sont confondues, la situation est ambiguë, il y a confusion des genres !

Lorsqu'en un point double les tangentes sont distinctes (les branches se croisent, comme illustré ci-dessus ou dans le folium de Descartes), on parle de noeud ou de point nodal (du latin nodus = nœud); si les tangentes sont les mêmes (les branchent se touchent, sont en contact, on parle de point tacnodal (du latin tactus, de tangere = toucher, qui a donné contact, de cum = avec, ensemble).

Genre d'une courbe plane :

On définit alors le genre (introduit par l'allemand Clebsch) d'une courbe plane, permettant leur classification : ½(n  - 1)(n  - 2) - d. Si, en un point multiple d'ordre p, les tangentes à (c) sont distinctes, alors ce point multiple équivaut à ½p(p - 1) points doubles.

 Pour en savoir plus :

Équations algébriques :

Une équation algébrique sur Q (resp. sur R) si elle est de la forme P(x) = 0 où P est un polynôme dont les coefficient sont des nombres rationnels (resp. réels ou complexes).

  On ne confondra pas les équations algébriques avec le concept de nombre algébrique, c'est à dire solution d'une équation polynomiale P(x) = 0 avec, là, des coefficients rationnels (ou entiers puisque l'on peut s'y ramener par réduction au même dénominateur).

Gauss et nombres algébriques :                Abel , Galois , Wantzel

© Serge Mehl - www.chronomath.com