ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

ARCHIMÈDE de Syracuse, grec, -287/-212

Ce génial mathématicien, ingénieur et physicien, naquit et vécut à Syracuse (Sicile). était un parent du roi Hiéron II, tyran de Syracuse de -270 à -215. Fils d'astronome, ami d'Ératosthène à Alexandrie, il fut un élève d'Euclide d'Alexandrie. Lors de la seconde guerre punique, il meurt au cours du siège de Syracuse tué, chez lui, par un soldat romain. Marcellus, commandant de l'armée romaine, qui avait ordre, non de le tuer, mais de le capturer afin de mettre ses savoirs et compétences au service de Rome, ordonna des funérailles solennelles en hommage à ce grand savant.

Le qualificatif tyran est ici utilisé au sens premier du terme, c'est à dire, au sens de l'Antiquité grecque, un gouverneur ou un chef d'État exerçant, à la suite d'un coup de force, un pouvoir absolu sans l'assentiment de la population mais sans cruauté systématique a priori... Ci-dessous, Archimède menacé par un soldat romain, représenté dans une mosaïque d'Herculanum, ancienne ville romaine, proche de Naples qui fut ensevelie, ainsi que Pompéi, lors d'une éruption du Vésuve en 79 après J.-C.

Mosaïque d'Herculanum

Le palimpseste d'Archimède :     

Une grande partie des recherches d'Archimède en mathématiques et sciences physiques traversa les âges grâce au travail des copistes. Mais une des plus importantes synthèses de ses travaux sous la forme d'une centaine de pages de parchemin, disparut au 12è siècle, époque où un moine de Judée, peu averti, les retrouva et les réutilisa après en avoir lavé et gratté les caractères, un procédé moins couteux que la fabrication de nouveaux parchemins...

En 1906, le palimpseste (on appelle ainsi les parchemins "recyclés", du grec palimpsêstos forgé sur palin = de nouveau et psên = gratter) est retrouvé dans une bibliothèque de Constantinople (l'actuelle Istanbul, Turquie), sous la forme d'un recueil (parchemins reliés à la manière d'un livre : ainsi commence l'épopée du codex d'Archimède. Dérobé, acheté, revendu aux enchères,  il est retrouvé à Paris en 1991 chez un particulier en très mauvais état. Mis en vente à New-York chez Christie's en 1998, les enchères s'envolent cependant à 2 000 000 de dollars au profit d'un acheteur anonyme. L'année suivante, William Noël, conservateur des manuscrits et livres rares au Walters Art Museum, un musée privé de Baltimore, retrouve l'acheteur et lui propose d'exposer au musée le précieux document. Ce qu'il accepte.

Malgré les vicissitudes subies, une très grande partie des parchemins a pu être décryptée grâce aux techniques modernes, comme l'usage des rayons ultraviolets, des rayons X et de la lumière stroboscopique laissant apparaitre les anciens écrits sous le texte religieux. Les travaux de restauration ont duré 10 ans. On y retrouve en particulier :


Source : Le codex d'Archimède par Reviel Netz et William Noël

Le secret d'Archimède sur YouTube, épopée du palimpseste :

Travaux géométriques, la mesure du cercle, de la sphère, aires et volumes :

La passion d'Archimède pour la géométrie s'exprime dans ses livres sur La sphère et Le cylindreil montre en particulier que la surface S de la sphère de rayon R est égale à l'aire latérale A d'un cylindre dans laquelle elle s'inscrit : même rayon et de hauteur 2R (diamètre de la sphère), son volume V étant par ailleurs les 2/3 de ce cylindre. En d'autres termes :

A = 2πR2R = 4πR2 = S  et  V = (πR2)2R = πR3

Résultats remarquables dont l'illustration, à sa demande, orna son tombeau.

Dans La méthode, sa méthode d'exhaustion, proche de la méthode des indivisibles de Cavalieri et du calcul infinitésimal de Leibniz et Newton le conduit à des quadratures (calculs d'aires) comme celle d'une arche de parabole.

