ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

PASCAL Blaise, français, 1623-1662                 » Principe d'induction : raisonnement par récurrence | Coefficients du binôme : calcul en ligne des Cnp et Anp | La cycloïde

Philosophe de renom, auteur des célèbres Pensées, mathématicien et physicien. Sa mère mourut alors qu'il n'avait que 3ans; il fut élevé et instruit par son père Étienne Pascal, comptable et mathématicien reconnu (1588-1651) de l'époque (celle de Mersenne), à qui l'on doit l'étude du limaçon portant son nom, en fait une conchoïde de cercle.

A 12 ans, Blaise découvrait et démontrait des théorèmes classiques de géométrie euclidienne. A 16 ans, il écrivait, en latin, un Essay pour les coniques (» réf.1) inspiré des travaux de Desargues.

A 19 ans (1642), Pascal mit au point et fit construire, en plusieurs exemplaires, une machine à calculer, qui fut ultérieurement baptisée Pascaline, que l'on peut admirer à Clermont-Ferrand, sa ville natale, et qu'il présenta à la reine Christine de Suède par ces mots (» réf.2) :

"Cet ouvrage, Madame, est une machine pour faire les règles
d'arithmétique sans plume et sans jetons"

Cette machine, quoique très astucieuse, était cependant limitée aux additions et soustractions et n'eut pas le succès escompté par le jeune inventeur.

Sa principale contribution en physique porte sur l'hydrostatique et l'étude de la pression atmosphérique (Le pascal est une unité de pression correspondant à 1 newton par mètre carré) suite aux découvertes et travaux de Torricelli.

Pascal eut une santé fragile. A la mort de son père (1651), il se retire quelques temps du monde scientifique alors que sa sœur entre au couvent de Port-Royal où il s'isolera aussi (1654) suite à une révélation mystique, tout en poursuivant son œuvre scientifique et philosophico-religieuse (apologie du jansénisme s'opposant aux jésuites, les lettres Provinciales). Ce grand mathématicien rt philosophe français meurt en 1662, seulement âgé de 39 ans.

Outre ses brillants travaux en calcul infinitésimal et en géométrie, Pascal sera un pionnier dans l'analyse combinatoire pour la résolution de problèmes de dénombrement, et dans le calcul des probabilités qu'il introduisit avec Fermat (1654) en étudiant des problèmes de jeux et d'espérance de gain. Mais ce sera l'astronome et physicien hollandais Christiann Huygens qui, trois ans plus tard (1657), comprenant tout l'intérêt du sujet dans ses travaux en mécanique céleste, théorisera cette nouvelle branche des mathématiques.

L'avènement de l'analyse combinatoire, le triangle arithmétique :

Pascal expose le développement du binôme (a + b)ⁿ et la façon de calculer, par un algorithme simple et élégant, les coefficients associés à chaque terme a^pb^n-p obtenus par produit en combinant convenablement les parenthèses : c'est le célèbre traité du triangle arithmétique (» réf.3) qui ne fut édité à Paris qu'en 1665, donc à titre posthume, par Guillaume Desprez.

L'algorithme était cependant déjà connu en Europe depuis une dizaine d'années par les échanges fructueux sur le sujet entre Pascal et Fermat. Mais en fait, et comme souvent dans l'histoire des sciences, on attribue plus ou moins injustement à l'un (mal informé ou peu scrupuleux...) ce que d'autres avaient découvert précédemment. On pourra consulter la partie historique de la page consacrée au triangle arithmétique où il s'avère que ce fameux "triangle" date, du 11è siècle et peut-être moins... 

∗∗∗

Combien y a-t-il de pièces dans le bon vieux jeu de dominos. Rappelons qu'un domino est une petite plaquette portant 2 numéros de 0 à 6 représentés par des points, sauf le zéro (blanc). Un domino peut comporter 2 numéros identiques, on dit qu'il est double.
Réponse : distinguer double ou non :   7 + C₇² = 7 + 21 = 28.

 ➔  Si l'ordre des éléments intervient dans le choix des p objets, on parle d'arrangement ou  de p-uplet (généralisation de triplet, quadruplet, ...) : il s'agit de distinguer par exemple entre {a,b,c}, ensemble de 3 éléments où l'ordre d'écriture n'intervient pas et le triplet (a,b,c) dont la permutation des éléments fournit 3! = 6 triplets distincts. Il y a alors n!/(n - p)! tels arrangements.

