ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges
 

Méthode des différences finies #1          » programme JavaScript | »  2nd ordre y" = φ(x,y,y')      Méthode d'Euler-Cauchy pour la résolution approchée d'une EDO du 1er ordre y' = φ(x,y)

D'une façon générale, la résolution d'une équation différentielle :

x∈J, Φ(x,y,y',y",...) = 0, y = f(x)

par différences finies consiste à discrétiser l'intervalle d'étude J = [a,b] sur lequel est définie l'équation. On recherche une solution approchée sous la forme d'un nuage de points (x_i, y_i), y_i = f(x_i) de la courbe intégrale. Les x_i sont connus, les y_i sont l'objet de la recherche. Hormis le cas du 1er ordre y' = φ(x,y) étudié sur cette page et celui du second ordre y'' = φ(x,y,y') le problème n'est pas simple.

 Considérons donc ici le cas d'une équation différentielle explicite du 1er ordre, se ramenant à la forme simple (explicite pour signifier que y' n'intervient pas dans le second membre) :

y' = φ(x,y), avec x_o  et  y_o = f(x_o) donnés      (e)

 !  Certains cas particuliers peuvent posséder des solutions "faciles" à déterminer. Mais dans l'immense majorité (non dénombrable) des cas, les primitives rencontrées ne sont pas calculables...

• Cas y' = φ(x) : y n'apparait pas dans φ, par exemple y' = 2/x; la solution y est une primitive de φ dont la constante d'intégration est calculée au moyen des conditions initiales. la solution est ici f(x) = ln(x²) + k

• Cas y' = φ(y) : x n'apparait pas dans φ, par exemple  y' = y + 1 sur J = [0,1]; on peut écrire y' = dy/dx, d'où dy/φ(y) = dx : on est ainsi ramené au cas d'une équation à variables séparables; la solution de l'exemple est donnée par ln|y + 1| = x + k  (» fonction ln). Par suite, y = - 1±e^{x + k}. Si la condition initiale est par exemple f(0) = -2, il apparaît que la solution y = - 1+ e^{x + k} ne convient pas. La seconde solution fournit k = 0. Finalement f(x) = -1 - e^x.

Cas des équations différentielles linéaire du premier ordre : »

Revenons au cas général (e) : on sait qu'une approximation de la fonction dérivée y' = f'(x) de la fonction cherchée est donnée, pour h "petit", par le quotient des différences finies Δy/Δx (taux d'accroissement) :

       » étude de l'erreur commise

Comme dans le cas de l'intégration approchée, on subdivise J en n sous-intervalles (de même amplitude pour simplifier l'algorithme) :

a = x_o  < x₁ < x₂ < ... < x_n= b , x_i = a + ih, h = (b - a)/n

Si y_i désigne l'approximation de f(x_i), on peut écrire alors écrire :

 ➔  Pour une fonction ne posant pas de problème aux bornes de J, il peut être plus judicieux d'utiliser la dérivée symétrique (non utilisée cependant dans le programme ci-après) :

  conduisant alors à l'approximation :

Finalement, notre équation différentielle y' = φ(x,y) discrétisée consiste à déterminer les y_i au moyen de la récurrence :

y_i+1 = y_i + hφ(x_i,y_i),   x_o, y_o donnés

en espérant que le processus soit convergent, ce qui est le cas lorsque f est suffisamment lisse sur l'intervalle J : de classe C¹ (continue ainsi que sa dérivée première), ou de dérivée bornée, ou encore lipschitzienne.

Problème de Cauchy : »

La représentation graphique du nuage de points M(x_i, y_i) obtenus fournit une approximation de la courbe intégrale dont on peut ensuite rechercher une équation approchée (polynomiale, logarithmique, exponentielle) par diverses méthodes, approximation polynomiale ou moindres carrés, fournissant une expression acceptable de f.

∗∗∗
Un exemple d'usage de la méthode

L'algorithme se programme très facilement. On peut bien entendu l'améliorer pour contrôler la convergence et majorer l'erreur commise. Évitez d'intégrer sur des intervalles de forte amplitude. Un pas h = (b - a)/n trop grand donnera des résultats imprécis et un h trop petit peut provoquer des erreurs d'arrondi.

 ➔   Pour tester ce programme vous devez entrer votre fonction φ(x,y) en utilisant une syntaxe comprise par le langage JavaScript. L'instruction with (Math), placée en début de procédure, évite à l'utilisateur de préciser Math devant chaque fonction mathématique utilisée. Les opérations et fonctions usuelles sont les suivantes :

• multiplication : * ,   division : /
• racine carrée : sqrt(x)
• puissance : pow(x,n). Pour x² ou x³, utiliser plutôt x*x et x*x*x
• fonctions usuelles : sin(), cos(), tan(), atan(), abs();
• log népérien : log() , exponentielle de base e : exp() , ...
• les appellations pi (pour π) et e sont comprises par le programme.

Le programme utilise par défaut l'équation différentielle  y' + y + 1 = e^x  sur [0,1] avec y(0) = 1/2. On entre y' = φ(x,y) sous la forme exp(x) - y - 1.  J = [0,1], x_o = 0, y_o = 1/2. La solution exacte est : y = e^-x + ½e^x - 1.