  En dehors du cercle déjà bien connu et nommé cyclos, selon Eutocius d'Ascalon, c'est à Apollonius que l'on doit la paternité des dénominations parabole, ellipse et hyperbole dans son traité des sections coniques. Cependant, dans son Histoire des mathématiques (tome 1), Jean-Etienne Montucla (mathématicien français et historien des mathématiques, 1729-1799, réf.1) attribue l'appellation parabole à Archimède, sans préjuger des deux autres, car ce dernier l'utilisa auparavant dans le calcul de l'aire sous l'arche de cette courbe par la méthode d'exhaustion.

Dans l'étude du cercle, il calcule implicitement le nombre π (voir ci-après), en exprimant que le rapport de la circonférence au diamètre est sensiblement égal à 3 augmenté de 1/7.

Le cercle et le nombre d'Archimède :   


Que j'aime à faire connaître ce nombre utile aux sages, Immortel Archimède, artiste, ingénieur,
 
3 ,1   4    1    5         9        2      6         5     3     5          8              9             7             9
Toi de qui Syracuse crie encore la gloire, soit ton nom conservé par de savants grimoires.
 
3    2   3       8          4        6      2    6      4    3    3         8        3     2     7           9

Dans son traité, La mesure du cercle, utilisant la méthode dite des périmètres, Archimède approche la circonférence du cercle par les périmètres de polygones réguliers inscrits et exinscrits en utilisant 96 côtés et donne un encadrement de π tout à fait remarquable eu égard à l'époque et aux moyens de calcul  :

3,1410 < π < 3,1428

Par cette méthode et un encadrement de 3, Archimède établit un encadrement fractionnaire :

3 + 10/71 < π < 3 + 1/7       (223/71 < π < 22/7)

c'est à dire sensiblement : 3,140845... < π < 3,142857...

L'usage à l'école du fameux π = 22/7 (borne supérieure de l'encadrement) apporte une fausse (mais belle...) touche de rationalité au célèbre nombre. En fait, Archimède ne voyait là que le rapport L/d de la circonférence au diamètre d = 2r : le « nombre d'Archimède » n'avait en fait pas encore le statut de nombre. Les appellation et notation π, dues à Jones en 1706, sont relativement "récentes".

    Le périmètre du cercle (circonférence) est donc donné par L = π x d = 2 x π x r.

Le terme de circonférence désigne en fait tant un cercle que son périmètre. On parle aussi de longueur du cercle mais cela n'est pas très correct car un cercle n'a ni début ni fin...On a depuis trouvé des fractions plus proches du célèbre nombre comme 355/113, calcul dû à Metius, que l'on retrouve, avec 22/7, dans le développement en fraction continue de 3,1415926535...

  A noter une bonne approximation rationnelle de π due à Oronce Finé, de son nom latin Orontius Finaeus, un astronome et cartographe français (1494-1555), qui fut aussi un des premiers professeurs de mathématiques au Collège royal créé en 1530 par François 1er  (qui deviendra Collège de France en 1870). Il est l'auteur d'un traité de mathématiques (Protomathesis, 1530) où l'on y trouve π 245/78 = 3,1410256...

Si désigne l'aire du disque de rayon r, de diamètre d, alors /r2 est comme L/d. C'est dire que l'aire d'un disque de rayon r est π x r2.

  La longueur d'un arc de cercle est proportionnelle à l'angle au centre â correspondant : = π x r x â°/180 ou, si â est exprimé en radians, tout simplement : = â x r. De même, l'aire d'un secteur d'ouverture â sera S = πr2 x â/360 ou, si â est exprimé en radians : S = r2 x â/2.

Pour en savoir plus (périmètre et aire)  :                     Calculs de π dans ChronoMath :

 Archimède prouva aussi l'équivalence entre le problème de la quadrature du cercle et celui de sa rectification (construire un segment dont la longueur est la circonférence d'un cercle donné).

 Ahmes , Machin , Shanks , de Cusa , Jones , Euler

  Exercices niveau collège : calculer avec π

1.  Un jardinier, qui voulait creuser un bassin circulaire de 3 m de rayon, se décide finalement pour un bassin carré de même périmètre. Quelle sera, à 1 dm près, la mesure du côté de ce bassin ?   Rép : 4,7 m.

