ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

PASCAL Blaise, français, 1623-1662         
      
» Principe d'induction : raisonnement par récurrence | Coefficients du binôme : calcul en ligne des Cnp et Anp | La cycloïde

Philosophe de renom, auteur des célèbres Pensées, mathématicien et physicien. Sa mère mourut alors qu'il n'avait que 3ans; il fut élevé et instruit par son père Étienne Pascal, comptable et mathématicien reconnu (1588-1651) de l'époque (celle de Mersenne), à qui l'on doit l'étude du limaçon portant son nom, en fait une conchoïde de cercle.

A 12 ans, Blaise découvrait et démontrait des théorèmes classiques de géométrie euclidienne. A 16 ans, il écrivait, en latin, un Essay pour les coniques (» réf.1) inspiré des travaux de Desargues.

A 19 ans (1642), Pascal mit au point et fit construire, en plusieurs exemplaires, une machine à calculer, qui fut ultérieurement baptisée Pascaline, que l'on peut admirer à Clermont-Ferrand, sa ville natale, et qu'il présenta à la reine Christine de Suède par ces mots (» réf.2) :

"Cet ouvrage, Madame, est une machine pour faire les règles
d'arithmétique sans plume et sans jetons
"

Cette machine, quoique très astucieuse, était cependant limitée aux additions et soustractions et n'eut pas le succès escompté par le jeune inventeur.

Sa principale contribution en physique porte sur l'hydrostatique et l'étude de la pression atmosphérique (Le pascal est une unité de pression correspondant à 1 newton par mètre carré) suite aux découvertes et travaux de Torricelli.

Pascal eut une santé fragile. A la mort de son père (1651), il se retire quelques temps du monde scientifique alors que sa sœur entre au couvent de Port-Royal où il s'isolera aussi (1654) suite à une révélation mystique, tout en poursuivant son œuvre scientifique et philosophico-religieuse (apologie du jansénisme s'opposant aux jésuites, les lettres Provinciales).

Outre ses brillants travaux en calcul infinitésimal et en géométrie, Pascal sera un pionnier dans l'analyse combinatoire pour la résolution de problèmes de dénombrement, et dans le calcul des probabilités qu'il introduisit avec Fermat (1654) en étudiant des problèmes de jeux et d'espérance de gain. Mais ce sera l'astronome et physicien hollandais Christiann Huygens qui, trois ans plus tard (1657), comprenant tout l'intérêt du sujet dans ses travaux en mécanique céleste, théorisera cette nouvelle branche des mathématiques.

L'avènement de l'analyse combinatoire, le triangle arithmétique :

Pascal expose le développement du binôme (a + b)n et la façon de calculer, par un algorithme simple et élégant, les coefficients associés à chaque terme apbn-p obtenus par produit en combinant convenablement les parenthèses : c'est le célèbre traité du triangle arithmétique (» réf.3) qui ne fut édité à Paris qu'en 1665, donc à titre posthume, par Guillaume Desprez.

n\p
0
1
2
3
4
5
6
7
8

9

10

11

12

0
1
       
1
1
1
       
2
1
2
1
       
3
1
3
3
1
       
4
1
4
6
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1
       
5
1
5
10
10
5
1
       
6
1
6
15
20
15
6
1
       
7
1
7
21
35
35
21
7
1
       
8
1
8
28
56
70
56
28
8
1
       

9

1 9 36 84 126 126 84 36 9 1      

10

1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1    
11 1 11 55 165 330 462 462 330 165 55 11 1  
12 1 12 66 220 495 792 924 792 495 220 66 12 1

L'algorithme était cependant déjà connu en Europe depuis une dizaine d'années par les échanges fructueux sur le sujet entre Pascal et Fermat. Mais en fait, et comme souvent dans l'histoire des sciences, on attribue plus ou moins injustement à l'un (mal informé ou peu scrupuleux...) ce que d'autres avaient découvert précédemment. On pourra consulter la partie historique de la page consacrée au triangle arithmétique où il s'avère que ce fameux "triangle" date, du 11è siècle et peut-être moins... 

Les coefficients cherchés des apbn-p furent souvent notés , C comme combinaison. Ils désignent donc le nombre façons de choisir p éléments parmi n éléments distincts (p = 0,1,...n), aucun ordre n'intervenant dans ce choix.

On rencontre désormais le plus souvent la notation d'Euler pour désigner les combinaisons et on a la formule suivante :



Combien y a-t-il de pièces dans le bon vieux jeu de dominos. Rappelons qu'un domino est une petite plaquette portant 2 numéros de 0 à 6 représentés par des points, sauf le zéro (blanc). Un domino peut comporter 2 numéros identiques, on dit qu'il est double.
Réponse : distinguer double ou non :   7 + C72 = 7 + 21 = 28.

