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Centre de gravité du triangle      TD 3ème/2nde      Archimède

Dans un triangle, une médiane est une droite passant par un sommet et par le milieu du côté opposé. Un triangle a donc trois médianes et ces droites sont concourantes en un point appelé centre de gravité car c'est le point d'équilibre du triangle (isobarycentre).


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Vous pouvez déformer le triangle ABC en déplaçant les points A, B et C Figure CabriJava.class : Utiliser Microsoft Internet Explorer en activant Java

On se propose de montrer ici que dans un triangle ABC :

  1. Le centre de gravité G, point de concours des médianes, se situe au tiers des médianes à partir de leur « pied ». En conséquence, elles sont concourantes.
     

  2. On a la relation vectorielle :

équivalente, au moyen de la formule de Chasles à :

C'est dire que si l'on a A(a,a'), B(b,b') et C(c,c') dans un repère du plan, alors :

xG = (a+b+c)/3, yG = (a'+b'+c')/3

  1. Pour tout point M du plan, le centre de gravité G du triangle ABC est l'unique point minimisant MA2 + MB2 + MC2, somme des carrés des distances de M aux sommets du triangle.

Si tu sèches après avoir bien cherché :


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Indications :

  Le 1er résultat se démontre facilement en classe de 4ème. Preuve partiellement développée :

   Le 2ème résultat se démontre facilement en classe de 3ème. Preuve partiellement développée :

D'où le résultat annoncé.

   Le 3ème résultat est basé sur le produit scalaire (classe de 1ère) :

En développant ces carrés scalaires, on obtient :

Or selon le second résultat, la parenthèse est nulle. La somme MA2 + MB2 + MC2 sera donc minimale si et seulement si GM est nul, c'est à dire si et seulement si M est en G.


Construction de triangles, niveau collège
: #1 à 4 , #5 à 8 , niveau 1è/Ter : #9

Cercle d'Euler :                  Droite d'Euler :


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