2. Un jardinier veut planter des arbustes en bordure d'un massif circulaire de 5 m de rayon en les espaçant de 50 cm.
a) Combien doit-il prévoir d'arbustes ?
Rép : Le jardinier doit prévoir 63 arbustes.  
b) Il veut fleurir le massif. Ses sachets de semis permettent de fleurir 3 m2. Combien de sachets doit-il prévoir ?

Rép :
Le jardinier doit prévoir 27 sachets.

3.  Voici, à droite, une allée circulaire. Le rayon intérieur est 3 m. La largeur de l'allée est 80 cm. Un chat en fait le tour en restant au milieu de l’allée.
a) Quelle distance parcourt-il ? donne ton résultat au dm près.  
Rép : 21,4 m  
b) Quelle est l’aire de la partie grisée ? donne ton résultat en dm2
Rép : π[(3,8)2 - 32] = 1709 dm2.

4.  L’aire d’un bassin circulaire est de 1256 m². Quel est son périmètre ? on prendra 3,14
     comme valeur approchée de π.
Rép : x r = 6,28 x 20 = 125,6 m.

5.  Sur un navire de la marine nationale, l’aire d’atterrissage d’un hélicoptère est un disque colorié en jaune de 132,70 m2. Quel est le diamètre de ce disque (au cm près) ?   Rép : 13 m.

6.  Autres petits problèmes sur le « périmètre » du cercle ( niveau 6è/5è)    7.  Une drôle d'allée... (aires, niveau 4è/3è)

8.  π par quadrature approchée du cercle  (TP 5è/4è)             9.   π et boîte de conserve (TP CM2/6è)

La méthode d'exhaustion et l'axiome d'Archimède :

Archimède établit de nombreuses formules relatives aux aires planes (dont celle située sous un arc de parabole), aux mesures des surfaces dont celle de la sphère qu'il compare au volume du cylindre dans lequel elle s'inscrit, soit 4πr3/3.

Volume de la sphère : 

Ces résultats sont obtenus par la méthode d'exhaustion dont l'initiateur fut Eudoxe et réexposée par Euclide dans ses éléments. Elle repose sur un axiome de continuité, dit d'Archimède, présent dans les Éléments d'Euclide en tant que proposition I du livre X :

En soustrayant de la plus grande de deux grandeurs données plus de sa moitié, et du reste plus de sa moitié, et ainsi de suite, on obtiendra (on finira par obtenir en réitérant le procédé un nombre fini de fois) une grandeur moindre que la plus petite.

Archimède apparaît ainsi comme un génial précurseur du calcul infinitésimal. Ce principe que reprendra Cavalieri au 17è siècle, permettra encore plus tard d'approcher finement les nombres irrationnels et à Dedekind de construire les réels par les "coupures".

Formulation moderne de l'axiome d'Archimède :               Méthode d'exhaustion :

 Alliée à la théorie des proportions d'Eudoxe, la méthode d'exhaustion conduira Archimède à ce résultat remarquable :

l'aire sous la parabole (délimitée par la corde [AB] et l'arc de parabole) est exactement les 4/3 de l'aire
du triangle ABC, C désignant le point de la parabole où la tangente (T) est parallèle à (AB).

 Aire sous la parabole (quadrature de la parabole) :
La trisection de l'angle :

Archimède s'intéressa aussi au célèbre problème de la trisection de l'angle : existe-t-il une méthode purement géométrique (construction "à la règle et au compas") permettant de construire un angle de mesure trois fois inférieure à celle d'un angle préalablement construit ?

Trisection selon Archimède :

Orthocentre : point de concours des hauteurs dans un triangle

Dans un triangle, une hauteur est une droite passant par un sommet et perpendiculaire au côté opposé. Un triangle a donc trois hauteurs et ces droites son concourantes : elles sont sécantes en un même point appelé orthocentre (du grec orthos = droit), noté ici H comme très souvent. Si un des angles du triangle est obtus, l'orthocentre sera situé "en dehors" du triangle.