   Si l'ordre des éléments intervient dans le choix des p objets, on parle d'arrangement ou  de p-uplet (généralisation de triplet, quadruplet, ...) : il s'agit de distinguer par exemple entre {a,b,c}, ensemble de 3 éléments où l'ordre d'écriture n'intervient pas et le triplet (a,b,c) dont la permutation des éléments fournit 3! = 6 triplets distincts. Il y a alors n!/(n - p)! tels arrangements.

Mais, trêve de discours, étudions le fameux triangle arithmétique, source de l'analyse combinatoire :

Analyse combinatoire, triangle arithmétique, exercices : »

                  

Principe d'induction de Pascal : le raisonnement par récurrence :

C'est dans son traité sur le triangle arithmétique (1654) que Pascal énonce pour la première fois dans le cadre de l'arithmétique, sans le nommer, le principe du raisonnement par récurrence. Également nommé, en lien avec la philosophie et les sciences expérimentales, raisonnement par induction (du latin inductio = action de mener, de conduire la pensée), il fut prôné en logique mathématique par Peano (1889), faisant l'objet du 5ème axiome de sa construction de l'ensemble des entiers naturels. Il sera adopté par Poincaré (1902) et les intuitionnistes (cas particulier → cas général, effet → cause). Ce principe, s'oppose au raisonnement déductif (cas général → cas particulier, cause → effet) : syllogisme cher à Aristote

 !  Le mathématicien italien Francesco Maurolico, alias Franciscus Maurolycus (1494-1575), est en fait considéré comme le véritable "inventeur" du raisonnement par induction. Le principe pourrait même remonter à la charnière des 10è et 11è siècles dans les travaux du mathématicien et architecte arabe Al-Karaji établi à Bagdad à qui l'on doit un triangle arithmétique en tout point semblable à celui de Pascal.

   Le terme induction pour désigner un énoncé mathématique (assertion) fondé sur sa véracité dans un certain nombre de cas particuliers, mais dénué de preuve, fut autrefois utilisé mais on parle plutôt aujourd'hui de conjecture.

Soit Pn une propriété dépendant de l'entier n et vérifiant les deux propriétés ci-dessous :

1. Pk est vraie pour un entier k;
2. Pour tout n ≥ k, la validité de Pn implique celle de Pn+1 (
hérédité, selon une terminologie de Russel)

Alors Pn est vraie pour tout n ≥ k.

Exemple : soit Pn la proposition "3 divise n3 - n". Supposons Pn est vrai pour une valeur quelconque de n.

(n + 1)3 - (n + 1) = n3 + 3n2 + 3n + 1 - n - 1 = n3 - n + 3(n + n2)

Comme Pn est supposé vraie, 3 divise n3 - n et aussi bien sûr 3(n + n2). Ainsi, la véracité de Pn implique celle de Pn+1. Or Po est manifestement vraie; par suite Pn est vraie pour tout n de N.

 !  La propriété doit être établie pour au moins une valeur de n :

Récursion et récurrence : »

Le calcul des probabilités et la naissance de la théorie des jeux :

L'espérance mathématique de gain est introduite par Pascal dans les applications du Triangle arithmétique : comme on peut lire ci-dessus, le joueur est "en droit d'espérer de la fortune" (mais on peut tout perdre : d'où l'expression avoir mauvaise fortune...).

En termes actuels, dans le cas de gains possibles xi de probabilité d'apparition pi, il s'agit du nombre :

E = Σpixi

L'espérance mathématique de gain est donc la moyenne pondérée des xi au moyen de leurs probabilités respectives. En statistique, une notation pratique de la moyenne d'une série X = {x1,  x2, ..., xn} pondérée par leurs fréquences respectives est X.

Cette notion semble être la première introduction des mathématiques dans un problème de décision :

face à une situation aléatoire, la meilleure stratégie est celle dont l'espérance mathématique de gain est maximale.

Exemple 1 : Au lancer d'un dé (dont les faces sont numérotées de 1 à 6), on mise 1 euro et il est associé un gain de 1 euro si le 1 ou le 2 apparaît, 5 euros si le 6 apparaît,  un gain nul si le 5 sort et une perte de 1 euro pour les autres cas. La mise n'est pas récupérée. Quelle est l'espérance mathématique de gain ?  Rép. : ici.

Exemple 2  : Joueriez-vous à ce jeu ? lancez un dé; si un multiple de 3 sort, vous gagniez 10 € (gain = + 10) sinon vous perdez 5 € (gain = -5). Rép. : la probabilité de voir sortir un multiple de 3 est 1/3; l'événement contraire a donc une probabilité égale à 2/3. Par suite, votre espérance mathématique de gain est (1/3) × 10 - 2/3) × 5 = 0 : on dit que le jeu est équitable. A vous de jouer...