Mais, trêve de discours, étudions le fameux triangle arithmétique, source de l'analyse combinatoire :

C'est dans son traité sur le triangle arithmétique (1654) que Pascal énonce pour la première fois dans le cadre de l'arithmétique, sans le nommer, le principe du raisonnement par récurrence. Également nommé, en lien avec la philosophie et les sciences expérimentales, raisonnement par induction (du latin inductio = action de mener, de conduire la pensée), il fut prôné en logique mathématique par Peano (1889), faisant l'objet du 5ème axiome de sa construction de l'ensemble des entiers naturels. Il sera adopté par Poincaré (1902) et les intuitionnistes (cas particulier → cas général, effet → cause). Ce principe, s'oppose au raisonnement déductif (cas général → cas particulier, cause → effet) : syllogisme cher à Aristote

 !  Le mathématicien italien Francesco Maurolico, alias Franciscus Maurolycus (1494-1575), est en fait considéré comme le véritable "inventeur" du raisonnement par induction. Le principe pourrait même remonter à la charnière des 10è et 11è siècles dans les travaux du mathématicien et architecte arabe Al-Karaji établi à Bagdad à qui l'on doit un triangle arithmétique en tout point semblable à celui de Pascal.

Exemple : soit P_n la proposition "3 divise n³ - n". Supposons P_n est vrai pour une valeur quelconque de n.

Comme P_n est supposé vraie, 3 divise n³ - n et aussi bien sûr 3(n + n²). Ainsi, la véracité de P_n implique celle de P_n+1. Or P_o est manifestement vraie; par suite P_n est vraie pour tout n de N.

Récursion et récurrence : »

L'espérance mathématique de gain est introduite par Pascal dans les applications du Triangle arithmétique : comme on peut lire ci-dessus, le joueur est "en droit d'espérer de la fortune" (mais on peut tout perdre : d'où l'expression avoir mauvaise fortune...).

En termes actuels, dans le cas de gains possibles x_i de probabilité d'apparition p_i, il s'agit du nombre :

E = Σp_ix_i

L'espérance mathématique de gain est donc la moyenne pondérée des x_i au moyen de leurs probabilités respectives. En statistique, une notation pratique de la moyenne d'une série X = {x₁,  x₂, ..., x_n} pondérée par leurs fréquences respectives est X.

Cette notion semble être la première introduction des mathématiques dans un problème de décision :

face à une situation aléatoire, la meilleure stratégie est celle dont l'espérance mathématique de gain est maximale.

∗∗∗ Exemple 1 : Au lancer d'un dé (dont les faces sont numérotées de 1 à 6), on mise 1 euro et il est associé un gain de 1 euro si le 1 ou le 2 apparaît, 5 euros si le 6 apparaît,  un gain nul si le 5 sort et une perte de 1 euro pour les autres cas. La mise n'est pas récupérée. Quelle est l'espérance mathématique de gain ?  Rép. : ici.

∗∗∗ Exemple 2  : Joueriez-vous à ce jeu ? lancez un dé; si un multiple de 3 sort, vous gagniez 10 € (gain = + 10) sinon vous perdez 5 € (gain = -5). Rép. : la probabilité de voir sortir un multiple de 3 est 1/3; l'événement contraire a donc une probabilité égale à 2/3. Par suite, votre espérance mathématique de gain est (1/3) × 10 - 2/3) × 5 = 0 : on dit que le jeu est équitable. A vous de jouer...

Espérance mathématique et variance selon Huygens : »              Recherche opérationnelle et théorie des jeux : »

 ➔  Ce concept d'espérance de gain n'est en fait pas évident et peut aboutir à des considérations étonnantes ou cohabitent mathématique et psychologie. Le dilemme ci-dessus n'est rien eu égard au suivant :

Paradoxe de Saint-Pétersbourg : »

∗∗∗
a/ Justifier que les p_k sont en progression géométrique de raison 1 - p (d'où l'appellation de la loi) .
b/ Montrer que l'espérance mathématique de cette loi est 1/p et sa variance 1/p².
c/ Vous essayez, tard dans la nuit et dans l'obscurité, d'ouvrir une serrure au moyen d'un trousseau de 5 clés, sans porter attention, car vous êtes un peu fatigué (ou un peu éméché...) à chaque clé essayée. Sachant qu'une seule convient, quelle est la probabilité d'utiliser la bonne clé au n-ème essai.
Rép : il s'agit d'une loi de Pascal de paramètre p = 1/5. La probabilité cherchée est (4/5)^n-1 × (1/5) = 4^n-1/5ⁿ.