Preuve selon Archimède du concours des hauteurs d'un triangle (niveau 3ème) :          Autre preuve (5è/4è) :


Vous pouvez déplacer les sommets A, B et C afin de constater les diverses positions de H (cas particuliers)

Triangle orthique :  Cercle d'Euler :

Hauteurs dans un triangle construction des 3 hauteurs grâce à un cercle dont un diamètre est un des côtés (4ème)
Hauteur et médiane dans un triangle rectangle  apprendre à démontrer (5è)       Construction d'un triangle  
cas élémentaires, 4 exercices indépendants (6è/5è)
Construction d'un triangle  : connaissant l'orthocentre   (4è)      connaissant deux hauteurs   (5è/4è)
Construction d'un triangle  : connaissant un sommet, une hauteur et le centre de gravité    (4è/3è)     connaissant l'orthocentre et le centre de gravité    (1ère/Ter)
Orthocentre et cercle circonscrit     (niveau 2nde/1ère)

Polyèdres archimédiens ou solides d'Archimède :

Il s'agit de polyèdres convexes dont les faces sont des polygones réguliers convexes (triangle équilatéral, carré, pentagone régulier, ...) dont les côtés ont même mesure et présentant en chaque sommet la même configuration. Catalan les qualifia de semi-réguliers.

Polygone convexe : entièrement situé dans un des demi-plans défini par l'un quelconque de ses côtés.

  polygones

Polyèdre convexe : entièrement situé dans un des demi-espaces défini par l'une quelconque de ses faces.

  polyèdres réguliers

Hormis les prismes et les anti-prismes, on en compte 13. Un autre, plus simple, est le cuboctaèdre constitué de 6 carrés et 8 triangles équilatéraux de même côté :

Solides d'Archimède (compléments et figures) :

Spirale d'Archimède :

Elle est l'ensemble des points M se déplaçant d'un mouvement uniforme sur une droite en rotation uniforme autour d'un point (ici l'origine).


Spirale d'équation r = t/10 tracée pour t > 0

Son équation polaire est de forme r = a x t  où a désigne un paramètre non nul et t l'angle polaire de M exprimés en radians). Elle aurait en fait été "découverte" par Conon de Samos.   

En savoir plus sur cette spirale :

Mécanique, Statique & hydrostatique, la poussée d'Archimède :

En physique, on lui doit en particulier les premières lois de l'hydrostatique (poussée d'Archimède) et une étude précise sur l'équilibre des surfaces planes (égalité des moments, principe du levier) et la phrase fameuse :

Donnez-moi un point d'appui, je soulèverai le monde


Le principe du levier illustré au parc de la tête d'or à Lyon (Ensemble pour la paix, Xavier de Fraissinette, 1996)

Deux poids p et p' sont suspendus à une barre (homogène) AB en équilibre, l'équilibre est obtenu si ap = bp'. Ainsi si p est deux fois plus grand (plus lourd) que p', alors b = 2a : le "bras" de levier est inversement proportionnel à la masse.

Par conséquent, à poids égal (p = p') et toujours avec b = 2a, on soulèvera B "deux" fois plus facilement que A : tout se passe comme si p' est deux fois moins lourd.

Notons ici que la balance romaine, basée sur le principe décrit ci-dessus, n'est pas d'origine romaine : le nom vient de l'arabe roummana = grenade (le fruit) pour désigner le peson mobile se déplaçant sur la réglette.

        
  
Illustration d'une balance romaine (Larousse, 1905

La découverte de la poussée d'Archimède est liée à Hiéron, roi de Syracuse, qui lui avait demandé de vérifier si sa couronne était faite d'or pur :

Tout corps plongé dans un liquide subit de la part de celui-ci, une poussée exercée du bas
vers le haut, et égale, en intensité, au poids du liquide déplacé.