Espérance mathématique et variance selon Huygens : »              Recherche opérationnelle et théorie des jeux : »

   Ce concept d'espérance de gain n'est en fait pas évident et peut aboutir à des considérations étonnantes ou cohabitent mathématique et psychologie. Le dilemme ci-dessus n'est rien eu égard au suivant :

Paradoxe de Saint-Pétersbourg : »

Quelques grands spécialistes des probabilités cités dans Chronomath :
» De Moivre , Bernoulli Jacques , Huygens , Mayer, Laplace , Gauss, Poisson , Bayes , Bertrand , Bienaymé , Tchebychev , Pearson
Galton , Student , Fisher , Levy , Markov , Kolmogorov (axiomatisation) , FortetMeyer, ...

Loi de Pascal, également appelée loi géométrique :

Cette loi s'applique dans la répétition d'épreuves de Bernoulli se soldant par un succès de probabilité p 0 < p < 1) ou par un échec (de probabilité 1 - p), identiques et indépendantes les unes des autres. On s'intéresse à l'obtention d'un succès à au k-ème essai (k ≥ 1) :

On dit qu'une variable aléatoire X à valeurs dans N suit une loi de Pascal de paramètre p (0 < p < 1)
pour signifier que la probabilité pk de l'événement {X = k}, k ≥ 1, est : pk = p(1 - p)k-1
.


a/ Justifier que les pk sont en progression géométrique de raison 1 - p (d'où l'appellation de la loi) .
b/ Montrer que l'espérance mathématique de cette loi est 1/p et sa variance 1/p2.
c/ Vous essayez, tard dans la nuit et dans l'obscurité, d'ouvrir une serrure au moyen d'un trousseau de 5 clés, sans porter attention, car vous êtes un peu fatigué (ou un peu éméché...) à chaque clé essayée. Sachant qu'une seule convient, quelle est la probabilité d'utiliser la bonne clé au n-ème essai.
Rép : il s'agit d'une loi de Pascal de paramètre p = 1/5. La probabilité cherchée est (4/5)n-1 × (1/5) = 4n-1/5n.

Fonction de répartition :  

La fonction de répartition F de cette loi est aisée à calculer. Posons q = 1 - p :

F(k)  = P(X ≤ k) = P(X = 1) + P(X = 2) + ... + P(X = k) = p + pq + pq2 +... + pqk-1 = p(1 + q + q2 + ... + qk-1). On reconnaît dans la parenthèse la somme des éléments d'une progression géométrique de n termes, de premier terme 1. On en déduit :

F(n) = p (1 - qk)/(1 - q) = 1 - qk = 1 - (1 - p)k

Lorsque k tend vers l'infini, on obtient lim F(k) = 1 puisque 0 < 1 - p < 1. Ce qui est conforme au résultat général concernant les fonctions de répartition. C'est dire ici, que quitte à répéter longtemps l'expérience, on finira par gagner...

Espérance mathématique (moyenne) :   

L'espérance E(X) de la loi de Pascal est la somme des nombres k × P(X = k), k variant dans N de 1 à l'infini :

E(X) = Σ k × pqk-1 =  pΣ k × qk-1

Vu que l'on a 0 < q < 1, cette somme apparaît comme série dérivée de la série de puissances (série entière) Σ qk, de somme 1/(1 - q) = 1/p. Selon un résultat sur la dérivation terme à terme d'une série entière convergente, on a :

Σ k × qk-1 = [1/(1 - q)]' = 1/(1 - q)2 = 1/p2. D'où : E(X) = 1/p


Où l'on montre (exo4), sans dérivation terme, à terme que Σ n × qn-1 = 1/(1 - x)2

Variance :   

La variance V(X) de la loi de Pascal est E(X2) - [E(X)]2, somme des nombres k2 × P(X = k) diminuée de 1/p2. De nouveau par dérivation terme à terme, on a :

[1/(1 - q)2]' = 2/(1 - q)3 = Σ k(k - 1) × qk-2 = Σ k2 × qk-2 - Σ k × qk-2 = Σ k2 × qk-2 - Σ k × qk-2 = Σ k2 × qk-2 - (1/q) × Σ k × qk-1

Donc E(X2) = pΣ k2 × qk-1 - 1/p2 = pqΣ k2 × qk-2 = pq[2/(1 - q)3 + (1/q)Σ k × qk-1)] = pq[2/(1 - q)3 + (1/q)(1/p2)] = (2 - p)/p2. Et finalement :

V(X) = E(X2) - 1/p2 = q/p2

La loi hypergéométrique : »          La loi exponentielle : »


Trois exercices de Dénombrement et probabilités (niveau Bac S/ES), Autres exercices de proba dans ChronoMath  

La géométrie analytique avec l'étude de la cycloïde (appelée roulette à l'époque, 1658) :

La géométrie analytique, c'est à dire une géométrie  utilisant le calcul numérique au moyen des propriétés métriques métriques des figures du plan ou de l'espace apparaît avec Fermat et Pascal et s'oppose a priori au raisonnement purement géométrique : la géométrie dite pure.

