ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

PASCAL Blaise, français, 1623-1662                        
       
    Jean de La Fontaine, fabuliste français, a 2 ans           Calcul en ligne des Cnp et Anp

Philosophe de renom, auteur des célèbres Pensées, mathématicien et physicien. Sa mère mourut alors qu'il n'avait que 3ans; il fut élevé et instruit par son père Étienne Pascal, mathématicien reconnu (1588-1651) de l'époque (celle de Mersenne), à qui l'on doit l'étude du limaçon portant son nom, en fait une conchoïde de cercle.

A 12 ans, Blaise découvrait et démontrait des théorèmes classiques de géométrie euclidienne. A 16 ans, il écrivait, en latin, un Essay pour les coniques inspiré des travaux de Desargues.

A 19 ans (1642), Pascal mit au point et fit construire, en plusieurs exemplaires, une machine à calculer que l'on peut admirer à Clermont-Ferrand, sa ville natale, et qu'il présenta à la reine Christine de Suède par ces mots : "Cet ouvrage, Madame, est une machine pour faire les règles d'arithmétique sans plume et sans jetons".

Sa principale contribution en physique porte sur l'hydrostatique et l'étude de la pression atmosphérique (Le pascal est une unité de pression correspondant à 1 newton par mètre carré) suite aux découvertes et travaux de Torricelli.

Pascal eut une santé fragile. A la mort de son père (1651), il se retire quelques temps du monde scientifique alors que sa sœur entre au couvent de Port-Royal où il s'isolera aussi (1654) suite à une révélation mystique, tout en poursuivant son œuvre scientifique et philosophico-religieuse (apologie du jansénisme s'opposant aux jésuites, les lettres Provinciales).

Outre ses brillants travaux en calcul infinitésimal et en géométrie, Pascal sera un pionnier dans l'analyse combinatoire pour la résolution de problèmes de dénombrement, et dans le calcul des probabilités qu'il introduisit avec Fermat (1654) en étudiant des problèmes de jeux et d'espérance de gain.

L'avènement de l'analyse combinatoire, le triangle arithmétique :

Pascal expose le développement du binôme (a + b)n et la façon de calculer, par un algorithme simple et élégant, les coefficients associés à chaque terme apbn-p obtenus par produit en combinant convenablement les parenthèses : c'est le célèbre triangle arithmétique. Le traité du Triangle arithmétique, ne fut édité à Paris qu'en 1665, donc à titre posthume, par Guillaume Desprez. Mais il était déjà connu depuis une dizaine d'années par les échanges fructueux sur le sujet entre Pascal et Fermat.  

Les coefficients cherchés des apbn-p furent souvent notés , C comme combinaison. Ils désignent donc le nombre façons de choisir p éléments parmi n éléments distincts (p = 0,1,...n), aucun ordre n'intervenant dans ce choix.

On rencontre désormais le plus souvent la notation d'Euler pour désigner les combinaisons et on a la formule suivante :



Combien y a-t-il de pièces dans le bon vieux jeu de dominos. Rappelons qu'un domino est une petite plaquette portant 2 numéros de 0 à 6 représentés par des points, sauf le zéro (blanc). Un domino peut comporter 2 numéros identiques, on dit qu'il est double.
Réponse : distinguer double ou non   7 + C72 = 28.

Si l'ordre des éléments intervient dans le choix des p objets, on parle d'arrangement ou  de p-uplet (généralisation de triplet, quadruplet, ...) : il s'agit de distinguer par exemple entre {a,b,c}, ensemble de 3 éléments où l'ordre d'écriture n'intervient pas et le triplet (a,b,c) dont la permutation des éléments fournit 3! = 6 triplets distincts. Il y a alors n!/(n - p)! tels arrangements.

Mais, trêve de discours, étudions le fameux triangle arithmétique, source de l'analyse combinatoire :

Le triangle arithmétique, notions fondamentales de l'analyse combinatoire, exercices :

                  
 

Principe d'induction de Pascal : le raisonnement par récurrence :

C'est dans son traité sur le triangle arithmétique (1654) que Pascal énonce pour la première fois le principe du raisonnement par induction, forme de raisonnement inductif prôné en logique mathématique par Poincaré et les intuitionnistes (cas particulier cas général, effet cause), également appelé raisonnement par récurrence (1902, Poincaré) par opposition au raisonnement déductif (cas général cas particulier, cause effet) : syllogisme cher à Aristote.

