ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Racines carrées, racines cubiques     Racines n-ièmes (énièmes) d'un nombre réel ou complexe     programmes JavaScript on line : racines carrées (algébriques) , racines n-èmes (trigonométriques)

Dans l'ensemble des nombres réels (nombres entiers, nombres fractionnaires, nombres rationnels ou non), on appelle racine carrée d'un nombre x un nombre r tel que r² = x.

Cette définition implique que x est positif. Sous cette seule condition, 4 et -4 seraient les racines carrées de 16 et on pourrait dire que -4 est la racine carrée négative et +4 la racine carrée positive. En fait, on appelle racine carrée de x le nombre positif r tel que r² = x :

Étant donné un nombre réel positif x,
on appelle racine carrée de x le nombre positif r tel que r² = x.

 Comme il l'a été dit à la page Rudolff, (notation de la racine carrée), cette positivité de la racine carrée d'un nombre réel est purement historique, car datant d'une époque où les nombres négatifs n'existaient pas ! : l'époque de Pythagore.

Cette positivité se justifie aussi pour la possibilité de définir une fonction racine carrée mais elle est non seulement un piège pour les élèves mais aussi une gène dans la généralisation du concept de racine carrée aux nombres complexes car selon la définition dans C, corps des nombres complexes contenant R, corps des réels  :

Soit z un nombre complexe. On appelle racine carrée de z tout nombre r dont le carré est z

• Par exemple : 1 + i  et -1 - i sont les racines carrées de 2i car (1 + i)² = (-1 - i)² = 2i

Il suit :

• qu'un nombre réel positif x devrait posséder deux racines carrées opposées : x et -x;

• qu'un nombre réel négatif x devrait posséder deux racines carrées opposées : ix et -ix où i désigne le célèbre nombre complexe dont le carré est -1
  Euler , Gauss.

Tout dépendra, dans un problème, de savoir si l'on travaille dans C ou non :

• dans C, 4 possède deux racines carrées, l'une positive : +2, l'autre négative : - 2;

• dans R, la racine carrée de 4 est 2;

• dans R, - 4 n'a pas de racine carrée;

• dans C, - 4 possède deux racines carrées opposées : ±(2 - i2).

Racine carrée complexe et de surface de Riemann :

Le programme ci-dessous calcule la forme algébrique des racines carrées d'un nombre complexe donné sous la forme a + bi. Le programme reconnaît les fractions (données sous forme a/b), fonctions mathématiques (sin, cos, tan, sqrt : racine carrée, ...) et s'efforce de donner des valeurs rationnelles (généralement des approximations) en faisant appel au développement en fraction continue. L'approximation rationnelle trouvée par l'ordinateur doit être lue avec circonspection !!!

Dans R, l'équation x³ = 8 n'a qu'une seule solution : x = 2; en effet : x³ - 8 = (x - 2)(x² + 2x + 4) et le trinôme x² + 2x + 4 n'est pas factorisable dans R puisque son discriminant est -12 < 0 (a non nul).

Dans C, la même équation x³ = 8 possède 3 solutions : x = 2, x = -1 - i3 , x = -1 + i3 : ce sont les racines cubiques de 3 dans C, également dites racines troisièmes de 2.

Plus généralement si n désigne un entier naturel non nul :

On appelle racine n-ème du nombre complexe z, tout nombre r tel que rⁿ = z

Tout nombre complexe non nul z possède n racines n-èmes

Ce résultat est évident en tant que conséquence du théorème fondamental de l'algèbre. On le prouve aussi très simplement en utilisant la forme trigonométrique des complexes : soit r le module et q un argument de z. On a z = r(cosq + i.sinq). Posons r = m(cos a + i.sin a), m > 0; selon la formule de Moivre, on a r = mⁿ(cos na + i.sin a); par suite : mⁿ = r et q = na, d'où :

Ce qui fournit n racines distinctes.

Avec les notations ci-dessus, l'équation  rⁿ = 1 conduit à : m = 1 et a =  2kp/n , k = 0, 1, ..., n-1.

• Si n = 3, racines 3èmes, dites cubiques : on a a =  2kp/3 , k = 0, 1, 2. On note généralement j (notation logique après celle de i) la racine cubique correspondant à k = 1 :

pour k = 2, on obtient :

On remarque que 1 + j + j² = 0, ce qui est naturel vu que j est solution de l'équation r³ - 1 = 0, équivalente à (r - 1)(r² + r + 1) = 0.

• Si n = 4, racines 4èmes : on a a =  2kp/4 = kp/2  , k = 0, 1, 2, 3. On reconnaît là : 1, i, -1 et -i

• Si n = 6, racines 6èmes : on a a =  2kp/6 = kp/3  , k = 0, 1, 2, 3, 4, 5. On reconnaît là : 1, 1/2 + i3/2, j,  -1, j²,1/2 - i3/2

Muni de la multiplication, les racines n-èmes de l'unité forment un groupe cyclique. Toute racine engendrant ce groupe est dite racine primitive.

Pour n = 3, c'est le cas de j et j², pour n = 4, c'est le cas de i et -i.

Géométriquement, les racines n-èmes de l'unité sont les sommets du polygone régulier à n côtés (n-gone); le point unité 1 est un sommet commun.

Exercices niveau Terminale et Sup :                            Polynôme cyclotomique :

Le programme ci-dessous calcule les arguments des racines n-èmes d'un nombre complexe donné sous la forme a + bi. Le programme reconnaît les fractions (données sous forme a/b), les fonctions mathématiques (sin, cos, tan, sqrt : racine carrée, ...) et s'efforce de donner des coefficients rationnels p/q de l'argument exprimé sous la forme p x p/q en faisant appel au développement en fraction continue.

L'approximation rationnelle trouvée doit être lue avec circonspection : elle ne sera exacte que pour des arguments de a + bi eux-mêmes de la forme p x p/q. Le module commun à ces racines, , où r désigne le module de a + bi, n'est pas indiqué car sa valeur n'est rationnelle que dans des cas que nous qualifierons de rarissime...