A priori seulement, car n'oublions pas que la géométrie a de tout temps fait appel au numérique : penser à la mesure du cercle et du nombre pi, à Pythagore et son célèbre théorème ou encore les célèbres problèmes de la duplication du cube ou de la trisection de l'angle. C'est cependant avec Descartes que la géométrie analytique deviendra une branche à part entière des mathématiques.

Selon Florian Cajori, historien des mathématiques (1859-1930), le concept fondamental de coordonnées remonte à Leibniz vers 1690 dans des correspondances avec les Bernoulli, mais le terme n'apparaîtra que dans l'Encyclopédie de d'Alembert (1754) pour un usage général dans la littérature mathématique. Pascal utilisa le terme d'ordonnée (1658). Quant à l'abscisse (abscissa linea, du latin abscissus = découpé, linea = ligne; en anglais : abscissa), utilisée dès 1639 (Wallis ?) et par Newton (1686), on la rencontrera plus tard pour un usage définitif (1694) dans le Dictionnaire des Arts et des Sciences de Thomas Corneille (frère de Pierre, le célèbre poète dramatique français).

   Dans l'espace (3 dimensions), un point est repéré par une coordonnée supplémentaire sa cote, généralement notée z.

Par son usage de la méthode des indivisibles, introduite au début du siècle par Cavalieri, où il introduit, comme Wallis en Angleterre, l'usage des suites et des séries numériques au détriment de l'aspect géométrique, Pascal annonce le calcul infinitésimal, aussi appelé différentiel et intégral.

C'est ainsi qu'il étudia la roulette, appelée aujourd'hui cycloïde (ci-dessous) dont il précisa les tangentes. Cette courbe correspond à la trajectoire décrite par un point d'une cercle (cerceau) roulant sans glisser sur une droite. Christopher Wren en calculera la longueur.

Étude de la cycloïde : »

Paradoxe des deux roues d'Aristote :      

Pascal résolut alors le paradoxe des deux roues d'Aristote (également cité par Galilée) : une roue de rayon r < R est fixée concentriquement à une roue de rayon R.

Lorsque la grande roue fait un tour complet, il en est de même de la plus petite. En conséquence, tous les cercles ont même circonférence! L'étude de la cycloïde explique ce paradoxe :

» Barrow
Théorème de Pascal ou hexagone mystique :

Si un hexagone est inscrit dans une conique (cercle dans la figure ci-dessous), les trois points d'intersection J, K, L des côtés opposés c1 et c4, c2 et c5, c3 et c6 sont alignés (droite en pointillés).

C'est plus exactement un théorème de géométrie projective, dual du théorème de Brianchon. La preuve de Pascal est aujourd'hui perdue, mais Leibniz en avait eu connaissance. Il utilisa sans doute le théorème de Ménélaüs et la puissance d'un point par rapport à un cercle.

   Le même théorème illustré dans le cas de l'ellipse : la figure est générée au moyen du logiciel de géométrie dynamique Cabri Géomètre, dans sa version CabriJava pour Internet :


Si votre navigateur accepte les applets Java :
Vous pouvez déplacer les points A à F sur la conique. La droite de Pascal est en bleu foncé gras.
En déplaçant (en douceur...) les points
a et b, vous modifierez la conique qui a ici été définie par 5 points :
Figure CabriJava.class : Utiliser Microsoft Internet Explorer en activant Java

Théorème de Pappus : »           Les coniques : »


    Pour en savoir plus :

  1. Essay pour les coniques :
    a/ sur Gallica :
    - http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/btv1b86262279/f5.image.r=Essay pour les coniques, Pascal
    - http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k6439197f/f17.image.r=Essay pour les coniques, Pascal
    b/ sur Google Livres : https://books.google.fr/books?id=7B0hCwAAQBAJ

  2. Machine arithmétique, lettre au chancelier Séguier (1645) :
    http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k6439197f/f23.image.r=Essay pour les coniques, Pascal

  3. Traité du Triangle Arithmétique sur Google Livres : https://books.google.fr/books?id=UqgUAAAAQAAJ


Viviani   de Sluse
© Serge Mehl - www.chronomath.com