Ayant découvert cette loi en prenant son bain, il se serait précipité nu dans les rues de la ville, en criant Eurêka!...Eurêka! (j'ai trouvé!... j'ai trouvé!). Une partie d'une copie de son manuscrit fut retrouvé à Constantinople en 1906 dans le fameux palimpseste.

Premiers calculs barycentriques :   

Dans son traité sur le centre de gravité des surfaces planes, Archimède expose magistralement le concept de centre de gravité, également appelé aujourd'hui centre d'inertie, point abstrait où l'on peut considérer que la masse de l'objet s'y concentre et peut être ainsi remplacé, dans les calculs, par ce point pondéré.

Notion de barycentre, calcul de la position du centre de gravité d'un solide :

En mécanique, outre la roue dentée, le palan (également appelé mouflage, démultiplication de la traction par un système de poulies mouflées), la vis sans fin, Archimède inventa des machines de guerre (catapulte, miroirs paraboliques) pour repousser les Romains lors du siège de Syracuse.

Grandes inventions des savants grecs de l'Antiquité sur Dailymotion :

La vis d'Archimède :   

On doit aussi à Archimède (ou à Archytas de Tarente ?), l'invention de la roue dentée (ancêtre de l'engrenage) et de la célèbre vis d'Archimède : utilisée en mécanique, appelée aussi vis sans fin, son principe est utilisé dans la construction de machines utilisées pour faire monter le grain dans les silos, dans la fabrication des vis, des forets et, plus prosaïquement, des tire-bouchons...

Le mouvement, dit hélicoïdal, transmis par une vis sans fin s'interprète comme le composé commutatif R o t d'une rotation R d'axe (d) et d'une translation t dont le vecteur même direction que (d) : c'est un déplacement de l'espace (isométrie positive) appelé vissage. La courbe correspondante est une hélice circulaire, géodésique du cylindre (chemin le plus court entre deux points d'une surface) :

 Notons ici que c'est à Archimède que l'on doit la définition d'un segment de droite comme le plus court chemin d'un point à un autre : les géodésiques du plan sont les droites de ce plan.

Vissage en tant qu'isométrie de l'espace :    Hélicoïde :

Une caractéristique de cette courbe est que la tangente en chacun de ses points fait un angle constant avec l'axe du cylindre : c'est dire que si l'on développe ("déroule") le cylindre, l'arc AB d'hélice devient un segment. Inversement, un segment devient un arc d'hélice.

  Frenet                  "géodésique" du cube

Miroirs paraboliques :

Archimède connaissait les propriétés focales des paraboles. La légende raconte qu'il utilisait des miroirs paraboliques, les fameux miroirs ardents, constitués de plusieurs miroirs hexagonaux articulés, focalisant les rayons du soleil afin d'embraser les vaisseaux ennemis. Afin d'entretenir le foyer, les Vestales d'Athènes, gardiennes du feu de Vesta, utilisaient un miroir concave recouvert d'une feuille d'or : les rayons du Soleil convergeaient au foyer, concentrant la chaleur.

Étude des miroirs paraboliques :                 Cas des miroirs sphériques :


  Pour en savoir plus :

  1. Histoire des mathématiques de Jean-Etienne Montucla (T1, p. 246) : https://books.google.fr/books?id=HTYsFRW5FC8C
  2. Concernant le nombre π, on n'omettra pas de visiter le site de Boris Gourevitch : L'univers de π  (in french ou in english...)
  3. Le codex d'Archimède, vidéo HD de William Noël, musée de Baltimore (choisir les sous-titres en français) :
    http://www.ted.com/talks/william_noel_revealing_the_lost_codex_of_archimedes?language=en
  4. Le palimpseste d'Archimède de Syracuse à  Baltimore, par Jacqueline Dousson (École polytechnique de Lausanne) :
    http://flashinformatique.epfl.ch/IMG/pdf/sp-12-page52.pdf
  5. Le codex d'Archimède : les secrets du manuscrit le plus célèbre de la science, de William Noël & Reviel Netz. Le Stomachion in Le codex d'Archimède, est en accès limité sur Google Livres : http://books.google.fr/books?id=8f3zMU1bLewC&pg=PT148&lpg=PT148...


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