Un énoncé mathématique (assertion) dénué de preuve, basé sur sa véracité dans un certain nombre de cas particuliers peut être qualifié d'induction. On parle plutôt aujourd'hui de conjecture.

Soit Pn une propriété dépendant de l'entier n. Si Pk est vraie pour l'entier k et si pour tout n k, la validité (véracité) de Pn implique celle de Pn+1 (hérédité), alors Pn est vraie pour tout n k.

Exemple : soit Pn la proposition "3 divise n3 - n". Supposons Pn est vrai pour une valeur quelconque de n.

(n + 1)3 - (n + 1) = n3 + 3n2 + 3n + 1 - n - 1 = n3 - n + 3(n + n2)

Comme Pn est supposé vraie, 3 divise n3 - n et aussi bien sûr 3(n + n2). Ainsi, la véracité de Pn implique celle de Pn+1. Or Po est manifestement vraie; par suite Pn est vraie pour tout n de N.

 La propriété doit évidemment être établie pour au moins une valeur de n : par exemple, on peut vérifier que la propriété :

Pn = « 3 divise 4n + 1 »

est héréditaire (selon une terminologie de Russel) et... toujours fausse !

Récursion et récurrence :

Le calcul des probabilités et la naissance de la théorie des jeux :

L'espérance mathématique de gain est introduite par Pascal dans les applications du Triangle arithmétique. En termes actuels, dans le cas de gains possibles xi de probabilité d'apparition pi, il s'agit du nombre :

E = Σpixi

L'espérance mathématique de gain est donc la moyenne pondérée des xi au moyen de leurs probabilités respectives. Cette notion semble être la première introduction des mathématiques dans un problème de décision : face à une situation aléatoire, la meilleure stratégie est celle dont l'espérance mathématique de gain est maximale.

Exemple 1 : Au lancer d'un dé (dont les faces sont numérotées de 1 à 6), on mise 1 euro et il est associé un gain de 1 euro si le 1 ou le 2 apparaît, 5 euros si le 6 apparaît,  un gain nul si le 5 sort et une perte de 1 euro pour les autres cas. La mise n'est pas récupérée. Quelle est l'espérance mathématique de gain ?  Rép. : ici.

Exemple 2  : Joueriez-vous à ce jeu ? lancez un dé; si un multiple de 3 sort, vous gagniez 10 € (gain = + 10) sinon vous perdez 5 € (gain = -5). Rép. : la probabilité de voir sortir un multiple de 3 est 1/3; l'événement contraire a donc une probabilité égale à 2/3. Par suite, votre espérance mathématique de gain est (1/3) x 10 - 2/3) x 5 = 0 : on dit que le jeu est équitable. A vous de jouer...

Espérance mathématique et variance selon Huygens :              Recherche opérationnelle et théorie des jeux :

Ce concept d'espérance de gain n'est en fait pas évident et peut aboutir à des considérations étonnantes ou cohabitent mathématique et psychologie. Le dilemme ci-dessus n'est rien eu égard au suivant :

Paradoxe de Saint-Pétersbourg :


Quelques spécialistes des probabilités cités dans Chronomath : De Moivre, Bernoulli Jacques, Huygens , Mayer, Laplace , Gauss, Poisson , Bayes , Bertrand , Bienaymé, Tchebychev, Levy , Markov , Kolmogorov, FortetMeyer, ...