Fonction de répartition :  

La fonction de répartition F de cette loi est aisée à calculer. Posons q = 1 - p :

F(k)  = P(X ≤ k) = P(X = 1) + P(X = 2) + ... + P(X = k) = p + pq + pq² +... + pq^k-1 = p(1 + q + q² + ... + q^k-1). On reconnaît dans la parenthèse la somme des éléments d'une progression géométrique de n termes, de premier terme 1. On en déduit :

F(n) = p (1 - q^k)/(1 - q) = 1 - q^k = 1 - (1 - p)^k

Lorsque k tend vers l'infini, on obtient lim F(k) = 1 puisque 0 < 1 - p < 1. Ce qui est conforme au résultat général concernant les fonctions de répartition. C'est dire ici, que quitte à répéter longtemps l'expérience, on finira par gagner...

Espérance mathématique (moyenne) :   

L'espérance E(X) de la loi de Pascal est la somme des nombres k × P(X = k), k variant dans N de 1 à l'infini :

E(X) = Σ k × pq^k-1 =  pΣ k × q^k-1

Vu que l'on a 0 < q < 1, cette somme apparaît comme série dérivée de la série de puissances (série entière) Σ q^k, de somme 1/(1 - q) = 1/p. Selon un résultat sur la dérivation terme à terme d'une série entière convergente, on a :

Σ k × q^k-1 = [1/(1 - q)]' = 1/(1 - q)² = 1/p². D'où : E(X) = 1/p

∗∗∗
Où l'on montre (exo4), sans dérivation terme, à terme que Σ n × q^n-1 = 1/(1 - x)²

Variance :   

La variance V(X) de la loi de Pascal est E(X²) - [E(X)]², somme des nombres k² × P(X = k) diminuée de 1/p². De nouveau par dérivation terme à terme, on a :

[1/(1 - q)²]' = 2/(1 - q)³ = Σ k(k - 1) × q^k-2 = Σ k² × q^k-2 - Σ k × q^k-2 = Σ k² × q^k-2 - Σ k × q^k-2 = Σ k² × q^k-2 - (1/q) × Σ k × q^k-1

Donc E(X²) = pΣ k² × q^k-1 - 1/p² = pqΣ k² × q^k-2 = pq[2/(1 - q)³ + (1/q)Σ k × q^k-1)] = pq[2/(1 - q)³ + (1/q)(1/p²)] = (2 - p)/p². Et finalement :

V(X) = E(X²) - 1/p² = q/p²

C'est ainsi qu'il étudia la roulette, appelée aujourd'hui cycloïde (ci-dessous) dont il précisa les tangentes. Cette courbe correspond à la trajectoire décrite par un point d'une cercle (cerceau) roulant sans glisser sur une droite. Christopher Wren en calculera la longueur.

Étude de la cycloïde : »

Paradoxe des deux roues d'Aristote :      

Si votre navigateur accepte les applets Java (» extension CheerpJ) :
Vous pouvez déplacer les points A à F sur la conique. La droite de Pascal est en bleu foncé gras.
En déplaçant (en douceur...) les points a et b, vous modifierez la conique qui a ici été définie par 5 points :

Théorème de Pappus : »           Les coniques : »

 ➔   Pour en savoir plus :

1. Essay pour les coniques :
   a/ sur Gallica :
   - http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/btv1b86262279/f5.image.r=Essay pour les coniques, Pascal
   - http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k6439197f/f17.image.r=Essay pour les coniques, Pascal
   b/ sur Google Livres : https://books.google.fr/books?id=7B0hCwAAQBAJ

2. Machine arithmétique, lettre au chancelier Séguier (1645) :
   http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k6439197f/f23.image.r=Essay pour les coniques, Pascal

3. Traité du Triangle Arithmétique sur Google Livres : https://books.google.fr/books?id=UqgUAAAAQAAJ

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Viviani   de Sluse

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