Loi de Pascal, également appelée loi géométrique :

Soit p un réel (0 < p < 1); une variable aléatoire X à valeurs dans N suit une loi de Pascal de paramètre p si la probabilité pk de l'événement {X = k} est

pk = p(1 - p)k-1

Cette loi s'applique dans la répétition d'épreuves de Bernoulli (se soldant par un succès de probabilité p ou par un échec de probabilité 1 - p) identiques et indépendantes les unes des autres.

a/ Justifier que les pk sont en progression géométrique de raison 1 - p (d'où l'appellation de la loi) .
b/ Montrer que l'espérance mathématique de cette loi est 1/p et sa variance 1/p2.

c/ Vous essayez, tard dans la nuit et dans l'obscurité, d'ouvrir une serrure au moyen d'un trousseau de 5 clés, sans porter attention, car vous êtes un peu fatigué (ou un peu éméché...) à chaque clé essayée. Sachant qu'une seule convient, quelle est la probabilité d'utiliser la bonne clé au n-ème essai.
Rép : il s'agit d'une loi de Pascal de paramètre p = 1/5. La probabilité cherchée est (4/5)n-1 x (1/5) = 4n-1/5n

La loi hypergéométrique :                La loi exponentielle :


Trois exercices de Dénombrement et probabilités (niveau Bac S/ES), Autres exercices de proba dans ChronoMath
 
La géométrie analytique avec l'étude de la cycloïde (appelée roulette à l'époque, 1658) :

La géométrie analytique, c'est à dire une géométrie  utilisant le calcul numérique au moyen des propriétés métriques métriques des figures du plan ou de l'espace apparaît avec Fermat et Pascal et s'oppose a priori au raisonnement purement géométrique : la géométrie dite pure.

A priori seulement, car n'oublions pas que la géométrie a de tout temps fait appel au numérique : penser à la mesure du cercle et du nombre pi, à Pythagore et son célèbre théorème ou encore les célèbres problèmes de la duplication du cube ou de la trisection de l'angle. C'est cependant avec Descartes que la géométrie analytique deviendra une branche à part entière des mathématiques.

Le concept fondamental de coordonnées remonte sans doute à Léonard de Vinci, mais le terme n'apparaîtra que dans l'Encyclopédie de d'Alembert (1754).

Pascal utilisa le terme d'ordonnée (1658). Quant à l'abscisse (abscissa linea, du latin abscissus = découpé, linea = ligne; en anglais : abscissa), utilisée dès 1639 (Wallis ?) et par Newton (1686), on la rencontrera plus tard pour un usage définitif (1694) dans le Dictionnaire des Arts et des Sciences de Thomas Corneille (frère de Pierre, le célèbre poète dramatique français).

Rappelons que, dans l'espace (3 dimensions), un point est repéré par une coordonnée supplémentaire sa cote, généralement notée z.

Par son usage de la méthode des indivisibles, introduite au début du siècle par Cavalieri, où il introduit, comme Wallis en Angleterre, l'usage des suites et des séries numériques au détriment de l'aspect géométrique, Pascal annonce le calcul infinitésimal, aussi appelé différentiel et intégral.

C'est ainsi qu'il étudia la roulette, appelée aujourd'hui cycloïde (ci-dessous) dont il précisa les tangentes. Cette courbe correspond à la trajectoire décrite par un point d'une cercle (cerceau) roulant sans glisser sur une droite. Christopher Wren en calculera la longueur.

Étude de la cycloïde : 

Paradoxe des deux roues d'Aristote :      

Pascal résolut alors le paradoxe des deux roues d'Aristote (également cité par Galilée) : une roue de rayon r < R est fixée concentriquement à une roue de rayon R.

Lorsque la grande roue fait un tour complet, il en est de même de la plus petite. En conséquence, tous les cercles ont même circonférence! L'étude de la cycloïde explique ce paradoxe :

Barrow
 
Théorème de Pascal ou hexagone mystique :

Si un hexagone est inscrit dans une conique (cercle dans la figure ci-dessous), les trois points d'intersection J, K, L des côtés opposés c1 et c4, c2 et c5, c3 et c6 sont alignés (droite en pointillés).

C'est plus exactement un théorème de géométrie projective, dual du théorème de Brianchon. La preuve par Pascal de ce théorème est aujourd'hui perdue, mais Leibniz en avait eu connaissance. Il utilisa sans doute le théorème de Ménélaüs et la puissance d'un point par rapport à un cercle.


Ci-dessus, vous pouvez déplacer les points A à F sur la conique. La droite de Pascal est en bleu foncé gras.
En déplaçant les points
a et b, vous modifierez la conique qui a ici été définie par 5 points :

Théorème de Pappus :                              Les coniques :


Viviani   de Sluse
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